基于均值-VaR-熵的證券投資組合應(yīng)用研究

印凡成，陳瑞冰，黃健元

(河海大學 a.理學院;b.公共管理學院，南京 210098)

投資者將資金投放于有價證券市場都希望在一定的風險水平下獲得較高的預期收益率，或預期收益率不低于某一期望值時投資風險能最小。一般情況下，有價證券的預期收益率越高，投資風險也就越大。但采用恰當?shù)耐顿Y策略可以降低投資風險。實際上，證券組合投資就是一種降低投資風險的有效途徑。1952年，馬科維茲(Markowtz，H.M.)［1］提出均值 - 方差模型，奠定了現(xiàn)代證券投資組合理論的基礎(chǔ)。該模型用方差度量風險，但是當投資者對于收益、風險理解不對稱以及證券收益率不服從正態(tài)分布時，直接用方差度量風險會有很大的誤差。隨后很多學者提出了改進模型，其中一個主要途徑是用新的風險指標代替方差建立模型，如:Young［2］提出的以投資組合最小順序統(tǒng)計量作為風險函數(shù)的投資組合模型;Cai等［3］以投資組合各項資產(chǎn)收益中最大期望絕對偏差度量風險的投資組合模型。近年來VaR方法得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。國際上，三十人小組、美國證券交易委員會以及歐盟銀行監(jiān)管部門等［4］都將 VaR作為風險度量的標準。在國內(nèi)，VaR方法也引起了金融機構(gòu)和學者的關(guān)注。2002年，Alexander等［5］研究了允許賣空情況下的以VaR為風險函數(shù)的“均值-VaR”模型投資組合有效前沿。2005年，郭丹等［6］研究了機會約束下的均值-VaR組合投資問題。2008年，李宏杰［7］考慮證券投資組合過程中的交易費用，建立機會約束下的含資本結(jié)構(gòu)因子和交易成本的均值-VaR模型。2010年，陳德秀、王建國［8］對均值-VaR分析下資產(chǎn)定價模型進行了拓展。經(jīng)濟全球化使得金融市場上風險與日俱增，采用新的更恰當?shù)姆椒▽鹑陲L險進行監(jiān)管，已成為各金融機構(gòu)和金融當局的當務(wù)之急。

本文從證券投資組合理論的風險度量著手，基于熵可以作為不確定性度量指標，把熵作為VaR度量風險的一種有效補償，以VaR和叉熵的線性組合為最小目標函數(shù)，預期收益率作為約束條件，并根據(jù)投資者對風險的具體厭惡程度對模型中各種備選證券的投資比例做出限定，構(gòu)建考慮交易成本、不允許賣空的基于均值-VaR-熵的證券投資組合模型，并利用實際數(shù)據(jù)求得該模型的最優(yōu)解及各資產(chǎn)的分配比例，證實該模型在我國金融風險監(jiān)管中確實行之有效。

1 模型構(gòu)建

假設(shè)有一種無風險證券和n種風險證券可供投資者選擇，投資分為m期，第i種風險證券在t時的收益率為rti(t=1，2，…，m;i=1，2，…，n)，收益率的數(shù)學期望為ri(i=1，2，…，n)，則 ri=第i種風險證券的方差為(i=1，2，…，n)，第i種和第j種風險證券的協(xié)方差為σij，因此(rtj-rj)。假設(shè)每筆風險交易都有c倍的交易成本，無風險證券的收益率為。各風險證券占總投資的比重分別為xi(i=1，2，…，n)，無風險證券的投資比例為x0，顯然各資產(chǎn)的投資比例之和要等于1，即可作為模型的一個約束條件。不允許賣空時有xi≥0(i=0，1，…，n)。投資者為了規(guī)避風險又可獲得滿意的收益，通常將無風險證券的投資比例設(shè)定在某一固定范圍內(nèi)，本研究設(shè)a≤x0≤b，其中0≤a≤b≤1。各風險證券的投資比例xi(i=1，2，…，n)的具體波動范圍可根據(jù)投資者的風險厭惡程度進行設(shè)定，本研究假設(shè)ai≤xi≤bi(i=1，2，…，n)，其中 ai、bi為常數(shù)，且滿足0≤ai≤bi≤1。對各證券投資比例xi的限定也是模型的約束條件，則投資組合的預期收益率和收益率的方差分別為

VaR指在正常的市場條件和給定的的置信水平α下，一定時期Δt內(nèi)，投資組合最大的可能損失，數(shù)學表達式為:P(rp＜-VaR)≤1-α，其中α為置信水平，VaR為置信水平α下處于風險中的價值。

通常情況下，投資組合的收益率并不服從正態(tài)分布，可應(yīng)用Bertsimas和Popescu的結(jié)論給出計算VaR值的嚴格形式［9］:，其中α∈(1/2，1]為置信水平。將投資組合的預期收益率和收益率的方差代入可得VaR的具體表達形式

