多項(xiàng)式曲面擬合和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GPS高程擬合方法的比較研究

王苗苗，柯福陽(yáng)

（1.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092；2.南京信息工程大學(xué) 遙感學(xué)院，江蘇 南京 210044）

大量實(shí)踐表明，利用GPS進(jìn)行平面相對(duì)定位的精度很高（平面相對(duì)精度已達(dá)到了0.1～1ppm，甚至更高［1］），這是常規(guī)的測(cè)量技術(shù)所難以達(dá)到的。由于GPS測(cè)量所用的高程基準(zhǔn)面（WGS－84參考橢球面）與實(shí)際應(yīng)用中的高程基準(zhǔn)面（似大地水準(zhǔn)面）不同，因而需要在兩個(gè)高程基準(zhǔn)面之間以一定的精度進(jìn)行轉(zhuǎn)換。由于受區(qū)域性的大地水準(zhǔn)面精度及電離層延遲誤差等因素的影響，進(jìn)行基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換后的高程精度還不夠高［2］，未能夠發(fā)揮GPS測(cè)量提供三維坐標(biāo)的優(yōu)越性，因而有必要對(duì)GPS高程測(cè)量的理論和高程測(cè)量的方法進(jìn)行研究，以促進(jìn)其在測(cè)量實(shí)踐中的應(yīng)用。

似大地水準(zhǔn)面和參考橢球面之間的距離，稱作高程異常，記為ζ，大地高與正常高之間的關(guān)系可以表示為

傳統(tǒng)的幾何水準(zhǔn)測(cè)量方法雖然精度高，但實(shí)施起來(lái)不但費(fèi)時(shí)而且效率不高。利用GPS測(cè)量成果和水準(zhǔn)測(cè)量成果確定似大地水準(zhǔn)面的方法稱為GPS水準(zhǔn)。

GPS水準(zhǔn)高程的基本思想是：在GPS網(wǎng)中聯(lián)測(cè)一些水準(zhǔn)點(diǎn)（要求這些點(diǎn)分布均勻、密度適宜），再利用這些公共點(diǎn)上的正常高Hr和大地高H（GPS測(cè)量獲得）求出它們的高程異常值ζ，然后根據(jù)這些點(diǎn)上的高程異常值ζ與平面坐標(biāo)x，y（由GPS網(wǎng)平差獲得）的關(guān)系，用最小二乘法擬合出測(cè)區(qū)高程異常分布的數(shù)值模型（即擬合出測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面），最后利用擬合的似大地水準(zhǔn)面進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算，獲得其他待定點(diǎn)的高程異常值ζ，利用式（1）或式（2）求出各未知點(diǎn)的正常高［3］，其主要方法有平面擬合法、曲面擬合法、曲線擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。

1 多項(xiàng)式曲面擬合法

多項(xiàng)式曲面擬合法的基本思想是：在小范圍GPS網(wǎng)內(nèi)，將似大地水準(zhǔn)面看成曲面，將高程異常值ζ表示為相應(yīng)點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y的函數(shù)，根據(jù)網(wǎng)中起算點(diǎn)（進(jìn)行了GPS測(cè)量同時(shí)又進(jìn)行幾何水準(zhǔn)測(cè)量的點(diǎn)）已知的高程異常值ζ將測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面形狀確定下來(lái)，然后求出其余各個(gè)待定點(diǎn)的高程異常值ζ，根據(jù)ζ＝H－Hr求出其他點(diǎn)的正常高Hr。假設(shè)n個(gè)點(diǎn)的高程異常ζ與其平面坐標(biāo)x，y都有以下關(guān)系：

式中：f（x，y）為ζ中趨勢(shì)值（擬合的似大地水準(zhǔn)面），ε為擬合誤差。

設(shè)

