一個(gè)橢圓積分的解與估值

肖業(yè)勝

(武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430080)

一個(gè)橢圓積分的解與估值

肖業(yè)勝

(武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430080)

橢圓積分；冪級(jí)數(shù)；Mathematica

在積分學(xué)中，橢圓積分最初出現(xiàn)于橢圓的弧長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題中.Guilio Fagnano和歐拉是最早的研究者.通常，每個(gè)橢圓積分可以變?yōu)橹簧婕坝欣砗瘮?shù)和三個(gè)經(jīng)典形式的積分，即，第一，第二和第三類的橢圓積分.但是，橢圓積分不能用基本函數(shù)來(lái)表達(dá).本文僅討論一個(gè)具體的橢圓積分：

(1)

(注意：x∈[-1.1]?{x|-4

這樣，求得了式(1)的值，其結(jié)果是一個(gè)無(wú)窮和，可以用其部分和來(lái)近似地表示積分的值.下面估計(jì)式(1)的值.當(dāng)04-x2-x3>4-2x2，

只當(dāng)x=0時(shí)，聯(lián)立不等式左邊取等號(hào)，當(dāng)x=0或x=1時(shí)，聯(lián)立不等式左邊取等號(hào).所以，

(2)

最后，借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica[1-2]求出式(1)的近似值，并式(2)的正確性.

首先，方程4-x2-x3=0的全部解為：

In[1]= NSolve[4-x^2-x^3□0,x]

Out[1]= {{x→-1.1573-1.30515TM},{x→-1.1573+1.30515TM},{x→1.3146}}

可以看出，在平面上，以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的單位圓內(nèi)，式(1)的被積函數(shù)無(wú)間斷點(diǎn).

由軟件計(jì)算，式(1)的數(shù)值積分值為：

In[2]=NIntegrate[1/Sqrt[4-x^2-x^3],{x,0,1}]

Out[2]=0.547962

In[3]=Integrate[1/Sqrt[4-x^2],{x,0,1}]

Out[3]=π/6

In[4]=NIntegrate[1/Sqrt[4-x^2],{x,0,1}]

Out[4]=0.523599

In[5]=Integrate[1/Sqrt[4-2x^2],{x,0,1}]

In[6]=NIntegrate[1/Sqrt[4-2x^2],{x,0,1}]

Out[6]=0.55536

這就驗(yàn)證了式(2)是成立的.

本文討論了橢圓積分式(1)的冪級(jí)數(shù)解法及積分的估值問(wèn)題，借助計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算，給出了式(1)的近似值，并驗(yàn)證了估計(jì)式(2)的正確性.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2007.

[2] 李亞杰,黃根隆.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社，2004.

SolutionandEstimationofAnEllipticIntegral

XIAO Ye-sheng

(Wuhan Engineering Institute,Wuhan 430080,China)

elliptic integral;power series;Mathematica

2013-03-24.

肖業(yè)勝(1956- )，男，副教授，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究.

O172.1

A

1008-8423(2013)02-0194-02