陀螺經(jīng)緯儀定向中施加子午線收斂角的問題探討

王慶林，王雅萍

(1.河南理工大學(xué)礦山空間信息技術(shù)國家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南焦作454100;2.河南理工大學(xué)測(cè)繪與國土信息工程學(xué)院，河南焦作454100;3.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測(cè)繪工程學(xué)院，北京100083)

一、引 言

在進(jìn)行井巷工程和地鐵隧道工程貫通測(cè)量時(shí)，測(cè)角誤差引起支導(dǎo)線終點(diǎn)位置的橫向誤差是主要的誤差來源，且測(cè)角誤差的影響隨著導(dǎo)線長(zhǎng)度的增大而增加，若不加以控制，甚至可能超過生產(chǎn)限差的要求。為防止測(cè)角誤差的累積影響，通常采取加測(cè)陀螺定向邊的方法控制測(cè)角誤差對(duì)導(dǎo)線終點(diǎn)位置誤差的影響。在進(jìn)行陀螺定向時(shí)，需要計(jì)算安置儀器點(diǎn)處的子午線收斂角，本文探討了子午線收斂角計(jì)算對(duì)陀螺經(jīng)緯儀定向精度的影響，并結(jié)合具體工程實(shí)例，給出子午線收斂角的正確計(jì)算方法。

二、子午線收斂角及其計(jì)算

子午線收斂角是指通過該點(diǎn)的子午線投影與過該點(diǎn)的縱坐標(biāo)線之間的夾角，規(guī)定西偏為正，東偏為負(fù)。

由文獻(xiàn)［1］可知，用大地坐標(biāo)(B，l)計(jì)算子午線收斂角的公式為

由平面坐標(biāo)(x，y)計(jì)算子午線收斂角的公式為

式中，Nf為垂足點(diǎn)處卯酉圈曲率半徑;其他有下標(biāo)f者可由垂足點(diǎn)緯度Bf計(jì)算。

上述兩個(gè)計(jì)算式計(jì)算結(jié)果以角度秒為單位，子午線收斂角計(jì)算精度為0.001″。

三、陀螺經(jīng)緯儀定向計(jì)算

陀螺經(jīng)緯儀定向的程序是：先在已知邊上測(cè)定儀器常數(shù)Δ;再到待定向邊上測(cè)定待定邊的陀螺方位角;最后再次測(cè)定儀器常數(shù)。儀器常數(shù)Δ、坐標(biāo)方位角α、大地方位角A和子午線收斂角γ等之間的關(guān)系如圖1和圖2所示。

圖1 陀螺儀器常數(shù)測(cè)定示意圖

圖2 定向邊坐標(biāo)方位角測(cè)定示意圖

由文獻(xiàn)［2］和圖1、圖2可知，儀器常數(shù)計(jì)算公式為

式中，A0為已知邊的地理方位角，且A0=α0+γ0;α0為已知邊的坐標(biāo)方位角;γ0為測(cè)站點(diǎn)處子午線收斂角;αT0為已知邊的陀螺方位角。

定向邊的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式為

式中，A為待定邊的地理方位角;γ為待定邊的測(cè)站點(diǎn)上子午線收斂角;α'T為待定邊的陀螺方位角。

將式(3)代入式(4)，經(jīng)整理后得

式中，Δγ=γ0－γ，為已知點(diǎn)和待測(cè)點(diǎn)處子午線收斂角的差值。

由式(5)可知，當(dāng)Δγ≈0時(shí)可不考慮γ的計(jì)算。

四、不同區(qū)域Δγ的計(jì)算及分析

當(dāng)測(cè)定儀器常數(shù)儀器安置點(diǎn)與待定向邊儀器安置點(diǎn)相距較近時(shí)，兩處子午線收斂角相差較小，可不考慮子午線收斂角的影響。那么，在用陀螺經(jīng)緯儀定向時(shí)，兩個(gè)儀器安置點(diǎn)之間相距多遠(yuǎn)時(shí)可不考慮子午線收斂角的影響，即Δγ=γ0－γ的值不至于影響定向結(jié)果的精度。下面以3°帶的中緯度地區(qū)子午線收斂角計(jì)算為例討論其對(duì)陀螺經(jīng)緯儀定向結(jié)果的影響。計(jì)算區(qū)域選擇：縱坐標(biāo)x為3320～6650 km，橫坐標(biāo)y為0～115 km，沿縱坐標(biāo)x按間隔1000 m、500 m、200 m、100 m，橫坐標(biāo) y間隔 200 m、100 m取一點(diǎn)。部分計(jì)算結(jié)果整理見表1～表6。

表1 沿坐標(biāo)軸Δx=1000 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表2 沿坐標(biāo)軸Δx=500 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表3 沿坐標(biāo)軸Δx=200 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表4 沿坐標(biāo)軸Δx=100 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表5 沿坐標(biāo)軸Δx=0 m、Δy=200 m，Δγ的最大變化值(″)

表6 沿坐標(biāo)軸Δx=0 m、Δy=100 m，Δγ的最大變化值(″)

其中，表1～表4是當(dāng)y坐標(biāo)為定值，沿x坐標(biāo)變化分別取1000 m、500 m、200 m、100 m 時(shí)兩個(gè)安置儀器點(diǎn)之間子午線收斂角差值Δγ的最大變化值;表5和表6是當(dāng)x坐標(biāo)為定值，沿y坐標(biāo)變化取200 m、100 m時(shí)兩個(gè)安置儀器點(diǎn)之間子午線收斂角差值Δγ的最大變化值。