式中：a0，a1，a2，a3，a4，a5，…為待定系數(shù)。寫(xiě)成矩陣形式有

式中：

對(duì)于每一個(gè)已知點(diǎn)，都可列出方程（5），在∑ε2＝min的條件下，解出各未知參數(shù)ai，再按式（5）求出待求點(diǎn)的高程異常ζ，從而求出正常高Hr［4］。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Artificial Neural Network，ANN），亦稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Neural Network，NN），是對(duì)人腦的抽象、簡(jiǎn)化和模擬，反映人腦的基本特征。人工神經(jīng)元（Neurons）是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本處理單元。一種簡(jiǎn)化的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)如圖1所示，是一個(gè)多輸入、單輸出的非線性原件。

圖1 人工神經(jīng)元模型

xj（j＝1，2，…，N）為神經(jīng)元i的輸入信號(hào)，wij為突觸強(qiáng)度或連接權(quán)；ui為由輸入信號(hào)線性組合后的輸出，是神經(jīng)元i的凈輸入；θi為神經(jīng)元的閾值或偏差，用bi表示；vi為經(jīng)偏差調(diào)整后的值，也稱為神經(jīng)元i的局部感應(yīng)區(qū)。各個(gè)參數(shù)的關(guān)系如下：

f（·）是激勵(lì)函數(shù)，其作用是對(duì)神經(jīng)元的輸出進(jìn)行限制，將神經(jīng)元的輸出信號(hào)壓縮（限制）在一個(gè)允許的范圍內(nèi)，使其成為有限值。通常，神經(jīng)元輸出的擴(kuò)充范圍在［0，1］或［－1，1］閉區(qū)間，yi是神經(jīng)元i的輸出。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BackPropagation NW）利用網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)映射能力實(shí)現(xiàn)非線性運(yùn)算，是一種誤差反向傳播的多層前饋網(wǎng)絡(luò)［5］，由輸入層、隱含層（可以有多個(gè)）、輸出層組成，各層之間無(wú)反饋連接，各層內(nèi)神經(jīng)元之間無(wú)任何連接，僅相鄰層神經(jīng)元之間有鏈接。含有兩個(gè)隱含層的BP網(wǎng)絡(luò)如圖2所示［6］。

圖2 含有兩個(gè)隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

GPS高程擬合的實(shí)質(zhì)是求一個(gè)映射關(guān)系，該映射關(guān)系實(shí)現(xiàn)從R＝2（表示GPS點(diǎn)的平面坐標(biāo)或者大地坐標(biāo)）到R＝1（表示GPS點(diǎn)的高程異?；蛘哒８撸┑挠成洌?］。即

對(duì)于樣本輸入集合X，輸出集合Y，可以認(rèn)為存在某一映射關(guān)系G，使得

可見(jiàn)高程擬合是求出一個(gè)映射F，使得在某種意義下，映射F是映射G的最佳逼近。這種映射能夠避免人為地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型所帶來(lái)的誤差（避免了對(duì)似大地水準(zhǔn)面的人為假設(shè)），能夠得到較高的精度，而且轉(zhuǎn)換的精度穩(wěn)定。

一種BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)樣本集是（x，y，ζ），其中（x，y）是輸入?yún)?shù)單元，ζ是輸出參數(shù)單元。BP網(wǎng)絡(luò)的工作方式分為兩個(gè)階段：一是學(xué)習(xí)階段，通過(guò)對(duì)所選樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)，不斷地調(diào)整各個(gè)神經(jīng)元之間的權(quán)值，使網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的結(jié)果最大限度地逼近樣本已知值；另一個(gè)是BP網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算階段，在該階段利用訓(xùn)練調(diào)整好的BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行實(shí)際計(jì)算［8］。利用BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行高程擬合的模型是通過(guò)對(duì)已知樣本數(shù)據(jù)的不斷反復(fù)學(xué)習(xí)而構(gòu)造的一個(gè)自適應(yīng)的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通過(guò)多次迭代實(shí)現(xiàn)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的高度非線性映射而建立的高程擬合模型。

