非線性擴散方程的條件Lie-B?cklund對稱和符號不變量

姬利娜， 鄭群珍

(1.河南農業(yè)大學 信息與計算科學系 河南 鄭州 450002； 2.河南教育學院 數(shù)學系 河南 鄭州 450046)

非線性擴散方程的條件Lie-B?cklund對稱和符號不變量

姬利娜1， 鄭群珍2

(1.河南農業(yè)大學 信息與計算科學系 河南 鄭州 450002； 2.河南教育學院 數(shù)學系 河南 鄭州 450046)

考慮了徑向對稱非線性擴散方程的條件Lie-B?cklund對稱和符號不變量.允許二階條件Lie-B?cklund對稱和一階Hamilton-Jacobi型符號不變量的方程被確定給出,并由對稱約化得到了方程的不變解.

非線性擴散方程； 條件Lie-B?cklund對稱； 符號不變量

0 引言

文獻[1-2]分別獨立地引入了條件Lie-B?cklund對稱方法.如同Lie-B?cklund對稱方法是對古典對稱方法的推廣一樣，條件Lie-B?cklund對稱方法是對非古典對稱方法的自然推廣.計算條件Lie-B?cklund對稱的過程和計算非古典對稱的一樣，最重要的是事先給定條件Lie-B?cklund對稱的形式.

事實證明條件Lie-B?cklund對稱方法是對非線性擴散方程進行對稱約化的有效方法之一[3-4]，還可給出分離變量[5]和不變子空間[6]的對稱群解釋.該方法和 Hamilton-Jacobi型符號不變量也是密切相關的[7-8].對二階的非線性擴散方程，關于其二階條件Lie-B?cklund對稱的結果可轉化為其Hamilton-Jacobi 型符號不變量.符號不變量的思想源于氧化反應擴散方程的爆破奇性分析.Hamilton-Jacobi 型符號不變量可對非線性拋物型方程的通解進行確界估計，該量也可用于研究通解的漸近行為和性態(tài).

本文考慮徑向對稱的非線性擴散方程

(1)

的二階條件Lie-B?cklund對稱和一階Hamilton-Jacobi型符號不變量及其不變解，其中D(u)=uk,Q(r,u)分別為擴散項和源項.該方程可用于描述非線性熱擴散以及非牛頓流體的非線性剪流等[9-10].

1 基本定理和記號

下面給出非線性演化方程的條件Lie-B?cklund對稱方法和符號不變量方法的基本定義和命題.令

(2)

是具特征η的演化向量場，且

ut=E(r,t,u,u1,…,un)

(3)

是一非線性演化方程，其中，

定義1演化向量場 (2) 稱作方程 (3) 的Lie-B?cklund對稱當且僅當

V(ut-E)|L=0,

定義2演化向量場 (2) 稱作方程 (3) 的條件Lie-B?cklund對稱當且僅當

V(ut-E)|L∩M=0,

下面的命題在計算條件Lie-B?cklund對稱時是至關重要的.

命題1[1-2]方程 (3) 允許條件Lie-B?cklund對稱 (2) 的充分條件是存在W(t,r,u,η)使得

(4)

該命題的明顯推論是，若

Dtη|L∩M=0,

(5)

則方程(3)允許具特征η的條件Lie-B?cklund對稱.

令

J(r,u)=J(r,t,u,ut,ur)

(6)

是一階Hamilton-Jacobi算子，其中J(·)是充分光滑的.

定義3[11]算子(6)是方程(3)的Hamilton-Jacobi型符號不變量，等價于算子 (6) 在方程(3)的解流行上具有保號性，即

J(r,u)≥0(≤0),t=0,
?J(r,u)≥0(≤0),tgt;0.

對方程 (1)，我們考慮具特征

(7)

的條件Lie-B?cklund對稱.不難證明算子

(8)

是方程(1)的Hamilton-Jacobi型符號不變量.證明過程如文獻[7]中的命題 2.1.

2 方程(1)的條件Lie-B?cklund對稱和符號不變量

由(5)直接運算可得關于ur的多項式恒為0，故該多項式的系數(shù)為0.即方程 (1) 允許條件Lie-B?cklund對稱(7)的充分條件是H(u),G(r,u),F(r,u),Q(r,u)和滿足非線性偏微分方程組，即所謂的決定方程組.值得注意的是對于特殊的m=2,-1,-2，多項式的某些項可以合并.因而這些特殊情形會引入新的決定方程組.求解這些決定方程組可以得到新的結果.由(8)可確定方程(1)允許的Hamilton-Jacobi型符號不變量(8).由方程(1)和其允許的條件Lie-B?cklund對稱的相容性可對方程進行對稱約化得到其不變解.先由η=0得到含有依賴于t的積分常數(shù)的解，將其代入原方程可確定與t相關的積分常數(shù).下面給出幾個例子表明該約化過程.