由上述計(jì)算結(jié)果可以看出，沿x軸或y軸方向相鄰兩點(diǎn)處子午線收斂角的計(jì)算差值存在如下規(guī)律：

1)當(dāng)兩安置儀器點(diǎn)的Δy=0時(shí)，子午線收斂角的差值Δγ隨緯度的增大而增大，隨安置點(diǎn)的y坐標(biāo)(與中央子午線的經(jīng)差)增大而增大，特別是兩安置點(diǎn)的Δx值越大子午線收斂角的差值Δγ就越顯著(由表1～表4可看出)。

2)當(dāng)兩安置儀器點(diǎn)的Δx=0時(shí)，子午線收斂角的差值Δγ隨緯度的增大而增大，特別是兩安置點(diǎn)的Δy值越大子午線收斂角的差值Δγ就越顯著(由表5、表6可看出)。

3)當(dāng)兩安置儀器點(diǎn)的 y≤5 km、Δy=0、Δx≤500 m時(shí)，子午線收斂角的差值Δγ≤1″;當(dāng)兩安置儀器點(diǎn)的Δx≥1000 m時(shí)，子午線收斂角的差值Δγ隨著安置儀器點(diǎn)的x和y坐標(biāo)值的增大而增大，甚至可達(dá)到20″。

4)當(dāng)兩安置儀器點(diǎn)的Δx=0、Δy≥100 m時(shí)，子午線收斂角的差值Δγ≥1″;且Δγ隨安置儀器點(diǎn)的x、y和Δy的增大而增大，甚至可達(dá)到20″以上。

五、Δγ對(duì)陀螺經(jīng)緯儀定向的影響分析

目前所使用的陀螺經(jīng)緯儀精度有25″、20″和15″，自動(dòng)陀螺經(jīng)緯儀的精度可達(dá)到10″以下，甚至可達(dá)3″。由上述對(duì)子午線收斂角的計(jì)算可知：

1)若不考慮兩個(gè)安置儀器點(diǎn)所計(jì)算的子午線收斂角的差值Δγ，Δγ對(duì)陀螺定向的影響將成為系統(tǒng)誤差，這種誤差不可能從多次定向結(jié)果的精度評(píng)定中所發(fā)現(xiàn)。

2)當(dāng)子午線收斂角的差值Δγ≤1″時(shí)，對(duì)于實(shí)際定向精度大于10″的儀器，這種計(jì)算方法造成的系統(tǒng)誤差對(duì)定向總精度的影響不大于10%。只有在兩安置儀器點(diǎn)的y≤5 km、Δy=0、Δx≤500 m時(shí)，可不考慮Δγ對(duì)定向結(jié)果的影響。

3)若Δγ≥1″，對(duì)于實(shí)際定向精度高于10″的儀器，這種計(jì)算方法造成的系統(tǒng)誤差對(duì)于定向總精度將達(dá)10% 以上。特別是用于高精度的自動(dòng)陀螺經(jīng)緯儀定向時(shí)，這種誤差甚至可超過儀器本身的定向精度，在陀螺經(jīng)緯儀定向中這是絕對(duì)不允許的。

通過上述Δγ對(duì)陀螺經(jīng)緯儀定向精度的影響分析，在使用陀螺經(jīng)緯儀定向時(shí)，應(yīng)分別計(jì)算施加兩安置儀器點(diǎn)處的子午線收斂角γ。具體施加子午線收斂角的方法如下：

1)根據(jù)測(cè)定儀器常數(shù)安置儀器點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算子午線收斂角γ0。

2)根據(jù)待定邊安置儀器點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算子午線收斂角γ。

3)根據(jù)式(5)計(jì)算定向邊的坐標(biāo)方位角α。如某煤礦用陀螺經(jīng)緯儀定向獲得的數(shù)據(jù)如下：已知邊的坐標(biāo)方位角 α0=277°23'04.3″;陀螺方位角 αT0=278°14'38.6″;安置儀器點(diǎn)的坐標(biāo)為x=3 827 432.106 m，y=139 648.171 m;待定向邊陀螺方位角 α'T=82°40'28.6″;安置儀器點(diǎn)的坐標(biāo)約為x=3 827 630 m，y=139 800 m。

由式(1)分別計(jì)算兩個(gè)安置儀器點(diǎn)處的子午線收斂角分別為

由式(5)計(jì)算得定向邊的坐標(biāo)方位角為

六、結(jié)束語

本文分析了施加子午線收斂角對(duì)陀螺經(jīng)緯儀定向精度的影響，并用實(shí)例給出了正確施加子午線收斂角的方法，消除了過去對(duì)施加子午線收斂角的模糊認(rèn)識(shí)。同時(shí)，闡明了由兩個(gè)安置儀器點(diǎn)處的子午線收斂角的差值Δγ可造成定向結(jié)果中含有較大系統(tǒng)誤差，這一點(diǎn)對(duì)于用高精度的自動(dòng)陀螺儀定向尤為重要。

［1］張華海，王寶山，趙長(zhǎng)勝，等.應(yīng)用大地測(cè)量學(xué)［M］.徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2007.

［2］張國良，朱家鈺，顧和和.礦山測(cè)量學(xué)［M］.徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2008.

［3］王慶林，陀螺經(jīng)緯儀定向系統(tǒng)誤差研究［J］.測(cè)繪科學(xué)，2010，35(5)：56-57.

［4］薛志宏，李廣云，王留朋，等.陀螺定向中子午線收斂角的計(jì)算方法與精度分析［J］.測(cè)繪通報(bào)，2009(12)：43-45.

［5］鄔熙娟，王維，高俊強(qiáng).子午線收斂角和垂線偏差對(duì)陀螺方位角的影響［J］.南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，29(3)：94-98.