常說的熵即信息熵，表示信息傳輸?shù)钠骄淮_定性，數(shù)學表達式為Sn(p1，p2，…，pn)=最小叉熵原理可表達為如下數(shù)學規(guī)劃問題［10］:

其中:p=(p1，p2，…，pn)為待求概率分布向量;q=(q1，q2，…，qn)為已知概率分布向量qi＞0，i=1，2，…，n);fj(j=1，2，…，m)為各階統(tǒng)計矩函數(shù);E(·)表示各階統(tǒng)計矩的數(shù)學期望值;D(p，q)為叉熵函數(shù)，表示待求概率分布p到已知概率分布q的單向距離。

在一定的期望收益水平p下，即投資組合的期望收益率rp不低于p，也就是rp≥p，將前面給出的投資組合期望收益率的表達式代入上式可以得到模型的一個約束條件，即

下面對目標函數(shù)給出進一步說明:基于熵可以作為不確定性度量指標，本文把熵作為VaR度量風險的一種有效補償，以收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下嚴格形式的VaR和叉熵函數(shù)的線性組合來度量風險，即目標函數(shù)為

將VaR具體形式代入，目標函數(shù)表達式為

其中0≤λ≤1為調(diào)節(jié)參數(shù)，根據(jù)風險偏好決定。

如果僅考慮投資組合的期望收益率在既定水平下投資風險最小，則由上面的分析可知，在收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下構(gòu)建考慮交易成本、不允許賣空的基于均值-VaR-熵的證券投資組合模型如下:

該模型的意義在于:通過確定適當?shù)慕M合證券的投資比例，可以使得證券組合投資的預期收益率和投資風險都達到投資者的要求。這一結(jié)論不僅對于一般散戶投資者的投資決策具有一定的指導意義，而且對于大規(guī)模的投資決策尤其機構(gòu)投資者也有著非常重要的意義。

2 實例分析

設(shè)某投資者選擇 A、B、C、D、E五只股票和一種無風險證券F進行投資。其中無風險證券F的日收益率r0=0.25%，投資比例設(shè)定在10%≤x0≤45%。B股票的投資比例為0.5%≤x2≤5%，D股票的投資比例為0.3%≤x4≤2.5%，其他3只股票的投資比例不做限制。調(diào)節(jié)參數(shù)取λ=0.01，另設(shè)風險資產(chǎn)交易費用率c=0.007 5，設(shè)收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下的均值-VaR-熵模型的置信水平為95%。已知A、B、C、D、E五只股票2010年5月至10月101個交易日的日收盤價，可計算5只股票各自的日收益率均值和方差，如表1所示，5只股票日收益率的協(xié)方差如表2所示。

表1 5只股票2010年5月至10月日收益率均值及方差

表2 5只股票2010年5月至10月日收益率協(xié)方差

由表1可知五只股票日收益率均值的最大值為3.53%，最小值為1.67%，而無風險證券F的日收益率為0.25%，低于5只股票日收益率均值的最小值，由投資比例的非負性和歸一性［11］可知min{ r0，rmin}≤p≤rmax，即:0.25%≤p≤3.53%。

此處投資者能接受的投資組合最小期望收益率p取值為2.0%時，將數(shù)據(jù)代入前面建立的均值-VaR-熵模型，用Matlab軟件編程進行求解非線性最優(yōu)化問題，可得具體投資比例，見表3。

表3 收益率服從非正態(tài)分布假設(shè)下均值-VaR模型求解結(jié)果

也就是說，在滿足收益要求及投資限制條件下，各證券投資比例為:當X=(0.282 8，0.043 3，0.102 6，0.025 0，0.446 3，0.100 0)T時，模型目標函數(shù)取得最小值，也就是最小風險M=0.376 5。由模型的最優(yōu)投資組合的求解可知，投資者會權(quán)衡風險和收益，在滿足預期收益的前提下選擇使得投資風險最小的組合來投資。此處的均值-VaR-熵模型考慮了投資者的風險厭惡程度，相對均值-方差模型來說更具有現(xiàn)實意義。

3 結(jié)束語

無論機構(gòu)還是個人投資者進行投資時，都應(yīng)充分考慮可選擇的投資工具及風險收益特征，盡量采取多元化投資來保證收益或規(guī)避風險，并注重投資組合的科學性、合理性及有效性。不同于Markowitz的均值-方差模型，本文從證券投資組合理論的風險度量著手，基于熵可以作為不確定性度量指標，把熵作為VaR度量風險的一種有效補償，以VaR和叉熵函數(shù)的線性組合為最小目標函數(shù)，預期收益率作為約束條件，并根據(jù)投資者對風險的具體厭惡程度對模型中各種備選證券的投資比例做出限定，構(gòu)建考慮交易成本、引入無風險證券投資、不允許賣空、收益率服從非正態(tài)分布的基于均值-VaR-熵的證券投資組合模型，并利用實際數(shù)據(jù)求得該模型的最優(yōu)解及各資產(chǎn)的分配比例，是將VaR方法和熵函數(shù)應(yīng)用于現(xiàn)實金融市場風險管理中的一次有益嘗試。

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