關(guān)于108階群的完全分類

陳松良, 蔣啟燕

(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550018；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550001)

關(guān)于108階群的完全分類

陳松良1, 蔣啟燕2

(1.貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550018；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 貴州 貴陽 550001)

設(shè)G是108階群，對群G進行了完全分類，證明了G共有45種互不同構(gòu)的類型.若Sylow子群都正規(guī)，則G有10種；若Sylow 2-子群正規(guī)而Sylow 3-子群不正規(guī)，則G有7種；若Sylow 3-子群正規(guī)而Sylow 2-子群不正規(guī)，則G有28種；若Sylow子群都不正規(guī)，則G不存在.

有限群； 同構(gòu)分類； 群的構(gòu)造

0 引言

決定n階群的構(gòu)造是有限群論中一個基本分類問題.當p是奇素數(shù)且p≠3時，文[1]確定了22p3階群的構(gòu)造，所用方法與文[2-3] 的相同. 本文用新方法確定2233，即108階群的全部構(gòu)造，結(jié)論見定理1.

定理1設(shè)G是108階群，則G共有45種互不同構(gòu)的類型，其中Sylow子群都正規(guī)的有10種，Sylow 2-子群正規(guī)而Sylow 3-子群不正規(guī)的有7種，Sylow 3-子群正規(guī)而Sylow 2-子群不正規(guī)的有28種，并且不存在Sylow子群都不正規(guī)的108階群.

1 定理證明

引理1如果G是108階有限冪零群，則G恰有10種互不同構(gòu)的類型：1)G1?C108；2)G2?C54×C2；3)G3?C36×C3；4)G4?C18×C6；5)G5?E27×C4；6)G6?E27×E4；7)G7?A×C4；8)G8?A×E4；9)G9?B×C4；10)G10?B×E4.

下面討論G是108階非冪零群的同構(gòu)分類問題.

(i)P是27階循環(huán)群.設(shè)P=〈x〉，則CP(Q)=〈x3〉.于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu),因此不難得知G的構(gòu)造是G11.

(ii)P是交換群C9×C3.設(shè)P=〈x,y|x9=y3=1=[x,y]〉，則CP(Q)可為P的9階循環(huán)子群，也可為P的9階初等交換子群.

首先，設(shè)CP(Q)是P的9階初等交換子群，則CP(Q)=〈x3,y〉，于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu)，可設(shè)ax=b,bx=ab. 這時〈y〉?G，〈a,b,x〉?G，從而G=〈y〉×〈x,a,b〉=〈y〉×(〈x〉∝(〈a〉×〈b〉))?C3×(C9∝E4),因此G的構(gòu)造是G12.

其次，設(shè)CP(Q)是9階循環(huán)群.注意到P的每個9階元都可看成P的一個生成元，于是不妨設(shè)CP(Q)=〈x〉，而y作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu)，所以可設(shè)ay=b,by=ab. 顯然G=〈x〉×(〈y〉∝(〈a〉×〈b〉))?C3×(C9∝E4)，C3∝E4?A4，故G的構(gòu)造是G13.

(iii)P是初等交換群E27.這時CP(Q)只能是9階初等交換群，不妨設(shè)CP(Q)=〈y,z〉，于是G=〈y,z〉×(〈x〉∝〈a,b〉)，而〈x〉∝〈a,b〉?A4，故G的構(gòu)造是G14.

(iv)P是非交換群A.這時CP(Q)可為P的9階循環(huán)子群，也可為P的9階初等交換子群.當CP(Q)為P的9階正規(guī)循環(huán)子群時，不妨設(shè)CP(Q)=〈x〉，于是y作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu)，所以G=〈x〉∝(〈y〉∝〈a,b〉)?Z9∝A4，故G的構(gòu)造是G15.

當CP(Q)為P的9階正規(guī)初等交換子群時，必有CP(Q)=〈x3〉×〈y〉，于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu)，所以G的構(gòu)造是G16.

(v)P是非交換群B.這時CP(Q)只能是9階初等交換群，不妨設(shè)CP(Q)=〈y,z〉，于是x作用在Q上誘導(dǎo)Q的一個3階自同構(gòu)，所以G的構(gòu)造是G17. 證畢.

