基于滑動(dòng)式Lagrange插值方法的GPS精密星歷內(nèi)插分析

雷 雨，趙丹寧，高玉平，2

（1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心，陜西 西安 710600；2.中國(guó)科學(xué)院時(shí)間頻率基準(zhǔn)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710600；3.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100039）

在高精度GPS定位導(dǎo)航與授時(shí)中，需要使用IGS（International GNSS Service）及數(shù)據(jù)分析中心提供的精密星歷獲取衛(wèi)星坐標(biāo)，但其采樣間隔為15min和5min，而GPS接收機(jī)的采樣率一般為30s、15s或5s，甚至更密。因此，若想利用某一時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)，必須對(duì)精密星歷進(jìn)行高精度、快速的插值或擬合［1－2］。本文介紹了滑動(dòng)Lagrange多項(xiàng)式插值方法的基本原理，以精密星歷中固定采樣間隔的衛(wèi)星位置作為插值節(jié)點(diǎn)，對(duì)內(nèi)插結(jié)果進(jìn)行分析與討論。

1 滑動(dòng)Lagrange多項(xiàng)式插值

1.1 Lagrange多項(xiàng)式插值

經(jīng)典的Lagrange插值函數(shù)為

其中：f（xk）為插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，lk（x）是n次插值基函數(shù)

其僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，不隨函數(shù)值f（xk）的改變而改變。

插值點(diǎn)位于已知節(jié)點(diǎn)之間的稱為內(nèi)插。例如對(duì)于n階插值，即有n＋1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，內(nèi)插位于這n＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)之間任意位置的函數(shù)值［3］。在進(jìn)行多項(xiàng)式內(nèi)插中，為了達(dá)到所需精度，常選擇較高階數(shù)的多項(xiàng)式，但隨著階數(shù)的增加，在插值端點(diǎn)的函數(shù)值易發(fā)生震蕩或跳躍現(xiàn)象，即所謂的龍格現(xiàn)象（Runge's Phenomenon，RP）［4－5］。為了克服這個(gè)不足，多項(xiàng)式插值一般采用滑動(dòng)式算法［6－7］。

1.2 滑動(dòng)式內(nèi)插算法

采用滑動(dòng)式內(nèi)插算法，就是使欲插值的點(diǎn)始終位于插值范圍的中心，以獲得最高精度的插值效果。例如，每次取8個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，生成7階多項(xiàng)式，最佳插值時(shí)間段處于第4個(gè)到第5個(gè)節(jié)點(diǎn)之間。第1個(gè)到第8個(gè)節(jié)點(diǎn)為第1個(gè)插值區(qū)間，僅用來(lái)插值第4個(gè)到第5個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的時(shí)間段。這個(gè)插值區(qū)間相當(dāng)于一個(gè)“窗口”，窗口大小一直保持不變，每次將窗口向后移動(dòng)等間隔的距離，用于插值窗口中間兩點(diǎn)之間的時(shí)間段。此外，窗口數(shù)據(jù)點(diǎn)的多少（多項(xiàng)式階次大?。?huì)對(duì)插值結(jié)果產(chǎn)生影響。需要說(shuō)明的是，如果取偶數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)，最佳插值時(shí)間段有2個(gè)。例如取9個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，生成8階多項(xiàng)式，最佳插值時(shí)間段分別處于第4個(gè)到第5個(gè)節(jié)點(diǎn)之間及第5個(gè)到第6個(gè)節(jié)點(diǎn)之間。研究表明，選取偶數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的效果優(yōu)于奇數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)［4，7－8］。

