大射電望遠鏡巨型柔性并聯(lián)機構(gòu)懸索分析及簡化*

黃 亮，朱文白，唐曉強

(1. 中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100012；2. 清華大學(xué)精密儀器與機械學(xué)系，北京 100084)

20世紀(jì)90年代，中國科學(xué)家提出利用貴州天然的喀斯特洼地，建造目前世界上最大的單口徑射電望遠鏡——500 m口徑球面天文望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical Telescope, FAST)[1]。FAST包括饋源支撐、主動反射面、饋源與接收機等6個子系統(tǒng)。其中饋源支撐系統(tǒng)由6個固定鐵塔、6根鋼索和饋源平臺(艙體包括饋源艙、AB軸、Stewart平臺)組成[2]，可視為一個巨型柔性并聯(lián)機構(gòu)。鋼索的一端固定于饋源艙體的鉸接點上，另一端通過鐵塔頂端的定滑輪與電機相連。天文觀測時，6臺電機協(xié)調(diào)改變6根鋼索的長度，拖動饋源平臺在反射面之上高約140 m、直徑約200 m的球冠上運動。此時，鋼索的跨度已經(jīng)很大，它在空間的曲線形狀不能簡化為直線，而呈懸鏈線狀[3]。

圖1 FAST示意圖

Fig.1 Illustration of the FAST

近代以來，隨著懸索結(jié)構(gòu)在橋梁、建筑等方面的應(yīng)用，許多學(xué)者都在懸鏈線的解析法、有限元法分析中做過大量有益的嘗試。由于懸鏈線的解析解為超越函數(shù)，在分析和計算時給人們帶來不便，人們進而提出許多簡化方法，其中尤以拋物線理論最為著名。拋物線是簡單的二次函數(shù)，這大大簡化了對懸索的分析和計算，在FAST模型實驗中獲得較好的應(yīng)用[4]。

在FAST饋源支撐系統(tǒng)中，鉸接點和高塔出索點相當(dāng)于鋼索的兩個支點。在兩個支點之間，鋼索上僅受重力作用，沒有其他載荷。由于人們主要關(guān)注鋼索在兩個支點處的受力情況，因此作者由懸鏈線解析解入手，從索力、索長表達式出發(fā)，提出贗曲線模型，對懸鏈線模型進行簡化。

1 無荷懸索的懸鏈線

對于位于均勻重力場的懸索，做出如下假設(shè)[5]：(1)懸索只受拉力，不能受壓或受彎；(2)忽略懸索的局部彎折；(3)懸索工作在彈性階段。

對FAST系統(tǒng)，以一根鋼索為分析對象，記鋼索與饋源艙的鉸接點為B，鋼索與高塔定滑輪出索點為A。鋼索除在A、B兩支點受到支反力外，還要受自身重力作用，單位長度的鋼索所受重力為q，其受力情況如圖2。h和l分別為A、B兩點之間的豎直和水平距離，σ為TB與水平面的夾角。

取鋼索上的一段線元ds，如圖3。

圖2 鋼索的受力分析

圖3 鋼索上的一段線元

由力平衡條件可得[6]：

(1)

整理可得：

(2)

(2)式即為鋼索的微分方程式。又有(ds)2=(dx)2+(dz)2，則(2)式可寫為：

(3)

(4)

將邊界條件

(5)

代入上式，可得：

(6)

(4)式、(6)式就是精確的懸鏈線表達式，該模型稱為懸鏈線模型，它真實地反映了懸索的重力特性。懸鏈線表達式是一個超越函數(shù)，它將鋼索的位形與鋼索的索力聯(lián)系起來，鋼索的幾何特征與它的受力特征密切相關(guān)。由(4)式、(6)式可得索長L：

(7)

整理得：

(8)

(8)式中的shλ/λ即反映了鋼索由于垂度而產(chǎn)生的彎曲。

對A點列出力矩平衡方程，可得到VB。記：

則鋼索的拉力為：

(9)

(10)