證明設(shè)P=Z27=〈x〉，則Aut(P)是18階循環(huán)群. 又因為Q不正規(guī)，所以Q/CQ(P)是2階群，從而CQ(P)也是2階群. 當Q是4階循環(huán)群時，設(shè)Q=〈a〉，則CQ(P)=〈a2〉，故G的構(gòu)造是G18. 當Q是4階初等交換群時，設(shè)Q=〈a〉×〈b〉，不妨設(shè)CQ(P)=〈b〉，從而G的構(gòu)造是G19. 證畢.

證明此時顯然P的Frattini子群Φ(P)=〈x3〉是3階群，而Φ(P)charP,P?G,于是Φ(P)?G.又不難證明〈x3,y〉 是P的唯一的9階初等交換子群， 從而它是P的特征子群，于是它又必是G的正規(guī)子群. 既然〈x3〉與〈x3,y〉都是Q-不變的，由Maschke定理[4]知,〈x3〉在〈x3,y〉中有3階Q-不變補子群，不妨設(shè)其為〈y〉. 又〈x3,y〉/〈x3〉是9階初等交換群〈x,y〉/〈x3〉的Q-不變子群，再由Maschke定理知〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中有3階Q-不變的補子群〈xiyj〉/〈x3〉，其中i=1,2,4,5,7,8,j=0,1,2. 但〈xiyj,y〉=〈x,y〉，故不妨設(shè)〈x〉/〈x3〉是〈x3,y〉/〈x3〉在〈x,y〉/〈x3〉中的3階Q-不變的補子群，因而〈x〉，〈y〉都是Q-不變的. 由于Q/CQ(x)同構(gòu)于Aut(〈x〉)的一個子群，但Aut(〈x〉)是6階循環(huán)群，所以CQ(x)是2階群或等于Q. 同理，CQ(y)也是2階群或等于Q，但顯然CQ(x)與CQ(y)不能同時等于Q.若CQ(x)是Q，而CQ(y)是2階群，則當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時，必有CQ(y)=〈a2〉且ya=y-1，因此得G的構(gòu)造為G20.

當Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群時，不妨設(shè)CQ(y)=〈b〉 ，而ya=y-1，于是G=〈x,b〉×〈a,y〉?C18×S3，因此G的構(gòu)造為G21.

若CQ(y)是Q，而CQ(x)是2階群，則當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時，必有CQ(x)=〈a2〉且xa=x-1，因此得G的構(gòu)造為G22.

又當Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群時，不妨設(shè)CQ(x)=〈b〉，而xa=x-1，于是G=〈y,b〉×〈a,x〉?C6×〈a,x〉，因此G的構(gòu)造為G23.

若CQ(x)，CQ(y)都是2階群，則當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時，必有xa=x-1，ya=y-1，因此G的構(gòu)造為G24.

若CQ(x)，CQ(y)都是2階群，而Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群，則當CQ(x)=CQ(y)時，不妨設(shè)CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，于是xa=x-1，ya=y-1，因此G的構(gòu)造為G25.

若CQ(x)，CQ(y)都是2階群，Q=〈a〉×〈b〉是4階初等交換群，但CQ(x)≠CQ(y)，則不妨設(shè)CQ(x)=〈b〉，CQ(y)=〈a〉，于是xa=x-1，yb=y-1，因此G的構(gòu)造為G26. 證畢.

證明設(shè)P=E27=〈x〉×〈y〉×〈z〉.

(i)假定G是超可解的.這時G的主因子都是素數(shù)階循環(huán)群，所以不妨設(shè)〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不變子群，于是CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是Q或2階群，但不能全是Q. 當Q=〈a〉是4階循環(huán)群時，Q中只有一個2階子群〈a2〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2個是Q時，不妨設(shè)CQ(y)=CQ(z)=Q，則CQ(x)=〈a2〉，且必有xa=x-1，從而G的構(gòu)造為G27.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有一個是Q時，不妨設(shè)CQ(z)=Q，則CQ(x)=CQ(y)=〈a2〉，且必有xa=x-1，ya=y-1，從而G的構(gòu)造為G28.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2階群，則xa=x-1,ya=y-1,za=z-1，因此G的構(gòu)造為G29.