2 數(shù)值算例與分析

2.1 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證內(nèi)插結(jié)果，采用2011－06－27由IGS數(shù)據(jù)分析中心NGA發(fā)布的GPS衛(wèi)星精密星歷，選取PRN編號(hào)為02的GPS衛(wèi)星的坐標(biāo)值進(jìn)行內(nèi)插計(jì)算，時(shí)間段為00：00：00至08：25：00。精密星歷的采樣間隔為5min，為了驗(yàn)證內(nèi)插精度，取15min間隔為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，利用滑動(dòng)式Lagrange方法內(nèi)插出每5min間隔的衛(wèi)星坐標(biāo)，并與NGA提供的已知精密星歷做比較。由于星歷中邊緣時(shí)刻的衛(wèi)星位置需要利用相鄰1d的數(shù)據(jù)才能內(nèi)插得到，所以略去邊緣時(shí)刻。表1給出了滑動(dòng)Lagrange插值方法不同階次的內(nèi)插結(jié)果。

表1 不同階次滑動(dòng)式Lagrange內(nèi)插結(jié)果

2.2 分析討論

由表1可以看出，Lagrange多項(xiàng)式的階數(shù)越高，內(nèi)插精度也越高；當(dāng)插值階數(shù)在5階以下時(shí)，Lagrange插值方法有較大誤差，最大誤差達(dá)到1m；當(dāng)階數(shù)在7階時(shí)，已經(jīng)達(dá)到了毫米的精度，當(dāng)插值階數(shù)超過(guò)9時(shí)，插值精度趨于平穩(wěn)；另外，由于使用了滑動(dòng)式內(nèi)插算法，高階次插值也沒(méi)有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。

為了形象直觀地表達(dá)插值精度的變化情況，圖1、圖2和圖3分別給出X，Y，Z方向上Lagrange插值方法的最大誤差和RMS變化曲線。

3 對(duì)GPS相位平滑偽距授時(shí)的影響

為了驗(yàn)證滑動(dòng)式Lagrange插值算法的有效性，將7階內(nèi)插結(jié)果應(yīng)用到基于非差載波相位平滑偽距的精密授時(shí)軟件TCT中［9］。

選 擇 了IGS/TAI并 址 站PTBB 2009－06－05（MJD＝54 987）的觀測(cè)數(shù)據(jù)，采樣率為30s，該站接收機(jī)外接H－maser頻標(biāo)。從IGS下載了對(duì)應(yīng)時(shí)間的采樣率為15min最終精密星歷文件和采樣率為30s的衛(wèi)星鐘差文件。將求解的接收機(jī)鐘差序列與IGS對(duì)應(yīng)的鐘差求差，得到的序列偏差如圖4所示，并統(tǒng)計(jì)了最大偏差（Max Bias）、平均偏差（Mean Bias）、均方差（RMS）和標(biāo)準(zhǔn)差（STD），見(jiàn)表2。

圖4 求解鐘差與IGS發(fā)布的鐘差之間的較差

表2 接收機(jī)鐘差解的精度統(tǒng)計(jì)信息 ns

從圖4與表2中可以看出，利用上述精密星歷處理方法的精密授時(shí)軟件，進(jìn)行雙頻載波相位平滑偽距單站授時(shí)時(shí)，其外符合精度可以保持在0.5ns以內(nèi)，能滿足高精度授時(shí)的需求。

4 結(jié) 論

1）對(duì)于采樣率為15min的精密星歷，采用滑動(dòng)Lagrange多項(xiàng)式插值方法，當(dāng)選取8個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，即多項(xiàng)式階次為7階時(shí)，內(nèi)插精度可以達(dá)到毫米級(jí)，完全可以滿足高精度定位、定時(shí)等應(yīng)用的需求；但隨著插值階次的增加，插值效果趨于平穩(wěn)，因此，并不是插值階次越高越好。

2）Lagrange插值方法的數(shù)學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，屬于代數(shù)插值，有利于計(jì)算機(jī)的編程實(shí)現(xiàn)，并且滑動(dòng)式內(nèi)值算法充分利用了待插時(shí)刻前后的數(shù)據(jù)信息，插值精度較高，即使插值階次很高，也不會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。因此，在對(duì)GPS精密星歷進(jìn)行內(nèi)插時(shí)，可以首選該方法。

3）將滑動(dòng)式Lagrange插值算法應(yīng)用到GPS相位平滑偽距授時(shí)軟件中，取得了很好的效果，驗(yàn)證了其有效性。

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