指數(shù)分布下無(wú)替換定數(shù)截尾壽命二次抽樣檢驗(yàn)

趙晨皓， 宋向東

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

0 引言

近年來(lái)，截尾壽命檢驗(yàn)［1］得到了廣泛的研究，這種檢驗(yàn)要求進(jìn)行到投試樣品中有部分失效就停止檢驗(yàn)．截尾壽命檢驗(yàn)分為定數(shù)截尾壽命檢驗(yàn)［2］和定時(shí)截尾壽命檢驗(yàn)［3］．根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)品的壽命一般服從指數(shù)分布［4］和威布爾分布［5］，在這里，本文只討論指數(shù)分布下的定數(shù)截尾壽命檢驗(yàn)［6］，稱

的壽命分布為指數(shù)分布，其中λ為常數(shù)．定數(shù)截尾壽命檢驗(yàn)是指n個(gè)獨(dú)立同型產(chǎn)品從t=0開(kāi)始進(jìn)行壽命檢驗(yàn)，試驗(yàn)到第r個(gè)失效時(shí)刻終止，考慮無(wú)替換定數(shù)截尾情形，假設(shè)n個(gè)樣品受試，試驗(yàn)到tr時(shí)停止，此時(shí)獲得前r個(gè)壽命數(shù)據(jù)，r個(gè)失效時(shí)間記錄為t1≤t2≤…≤tr(1＜r≤n)，則平均壽命θ的估計(jì)量為 θ^=Tr/r，式中

在定數(shù)截尾壽命檢驗(yàn)一次抽樣［7］中，記生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量水平為θ0，也稱可接受平均壽命θ0，使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量水平為θ1，也稱極限平均壽命θ1，生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)α，使用方風(fēng)險(xiǎn)β．驗(yàn)收規(guī)則為:當(dāng)θ^≥c時(shí)，接受該批;當(dāng)＜ c時(shí)，拒絕該批．將此方案記為方案(n，c，r)，其中 n 為樣本量，c為接收常數(shù)，r為截尾數(shù)．方案(n，c，r)的接受概率為 Pa(θ)=Pa≥c)．

本方案與n無(wú)關(guān)，為了確定產(chǎn)品檢驗(yàn)的樣品量，規(guī)定樣本量n與截尾數(shù)r按4∶1進(jìn)行計(jì)算來(lái)制定方案，下面的定數(shù)截尾壽命二次抽樣方案都按此比例進(jìn)行．

1 定數(shù)截尾壽命二次抽樣方案簡(jiǎn)介

2 接收概率

二次方案接收概率的一般表達(dá)式為

下面用圖2表示出需要求的第2項(xiàng)這個(gè)概率．

在圖2中，A1與B1所加的條形區(qū)域代表第1次抽樣不能做出判斷繼續(xù)抽樣的概率，即圖2中有圈的區(qū)域代表第1樣本不能做出接收與拒收的條件下，第2樣本判批接收的概率，即

因?yàn)橐蟮氖怯腥Φ膮^(qū)域代表的概率，從圖2中可以看出，可以用條形區(qū)域減去有斜線的區(qū)域的概率，所以接收概率可以寫為

下面介紹一下求有斜線區(qū)域代表的概率的方法．

可以采用數(shù)值計(jì)算的方法，即將這部分分割，等分為n份近似的矩形區(qū)域，計(jì)算在每一個(gè)小矩形的概率，然后進(jìn)行累積求和即可．

取其中一個(gè)小矩形，橫坐標(biāo)的兩個(gè)端點(diǎn)值為X(i)和X(i+1)，中點(diǎn)值為，為了計(jì)算的精確，縱坐標(biāo)的值為A2－Xd，那么在這個(gè)小矩形中的概率為

從而在整個(gè)區(qū)域的概率為

因此，二次抽樣的接收概率為

由于(2r θ^/θ)～χ2(2r)，為了使二次抽樣方案和一次抽樣方案能夠?qū)?yīng)，使用相同的分布進(jìn)行計(jì)算．二次抽樣一般習(xí)慣上抽取的n1，n2是相同的，即n1=n2，那么也就是規(guī)定截尾數(shù)r1=r2，以后統(tǒng)一使用r．因?yàn)棣萟1與θ^2都是代表著平均壽命，所以它們服從同樣的分布，有

3 平均樣本量ASN

二次抽樣方案［8］的平均樣本量是

4 一次方案與二次方案的比較

制定的二次抽樣方案從結(jié)果上看是與相應(yīng)的一次方案等效的，也就是說(shuō)具有相同的OC曲線，下面給出一個(gè)例題，制定一次抽樣方案和一個(gè)相應(yīng)的二次抽樣方案，在擬合等效的情況下進(jìn)行平均樣本量的比較．

例 對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)．設(shè)定:θ0=900 h，θ1=300 h，α =0．05，β =0．10．

在給定的條件下，通過(guò)計(jì)算得到定數(shù)截尾壽命一次抽樣方案是(32，8，448)，二次抽樣方案是(24，6，350，480，1 000)，下面給出2個(gè)方案接收概率曲線的擬合圖(見(jiàn)圖3)．

在等效的情況下，比較一下平均樣本量，見(jiàn)圖4．

從圖4上看出，在等效的抽樣效果下，二次抽樣的平均樣本量小于一次抽樣的樣本量，由此可以知道二次抽樣方案在節(jié)省樣本量上是很好的．

5 結(jié)論

本文根據(jù)定數(shù)截尾壽命一次抽樣方案，建立了定數(shù)截尾壽命二次抽樣方案，給出了二次抽樣方案的參數(shù)以及實(shí)施過(guò)程，給出在什么情況下做出如何判斷的規(guī)則．同時(shí)，本文重點(diǎn)給出了二次抽樣方案的接收概率，詳細(xì)介紹了接收概率的理論計(jì)算過(guò)程．通過(guò)介紹定數(shù)截尾壽命二次抽樣平均樣本量的理論，將一次抽樣與二次抽樣的平均樣本量進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)二次抽樣方案相對(duì)于一次抽樣方案確實(shí)節(jié)省樣本容量．

［1］ 袁建國(guó)，秦士嘉，周尊英，等．抽樣檢驗(yàn)原理與應(yīng)用［M］．北京:中國(guó)計(jì)量出版社，2002:187－196．

［2］ 張丕一．定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)下指數(shù)分布平均壽命的置信限的優(yōu)良性［J］．青島大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1999，12(4):14－19．

［3］ 吳啟光，呂建華．定時(shí)截尾下指數(shù)分布產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗(yàn)方案［J］．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2003，23(2):145－154．

［4］ 茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍．高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］．北京:高等教育出版社，1998:35－56．

［5］ 吳啟光，李國(guó)英，顧嵐，等．雙參數(shù)威布爾分布下可靠性抽樣檢驗(yàn)［J］．應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2004，21(3):270－286．

［6］ 武東，湯銀才．指數(shù)分布逐次定數(shù)截尾試驗(yàn)的多層貝葉斯估計(jì)［J］．上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28(2):113－116．

［7］ 孫艷君，宋立新．有替換定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)中可靠性的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)［J］．長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，29(1):1－3．

［8］ 周玲玲，余春花．計(jì)量調(diào)整型抽樣檢驗(yàn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］．統(tǒng)計(jì)與決策，2004，2(1):20－21．