當Q=〈a〉×〈b〉時，Q中有3個2階子群〈a〉，〈b〉，〈ab〉. 若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中有2個是Q時，不妨設(shè)CQ(y)=CQ(z)=Q，CQ(x)=〈b〉，則xa=x-1，所以G=〈y,z,b〉×〈x,a〉?E9×C2×S3，于是得G的構(gòu)造為G30.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)中只有一個是Q時，不妨設(shè)CQ(z)=Q. 則當CQ(x)，CQ(y)是2個相同的2階群時，可設(shè)CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，從而G的構(gòu)造為G31.

而當CQ(x)，CQ(y)是不同的2階群時，不妨設(shè)CQ(x)=〈a〉,CQ(y)=〈b〉，于是不難看出G=〈z〉×〈x,b〉×〈y,a〉?C3×S3×S3，從而G的構(gòu)造為G32.

若CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)都是2階群時，則當它們都相同時，不妨設(shè)都是〈b〉，于是易見G的構(gòu)造為G33.

而當它們中有2個相同但另一個不同時，不妨設(shè)CQ(x)=CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈a〉，于是G=〈z,b〉×(〈a〉∝(〈x〉×〈y〉))，且〈z,b〉?S3，xa=x-1,ya=y-1，從而G的構(gòu)造為G34.

而當CQ(x)，CQ(y)，CQ(z)是3個互不相同的2階群時，不妨設(shè)CQ(x)=〈a〉，CQ(y)=〈b〉，CQ(z)=〈ab〉，于是xb=x-1，ya=y-1，za=zb=z-1，故G的構(gòu)造為G35.

(ii)假定G不是超可解的.由于P可看成是3元域F3上的3維線性空間，對于Q中任意一個元素a，它在P上的作用對應(yīng)F3上3維線性空間的一個線性變換，仍用a表示. 如果P是G的極小正規(guī)子群，則Q在P上的作用是不可分解的. 于是Q中至少有一個元素a的特征多項式f(λ)是F3上的3次不可約多項式. 但a4=1，所以f(λ)應(yīng)為λ4-1的因式，這是不可能的. 因此P不是G的極小正規(guī)子群. 又G不是超可解的，所以G應(yīng)有一個9階極小正規(guī)子群，不妨設(shè)其為〈x〉×〈y〉. 這時Q中至少有一個元素a的特征多項式f(λ)有一個2次不可約因式，且是λ4-1的因式．由此不難得出f(λ)=(λ2+1)(λ-1)或f(λ)=(λ2+1)(λ+1)，從而Q只能是4階循環(huán)群，這時G有2種不同的構(gòu)造G36，G37. 證畢.

證明設(shè)P=〈x,y|x9=1=y3,xy=x4〉，不難驗證Z(P)=〈x3〉且〈x3,y〉是P的唯一的9階初等交換子群，因而它們都是G的正規(guī)子群，從而G是超可解的. 類似于引理4的證明，可設(shè)〈x〉，〈y〉都是Q-不變的. 若Q是4階循環(huán)群〈a〉，則因為[x,y]=x3∈Z(P)，所以當xa=x-1,ya=y-1時，[x,y]a=[xa,ya]=x3≠(x3)a，矛盾；當xa=x,ya=y-1時，[x,y]a=[x,ya]=x-3≠(x3)a，亦矛盾，因此只能有xa=x-1,ya=y，于是G的構(gòu)造為G38. 若Q是4階初等交換群〈a〉×〈b〉，則CQ(x)與CQ(y)是2階群或Q. 類似于上段的討論，必有CQ(y)=Q，從而CQ(x)必是2階群，不妨設(shè)CQ(x)=〈b〉，于是G的構(gòu)造為G39. 證畢.

證明P=〈x,y,z|x3=y3=z3=1=[x,z]=[y,z],[x,y]=z〉，則Z(P)=〈z〉，于是P/〈z〉=〈x,y〉/〈z〉是Q-不變的9階初等交換群.