例1方程

(9)

允許條件Lie-B?cklund對稱

和Hamilton-Jacobi型符號不變量

方程 (9) 的解為

其中α(t)和β(t)滿足

α′+(n-3)β2-b=0, 2β′-3β3+3a=0.

例2方程

(10)

允許條件Lie-B?cklund對稱

和Hamilton-Jacobi型符號不變量

方程 (10) 的解如下給出:

當a≠0時,

其中α(t)和β(t)滿足

當a=0時,

u(r,t)=rα(t)β(t),

其中α(t)和β(t)滿足

α′=b,β′=nα-1β+c+d+1.

例3方程

(11)

允許條件Lie-B?cklund對稱

和Hamilton-Jacobi型符號不變量

方程 (11) 的解如下給出:

當k≠3時,

其中α(t)和β(t)滿足

當k=3時,

其中α(t)和β(t)滿足

α′=2α-1+b;β′=4nα-2+a+c.

3 結論

本文給出了方程(1)的二階條件Lie-B?cklund對稱和一階Hamilton-Jacobi型符號不變量的結構.允許條件Lie-B?cklund對稱(7)和符號不變量(8)的非線性擴散方程被確定給出.通過對稱約化得到了方程相應的不變解.對非線性擴散方程，二階條件Lie-B?cklund對稱約化是行之有效的,可以得到許多有意思的結果.在以后的工作中，我們可考慮其他類型的條件Lie-B?cklund對稱，如高階的條件Lie-B?cklund對稱，可能得到其他有意思的結果.

[1] Zhdanov R Z. Conditional Lie-B?cklund symmetry and reduction of evolution equation[J]. J Phys A: Math Gen, 1995, 28 (13): 3841-3850.

[2] Fokas A S, Liu Qingming. Nonlinear interaction of traveling waves of nonintegrable equations[J]. Phys Rev Lett, 1994, 72 (21): 3293-3296.

[3] Qu Changzheng. Group classification and generalized conditional symmetry reduction of the nonlinear diffusion-convection equation with a nonlinear source[J]. Stud Appl Math, 1997, 99(2): 107-136.

[4] Ji Lina, Qu Changzheng. Conditional Lie-B?cklund symmetries and solutions to (n+1)-dimensional nonlinear diffusion equations[J]. J Math Phys, 2007, 48(10): 103509.

[5] Qu Changzheng, Zhang Shunli, Liu Ruochen. Separation of variables and exact solutions to quasilinear diffusion equations with nonlinear source[J]. Physica D, 2000, 144(1): 97-123.

[6] Ji Lina, Qu Changzheng. Conditional Lie-Backlund symmetries and invariant subspace to nonlinear diffusion equations[J]. IMA J Appl Math, 2011, 76(4): 610-632.

[7] Qu Changzheng, Estevez P G. On nonlinear diffusion equations withx-dependent convection and absorption[J]. Nonlin Anal TMA, 2004, 57(4): 549-557.

[8] Ji Lina, Qu Changzheng, Wang Lizhen. Conditional Lie-B?cklund symmetries and sign-invariants to quasilinear diffusion[J]. Stud Appl Math, 2007, 119(4):355-391.

[9] Pascal J P, Pascal H. On some diffusive waves in nonlinear heat conduction[J]. Int J Nonlin Mech, 1993, 28(6): 641-649.

[10] Pascal J P, Pascal H. On some nonlinear shear flows of non-newtonian fulids[J]. Int J Nonlin Mech, 1995, 30(4): 487-500.

[11] Galaktionov V A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new explicit solutions[J]. Nonlin Anal TMA, 1994, 23(12): 1595-1621.

Sign-invariantsandConditionalLie-B?cklundSymmetriesoftheNonlinearDiffusionEquations

JI Li-na1, ZHENG Qun-zhen2

(1.DepartmentofInformationandComputationalScience,HenanAgriculturalUniversity,Zhengzhou450002,China; 2.DepartmentofMathematics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

The conditional Lie-B?cklund symmetries and sign-invariants of the radially symmetric non-linear diffusion equations were considered. The equations, which admitted of second-order conditional Lie-B?cklund symmetries and first-order Hamilton-Jacobi sign-invariants, were obatined and the corresponding invariant solutions to the resulting equations were also obtained due to symmetry reductions.

nonlinear diffusion equations; conditional Lie-B?cklund symmetry; sign-invariants

2012-11-08

國家自然科學基金資助項目，編號U1204104.

姬利娜(1979-)，女，講師，博士，主要從事微分方程研究, E-mail:jilina@henau.edu.cn.

O 175.14

A

1671-6841(2013)01-0001-04

10.3969/j.issn/1671-6841.2013.01.001