由(4)式、(6)式可以得到懸鏈線的垂度f表達式：

(11)

對(11)式求導(dǎo)，并令其等于0，可得取最大垂度點的橫坐標(biāo)：

(12)

將(4)式、(6)式中C2代入上式并整理可得：

(13)

2 懸鏈線的拋物線簡化

由于(3)式的右側(cè)實際上是無窮級數(shù)的形式，考慮到應(yīng)用的便利性，人們往往將(2)式的右側(cè)近似為一個常數(shù)，從而得到懸鏈線模型的簡化模型——拋物線模型。對(2)式的右側(cè)取不同的常數(shù)，便得到不同的近似模型。

(14)

對(14)式兩邊積分，并應(yīng)用邊界條件(5)，可得：

(15)

將λ=ql/2H代入(15)式，可得：

(16)

(13)式、(16)式就是僅受重力作用下鋼索的拋物線形式的解析表達式，該模型稱為拋物線模型。

對(16)式在A點求導(dǎo)數(shù)，可得到VB：

(17)

HB、VA、HA的表達式分別與(9)、(10)式對應(yīng)項相同。比較(9)和(17)式可以看出，應(yīng)用(15)式、(16)式所描述的拋物線表達式，部分地考慮了鋼索自重的影響。

在XC軸中點處，即

(18)

處拋物線函數(shù)取得垂度最大值：

(19)

將(19)式代入(15)式，可以得到用垂度最大值表示的拋物線表達式[4]：

(20)

根據(jù)(20)式并應(yīng)用泰勒展開保留前兩項，可得鋼索的長度L：

(21)

3 懸鏈線的贗曲線簡化

在懸鏈線模型中，索長和索力的表達式都是超越函數(shù)，有賴于對λ的求解結(jié)果。在λ較小的情形下考慮當(dāng)

(22)

(23)

時，(8)式簡化為：

(24)

(9)式中的VB簡化為：

(25)

對比(9)、(17)和(25) 3式可見，贗曲線模型與拋物線模型一樣，考慮了繩索自重的力矩作用，但沒有考慮由于懸連線而導(dǎo)致的重心位置的改變。對比(8)式和(24)式，贗曲線模型實際上將懸鏈線模型中的sh2λ/λ2項忽略，鋼索的長度計算退化為直線情形。因此稱這種模型為贗曲線模型，如圖4。

(26)

將(8)式代入(26)式，并應(yīng)用泰勒展開只保留第1項整理得

圖4 贗曲線模型

Fig.4 Illustration of the Pseudo-Curve model

容易證明，當(dāng)λ>0時，函數(shù)x=shλ/λ>1，則2(h/l)2+x2>1，因此

|σ1|<Δx(2+Δx)

若取Δx(2+Δx)<10%，則|σ1|必然小于10%。即當(dāng)λ∈(0, 0.538)時，由于式的近似而引入到鋼索長度的相對誤差|σ1|一定小于10%。

(27)

定義相對誤差：

(28)

圖5展示了不同k值情形下，σ2隨λ的變化情況。表1為k取不同值時，滿足|σ2|=10%的λ值，記為λC。

圖5σ2隨λ的變化情況

Fig.5 Relative errors at different values ofk

在應(yīng)用中，人們往往難以獲得比較精確的索力，因此可以適當(dāng)增大σ2的允許上限，這時λ的上限值也會隨著增加。一般地，當(dāng)λ<0.538時，可以應(yīng)用贗曲線模型估算索長，再利用解算出的VB來校驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性。

贗曲線模型沒有給出鋼索的解析表達式，而是關(guān)注于鋼索的索長與B點的支反力。在巨型柔性連接的并聯(lián)機構(gòu)的建模中，因柔索懸鏈線方程帶來非線性，且索長、索力等參數(shù)事先均未知。在一定條件下引入贗曲線模型后，將非線性方程組簡化成線性方程組，保證解算精度的同時提高了解算效率。