首先，如果G是超可解的，那么〈x,y〉/〈z〉有3階Q-不變子群，不妨設(shè)其是〈x,z〉/〈z〉，由此又知〈x,z〉是Q-不變的9階初等交換群，所以由Maschke定理知〈z〉在〈x,z〉中有3階Q-不變的補子群，不妨設(shè)其是〈x〉. 同理，因為〈x,z〉/〈z〉是〈x,y〉/〈z〉的3階Q-不變子群，所以〈x,z〉/〈z〉在〈x,y〉/〈z〉中有3階Q-不變的補子群，不妨設(shè)其是〈y,z〉/〈z〉，從而〈y〉也是Q-不變子群. 總之，可設(shè)〈x〉，〈y〉，〈z〉都是Q-不變子群. 若Q是4階循環(huán)群〈a〉，則xa=x或xa=x-1，ya=y或ya=y-1，za=z或za=z-1，注意到[x,y]=z且Q不正規(guī)，所以能夠成立的情況有3種：(i)xa=x-1,ya=y,za=z-1；(ii)xa=x-1，ya=y-1，za=z；(iii)xa=x,ya=y-1,za=z-1. 但在(iii)中，若將x,y互換，同時將z,z2互換，則得(i)，因此由(i)或(iii)得到的G的構(gòu)造同構(gòu)，這時G的構(gòu)造為G40. 由(ii)得到的G的構(gòu)造為G41.

若Q是4階初等交換群〈a〉×〈b〉，則類似于上段的討論可知，〈a〉在P上的作用可得到2種不同構(gòu)的54階非冪零超可解群〈a〉P. 同理，〈b〉在P上的作用也可得到2種不同構(gòu)的54階非冪零超可解群〈b〉P. 所以，如果CP(a)，CP(b)中恰有一個是P時，不妨設(shè)CP(b)=P，則G=〈b〉×〈x,y,z,a〉，于是得G的2種不同的構(gòu)造G42，G43.

如果CP(a)，CP(b)都不是P時，則可能有4種情況出現(xiàn)：(a)xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(b)xa=x-1,ya=y,za=z-1，xb=x-1,yb=y-1,zb=z；(c)xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y,zb=z-1；(d)xa=x-1,ya=y-1,za=z，xb=x-1,yb=y-1,zb=z.

若條件(a)或(d)成立，則CP(ab)=P，又〈a,b〉=〈ab,b〉=〈a,ab〉，由此不能得到G的新的構(gòu)造. 若在條件(c)中將a,b互換位置，則得條件(b)，所以由(b)或(c)可得到G的一種新的構(gòu)造G44.

其次，如果G不是超可解的，那么Q在〈x,y〉/〈z〉上的作用是不可分解的. 又〈x,y〉/〈z〉可看成是3元域F3上的2維線性空間，Q中任意一個元素a可看成是F3上的2維線性空間的一個可逆線性變換. 類似于引理5的證明中(ii)討論，可知Q只能是4階循環(huán)群，且可設(shè)Q=〈a〉，xa=y,ya=x-1，再由[x,y]=z得za=z，從而G的構(gòu)造為G45. 證畢.

引理8設(shè)群G的階為108=22·33，則G的Sylow 2-子群或Sylow 3-子群正規(guī).

由以上8個引理可知，定理1成立.

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[8] 楊立英，宋玉. 極大子群的次正規(guī)完備與有限群的可解性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，34(5)：655-658.

OntheClassificationofGroupsofOrder108

CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2

(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalCollege,Guiyang, 550018，China；2.SchoolofMathematicsandComputerScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang, 550001，China)

LetGbe finite groups of order 108. It was showed thatGhad 45 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was normal,Ghad 10 nonisomorphic types. If every Sylow 2-subgroup was normal and every Sylow 3-subgroup was non-normal,Ghad 7 nonisomorphic types. If every Sylow 3-subgroup was normal and every Sylow 2-subgroup was non-normal,Ghad 28 nonisomorphic types. If every Sylow subgroup was non-normal,Ghad 0 nonisomorphic types.

finite group; isomorphic classification; structure of group

2012-08-16

貴州省自然科學(xué)基金資助項目，編號2010GZ77391.

陳松良(1964-)，男，副教授，博士，主要從事代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究，E-mail: chsl2006@yahoo.com.cn.

O 152.1

A

1671-6841(2013)01-0010-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2013.01.003