MKZ 型算子中心矩的明確上界估計(jì)

雷 陽，葉培新，宋占杰

(1. 天津大學(xué)理學(xué)院，天津 300072；2. 南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300071)

最近，Meyer-K?nig 和 Zeller 算子(簡稱 MKZ 算子)及其變型算子的逼近問題成為算子逼近的一個(gè)熱點(diǎn)問題[1-16]，然而進(jìn)一步研究需要給出其各階矩的明確上界估計(jì)，筆者主要從基礎(chǔ)理論方面進(jìn)行了一些研究.

1 基礎(chǔ)研究

1960 年，由 Meyer-K?nig 和 Zeller 受若干Bernstein 型算子的構(gòu)造啟發(fā)給出一類 Meyer-K?nig和 Zeller 算子[14]，即

由于算子本身計(jì)算復(fù)雜度較高，進(jìn)一步研究成果較少，Becker 和 Nessel 在1978 年才給出算子的二階中心矩估計(jì)．

命題 1.1[17]Meyer-K?nig 和 Zeller 算子的二階中心矩滿足不等式

顯然，這個(gè)估計(jì)結(jié)果很粗略，其上下界相差3 倍.

探索其中心矩的工作一直沒有間斷，Abel[18]在1995 年給出Meyer-K?nig和Zeller 算子的明確二階中心矩估計(jì)，從本質(zhì)上改進(jìn)了上述結(jié)果．

命題 1.2[18]Meyer-K?nig 和Zeller 算子的二階中心矩為

高階矩一般表達(dá)式的計(jì)算比較困難，Guo 和Qi[19]在2007年用歸納法給出了 Meyer-K?nig 和Zeller 算子的各階中心矩的一個(gè)上界估計(jì)．

命題 1.3[19]設(shè)r 為正整數(shù)，n 2r＞ ，且?(x)=則有

式中C 為不依賴于x 和n 的常數(shù).

由于上述結(jié)果只是給出常數(shù)C 的存在性，在逼近估計(jì)式中有時(shí)會(huì)帶來不便．所以，本文在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確給出C 的取值，從而給出確定的上界．

定理 1.4設(shè)r為正整數(shù)，n ＞2r，且?(x)=則有

2 引理及其證明

引理2.1[17]對(duì)于，n≥2 ，x ∈[0,1]，有

引理2.2對(duì)于b ≤a，? x ，則有

證明：當(dāng)b ≤x ≤a 時(shí)，b?x≤0≤a ?x .

則

當(dāng)x≤b≤a 時(shí)，0 ≤b?x≤a ?x

則

所以式(4)成立.

當(dāng)b ≤a ≤x 時(shí)，同理有式(4)成立.

綜上，命題成立.

引理 2.3(Stirling 公式)對(duì)于n N+∈，有，其中

引理 2.4設(shè)r為正整數(shù)，n＞2r，且?(x)=則有

其中，C2=1.5，當(dāng)r ≥ 2時(shí)，滿足遞推公式

證明：由引理2.1 知

最后一步是因?yàn)橛蓷l件有n≥ 3，所以 C2= 1.5.

下面假設(shè)已知 C2r，接下來證對(duì) C2r+2有命題中的遞推公式，假設(shè)n＞ 2 r+2

所以有

考察

因?yàn)閚≥2r+2，所以n≥ 5時(shí)有

即Mn((·?x)2r+2,x)≤

考察

對(duì)于

因?yàn)閚＞2r+2，即n≥2r+3

所以

再由引理2.3，可知

即是

由假設(shè)知

這里 a～ b 意味著存在一個(gè)常數(shù)D ，使得

事實(shí)上有

于是

假設(shè)成立，引理得證.

3 主要結(jié)果及其證明

下面證明定理1.4

證明：利用引理2.4，可知

其中，C2=1.5，當(dāng)r ≥ 2時(shí)，滿足遞推公式

當(dāng)r≥5 時(shí)，

利用引理2.4，可知在 r=1,2,3,4時(shí)，

推論3.1設(shè)m 為偶數(shù)，m≥4，n＞m，且 ?(x)=則有

證明：利用定理1.4

再由引理2.3，可知

當(dāng)m≥4 時(shí)，有

4 結(jié) 語

MKZ 算子及其變型算子的逼近問題是算子逼近的一個(gè)熱點(diǎn)問題，在研究各階矩過程逼近方面有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.本文給出了 MKZ 型算子各階矩的明確上界估計(jì)，給出的方法可以用于其他類似算子中心距的上界估計(jì)，同時(shí)上述概率型算子的中心距的上界估計(jì)為進(jìn)一步研究其逼近性質(zhì)提供了重要工具.

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