用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)GPS高程進(jìn)行轉(zhuǎn)換的優(yōu)點(diǎn)在于它可以利用地面坐標(biāo)系中的數(shù)據(jù)或GPS坐標(biāo)系中的數(shù)據(jù)直接獲得正高Hg或正常高Hr。在應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換GPS高程時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)十分重要，網(wǎng)絡(luò)隱含層層數(shù)的確定、隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的目標(biāo)誤差、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練次數(shù)、學(xué)習(xí)速率選擇和初始權(quán)值等的設(shè)置都會(huì)對(duì)訓(xùn)練結(jié)果產(chǎn)生影響［7］。隱含層層數(shù)和隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)決定建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模［9］，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模與網(wǎng)絡(luò)的性能密切相關(guān)［10］。

3 實(shí)例分析

數(shù)據(jù)為某市的GPS控制網(wǎng)數(shù)據(jù)，區(qū)域面積約為140km2。已知數(shù)據(jù)中有26個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y和大地高H、正常高Hr都是已知的。26個(gè)點(diǎn)的分布，如圖3所示。點(diǎn)的分布總體上呈現(xiàn)不均勻狀態(tài)。

圖3 已知點(diǎn)分布圖

研究GPS高程擬合精度和起算點(diǎn)的空間分布、起算點(diǎn)的個(gè)數(shù)和擬合方法之間的關(guān)系，選擇二次多項(xiàng)式曲面擬合法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法，用6種擬合方案進(jìn)行擬合、處理分析，并分別計(jì)算精度指標(biāo)，根據(jù)精度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果比較各個(gè)方案，見(jiàn)表1。6種擬合方案如下：

表1 6種擬合方案的設(shè)計(jì)

1）取網(wǎng)中分布不均勻的7個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行二次多項(xiàng)式曲面擬合；

2）取網(wǎng)中分布均勻的7個(gè)點(diǎn)進(jìn)行二次多項(xiàng)式曲面擬合；

3）取網(wǎng)中分布均勻的11個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行二次多項(xiàng)式曲面擬合；

4）取網(wǎng)中分布均勻的11個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合；

5）取網(wǎng)中分布不均勻的11個(gè)點(diǎn)進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合；

6）取網(wǎng)中分布均勻的7個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合。

表2為6種擬合方案的內(nèi)、外符合精度及平均誤差、中誤差。

表2 6種擬合方案的內(nèi)外符合精度 mm

由表2可知，方案2的內(nèi)、外符合精度都高于方案1，即方案2的內(nèi)部符合程度和外部符合程度（外延性）都高于方案1；方案2的內(nèi)符合精度高于方案3，但是外符合精度低于方案3，即方案3的外延性高于方案2。方案4的內(nèi)、外符合精度都高于方案3，方案2的內(nèi)、外符合精度都高于方案6，即擬合點(diǎn)較多時(shí)，方案4的內(nèi)部符合程度和外部符合程度都高于方案3，擬合點(diǎn)較少時(shí)，方案2的內(nèi)部符合程度和外部符合程度都高于方案6。方案4的內(nèi)、外符合精度都高于方案5，即方案4內(nèi)部符合程度和外部符合程度（外延性）都高于方案5；方案4的內(nèi)、外符合精度都高于方案6，即方案4內(nèi)部符合程度和外部符合程度（外延性）都高于方案6。

由表2可知，方案2的精度高于方案1的精度，是由于起算點(diǎn)的空間分布造成的，即擬合點(diǎn)均勻分布時(shí)擬合效果較好；方案3的精度高于方案2的精度，是由于起算點(diǎn)的數(shù)量造成的，即擬合點(diǎn)數(shù)量較多則擬合效果較好。方案4的精度高于方案3的精度，方案2的精度高于方案6的精度，是由擬合方法造成的，即擬合點(diǎn)較多時(shí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的擬合效果較二次多項(xiàng)式擬合法好；擬合點(diǎn)較少時(shí)，二次多項(xiàng)式曲面擬合法的擬合效果較BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法好。方案4的精度高于方案5的精度，是由于起算點(diǎn)的空間分布造成的，即起算點(diǎn)均勻分布時(shí)擬合效果較好；方案4的精度高于方案6的精度，是由于起算點(diǎn)的數(shù)量造成的，即起算點(diǎn)的數(shù)量較多則擬合效果較好。