表1k取不同值時的λC和σ1的最大值

Table1ValuesofλCandthemaximaofσ1atdifferentkvalues

kλCmax(σ1)/%1.000.4386.561.410.3905.171.730.3584.352.000.3343.772.240.3163.37

4 贗曲線模型與拋物線模型的關(guān)系

對比(13)和(18)式，拋物線表達式將鋼索垂度的最大值取在了x0=l/2處。當(dāng)λ滿足(22)式時，(13)式蛻化為(18)式。若已知拋物線垂度最大值為f0和(5)式所示邊界條件，則可得到(20)式所示拋物線表達式。這實際上是對雙曲正弦函數(shù)shλ做泰勒展開，并只保留第1項的結(jié)果。

如果將拋物線的最大垂度取為(19)式，則可以由(20)式得到(15)式、(16)式。對比(17)式和(9)式，當(dāng)λ滿足(23)式時，(9)式蛻化為(17)式。

這說明拋物線模型中實際上暗含了(22)式所示條件，將這個條件應(yīng)用于(8)式，即得出的贗曲線模型的結(jié)論(24)。如果拋物線模型中還滿足(19)式，則該拋物線模型暗含了(23)式，將其應(yīng)用于(9)式，即可得出贗曲線模型的結(jié)論(25)。

5 數(shù)值算例

以巨型柔性連接的并聯(lián)單三角機構(gòu)為例，其結(jié)構(gòu)如圖6。該機構(gòu)的上平臺為靜平臺，下平臺為動平臺。6臺電機協(xié)調(diào)動作，牽引6根鋼索改變長度，實現(xiàn)下平臺的運動，并達到一定的位姿要求。建立如圖6所示靜坐標(biāo)系C1[X-Y-Z]和動坐標(biāo)系C2[XW-YW-ZW]。

當(dāng)下平臺處在靜平衡狀態(tài)時，6根鋼索對下平臺的驅(qū)動力F=[F1F2…F6]T與下平臺載荷[GM(G)]T間的關(guān)系為[7]：

圖6 巨型柔性連接的并聯(lián)單三角機構(gòu)

Fig.6 Illustration of a large 6-SPS

(29)

在方程(29)中，各已知參數(shù)和輸入量見表2，需要求解未知參數(shù)F。要獲得切線方向，就需要知道懸鏈線參數(shù)λi的信息，進而需要知道Hi。這樣由于懸鏈線超越函數(shù)的引入，方程(29)的左邊就成為一個關(guān)于F的非線性表達式，求解方程(29)便需要使用迭代法。為了避免使用迭代法，使用贗曲線模型代替懸鏈線模型，這樣便可以獲得簡潔的索長和索力表達式，方程(29)作為線性方程組，求解相對簡便。

表2 已知參數(shù)和輸入量

表3展示了使用贗曲線模型和懸鏈線模型的求解結(jié)果。從表中懸鏈線模型得出的λ可以計算λchλ/shλ的均值為1.018，shλ/λ的均值為1.009，符合假設(shè)條件(22)、(23)。從表3可見，贗曲線模型得到的結(jié)果滿足模型簡化的要求。更為重要的是，由于引入贗曲線模型，解方程組(29)時只需解一次線性方程組，而無需使用迭代法求解多次線性方程組，從而大大節(jié)省解算時間，提高解算效率。

表3 懸鏈線模型與贗曲線模型的求解結(jié)果比較

6 結(jié) 論

(1)贗曲線模型主要關(guān)注鋼索的長度和支點索力，當(dāng)λ<0.538時，懸鏈線模型可以簡化為贗曲線模型。在使用贗曲線模型計算完畢后，可以利用得到的λ考察是否滿足(22)式、(23)式。

(2)拋物線模型可以推出贗曲線模型的結(jié)論(24)。如果將(2)式的ds/dx取為L/l，則這種拋物線模型可以得出贗曲線模型的結(jié)論(25)。

(3)由于贗曲線模型給出了鋼索長度和支點索力較為簡潔的表達式，因此在巨型柔性并聯(lián)機構(gòu)等方面在保證求解精度的同時，可以較好地提高求解效率。

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