具有3個(gè)公共值的亞純函數(shù)的唯一性

薄朝升，夏生虎

(1.桂林醫(yī)學(xué)院數(shù)理教研室，桂林 541004;2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

1 主要結(jié)果

設(shè)f(z)是開平面上的非常數(shù)亞純函數(shù)，S是具有不同元素的集合。令記重?cái)?shù)不記重?cái)?shù)。

1976年，Gross［1］提出以下問題:能否找到2個(gè)(甚至1個(gè))有限集合 Sj，j=1，2，使得對任何2 個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)f與 g，只要滿足E(Sj，f)=E(Sj，g)，j=1，2，必有 f≡g。

1994年，儀洪勛［2］完全解決了該問題，得到對任意2個(gè)非常數(shù)整函數(shù)f與 g，E(Sj，f)=E(Sj，g)，j=1，2，就有f≡g，則S1、S2的最小基數(shù)分別是1和3。Li和Yang在文獻(xiàn)［3］中推廣到了亞純函數(shù)。得到以下定理:

定理1 存在一個(gè)具有15個(gè)元素的集合S，使得對任意2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)f和g，只要滿足E(S，f)=E(S，g)，E(∞，f)=E(∞，g)，就有f≡g。

2002年易洪勛在文獻(xiàn)［4］中證明了定理2。

秦春燕在文獻(xiàn)［5］中進(jìn)一步得到定理3。

定理3 存在一個(gè)具有6個(gè)元素的集合S，使得任意2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)f和g，只要E(S，f)=，則f≡g。本文證明了如下定理:

2 引理

設(shè)

其中:n≥7，是一個(gè)整數(shù);a與b是2個(gè)非零復(fù)數(shù)，滿足abn-2≠2。令

這里a1，a2是n(n-1)ω2-2n(n-2)bω+(n-1)(n-2)b2=0的2個(gè)判別的根，計(jì)算得到:

其中 p(ω)有 n個(gè)不同于0和1的單零點(diǎn)，記為 ω1，ω2，…，ωn。

引理1［6］設(shè)f(z)是非常數(shù)亞純函數(shù)，ai(i=0，1，…，m)，bj(j=0，1，…，n)為有窮復(fù)數(shù)且am≠0，bn≠0，則

引理2［7］設(shè)f(z)是非常數(shù)亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，則

引理3 設(shè)F和G為非常數(shù)亞純函數(shù)，Ek(1，F(xiàn))=Ek(1，G)，令

設(shè) z0∈Ek)(1，F(xiàn))。Ek)(1，F(xiàn))=Ek)(1，G)，且經(jīng)計(jì)算得 H(z0)≠∞，再根據(jù)，有:

引理4［8］設(shè) f1和 f2為非常數(shù)亞純函數(shù)，c1、c2、c3是3個(gè)非零常數(shù)。如果 c1f1+c2f2≡c3，則

證明 因?yàn)閂≡0，由式(5)得

其中A≠0是一個(gè)積分常數(shù)。從式(6)得T(r，F(xiàn))=T(r，G)+Ο(1)，所以有

因?yàn)門(r，f1)=nT(r，f)+ Ο(1)，所以 nT(r，f)≤5T(r，f)+S(r，f)，與 n≥7 矛盾，所以 1-A=0，得到F≡G。

引理6F，G 被式(2)給出，如果 Ek)(1，F(xiàn))=Ek)(1，G)且({0}，f)=({0}，g)，則

引理7 V由式(5)給出，并且V不恒等于零，則

故

設(shè)z0是f的p重極點(diǎn)，g的q重極點(diǎn)，則z0既是F的(n-2)p重極點(diǎn)，也是G的(n-2)q重極點(diǎn)。計(jì)算得z0是V的至少(n-3)重零點(diǎn)。故

引理8H 被式(4)給出，若 H≡0，則 E(1，F(xiàn))=E(1，G)。

3 定理4的證明

由Ek)(S，f)=Ek)(S，g)及F、G的定義知:Ek)(1，F(xiàn))=Ek)(1，G)，若H不恒等于零，由第二基本定理得

由于

故

當(dāng)k≥3時(shí)，更有

所以當(dāng)k≥3時(shí)，將式(15)代入式(12)得到:

因此可得:

由引理7得

當(dāng)k＜3時(shí)，結(jié)合引理6、7及式(14)得

進(jìn)一步整理得

若 k=3，則 n≥7，與式(16)矛盾;若 k=2，則 n≥9，或若 k=1，則 n≥11，與式(17)矛盾，所以 H≡0。由引理8知E(1，F(xiàn))=E(1，G)，從而 E(1，f)=E(1，g)，于是根據(jù)定理2，使定理4得證。

［1］Gross F.Factorization 0f meromorphic functions and some open problems［M］.Berlin/Heidelberg/New York:Springer-Verlag，1977.

［2］Yi H X.On a question of Gross concerning uniqueness of entire functions［J］.Bull Austral Math Soc，1998，57:343.

［3］Li P，Yang C C.On the unique range sets for meromorphic functions［J］.Proc Amer Math Soc，1996，124:177.

［4］儀洪勛.具有兩個(gè)公共分擔(dān)值集的亞純函數(shù)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，45(1):75.

［5］秦春燕.具有三個(gè)公共值集的亞純函數(shù)唯一性［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，45(3):45.

［6］Mokhon KO A Z.On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions，in“Theory of functions，functional analysis and their applications”［Z］.Izd-vo Khar’kovsk.Un-ta，1971，14:83-87.

［7］YI H X.Uniqueness of meromorphic functions and a question of C C Yang［J］.Complex variables，1990，14:169-176.

［8］儀洪勛.具有三個(gè)公共值的亞純函數(shù)［J］.數(shù)學(xué)年刊:A，1998，9(4):434-439.