圖4是采用二次多項(xiàng)式曲面擬合法時(shí)，點(diǎn)的數(shù)量相同而分布情況不同得到的檢查點(diǎn)高程異常殘差圖。表明擬合點(diǎn)相對(duì)均勻分布時(shí)，檢查點(diǎn)的擬合殘差在0m上下分布較擬合點(diǎn)不均勻分布時(shí)的分布更具有對(duì)稱性，與表2的結(jié)果一致。

圖4 二次多項(xiàng)式曲面擬合法比較點(diǎn)的分布

圖5是采用二次多項(xiàng)式曲面擬合法時(shí)，點(diǎn)的分布都較為均勻而數(shù)量不同得到的檢查點(diǎn)高程異常殘差圖。表明擬合點(diǎn)的數(shù)量較多時(shí)，擬合殘差在0m上下分布較擬合點(diǎn)數(shù)少時(shí)對(duì)稱，與表2的結(jié)果一致。

圖5 二次多項(xiàng)式曲面擬合法比較點(diǎn)的數(shù)量

圖6是擬合點(diǎn)分布都相對(duì)均勻且數(shù)量相同均為11個(gè)點(diǎn)，采用不同的擬合方法得到的檢查點(diǎn)高程異常殘差圖。表明采用二次多項(xiàng)式曲面擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法時(shí)，殘差分布都較集中，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法的擬合效果相對(duì)較好，與表2結(jié)果一致。

圖6 11個(gè)點(diǎn)時(shí)擬合方法比較

圖7是擬合點(diǎn)分布都相對(duì)均勻且數(shù)量相同均為7個(gè)點(diǎn)，采用不同的擬合方法得到的檢查點(diǎn)高程異常殘差圖。表明采用二次多項(xiàng)式曲面擬合法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法時(shí)，二次多項(xiàng)式擬合法的殘差在0m上下分布較神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法好，與表2結(jié)果一致。

圖7 7個(gè)點(diǎn)時(shí)擬合方法比較

圖8是采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法時(shí)，點(diǎn)的數(shù)量相同而分布情況不同得到的檢查點(diǎn)高程異常殘差圖。表明擬合點(diǎn)相對(duì)均勻分布時(shí)，檢查點(diǎn)的擬合殘差在0m上下分布較擬合點(diǎn)不均勻分布時(shí)的分布更具有對(duì)稱性，與表2的結(jié)果一致。

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法比較點(diǎn)的分布

圖9是采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法時(shí)，點(diǎn)的分布都較為均勻而數(shù)量不同得到的檢查點(diǎn)高程異常殘差圖。表明擬合點(diǎn)的數(shù)量較多時(shí)，擬合殘差在0m上下分布較擬合點(diǎn)數(shù)少時(shí)對(duì)稱，與表2的結(jié)果一致。

圖9 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法比較點(diǎn)的數(shù)量

圖10和圖11是根據(jù)兩種方案繪出的三維曲面圖，直觀地反映該范圍內(nèi)的高程異常分布。

圖10 均勻分布的7點(diǎn)二次多項(xiàng)式曲面擬合高程異常曲面

圖11 均勻分布的11點(diǎn)二次多項(xiàng)式曲面擬合高程異常曲面

4 結(jié) 論

利用GPS高程擬合的方法代替常規(guī)的水準(zhǔn)測(cè)量獲取高精度的水準(zhǔn)高程是有效的。在未考慮測(cè)區(qū)面積和地形改正等因素的前提下，通過(guò)對(duì)本實(shí)例的分析比較，可以得出以下結(jié)論：

GPS高程測(cè)量的精度不僅與起算點(diǎn)的空間分布有關(guān)，還與起算點(diǎn)的數(shù)量和擬合方法有著密切關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，采用同樣的擬合方法，起算點(diǎn)數(shù)量越多、分布越均勻，則擬合精度越高。在點(diǎn)的數(shù)量相同且較多，分布都相對(duì)均勻的前提下，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法擬合效果高于二次多項(xiàng)式擬合法；在點(diǎn)的數(shù)量相同且較少，分布都相對(duì)均勻的前提下，二次多項(xiàng)式曲面擬合法的擬合效果高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。

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