比較教學法在實變函數(shù)課程教學改革中的應用

趙艷敏　張亞東　王芬玲

【摘 要】結(jié)合實變函數(shù)與數(shù)學分析的教學實踐，利用比較教學法，將數(shù)學分析作為實變函數(shù)的參照物，形象地解讀實變函數(shù)理論，加深了學生對實變函數(shù)的理解，培養(yǎng)學生的分析及理解問題的能力。

【關(guān)鍵詞】實變函數(shù)；數(shù)學分析；比較教學法；教學改革

自從20世紀初，Lebesgue在Borel測度基礎上建立了Lebesgue測度和Lebesgue積分以來，實變函數(shù)在數(shù)學的許多領(lǐng)域中，如在實分析、復分析、調(diào)和分析、泛函分析、微分方程與積分方程論中，都產(chǎn)生了極大影響，它還有助于現(xiàn)代概率理論的建立，對于上世紀末才發(fā)展的分形幾何也起著引導作用。實變函數(shù)的研究內(nèi)容、研究方法均為現(xiàn)代分析的基礎，并滲透到數(shù)學各分支，它的基礎內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。然而，實變函數(shù)課程的內(nèi)容非常抽象且理論性和邏輯性較強，其中的許多重要概念都是用嚴密的數(shù)學語言描述，導致了學生們感覺該門課程高深莫測，“實變”學“十遍”才能懂，是“天書”等，它一直是被國內(nèi)外大學認為是數(shù)學教學與學習中的重點和難點課程。如何將該課程化抽象為具體，化難為易并理解和掌握其構(gòu)造性的思路是實變函數(shù)教學的最高目標。我們欲從實變函數(shù)課程與數(shù)學分析課程的密切關(guān)系出發(fā)，幫助學生借助于已熟知的Riemann積分體系理論，來學習Lebesgue積分理論及其特點。

1.實變函數(shù)課程與比較教學法簡介

實變函數(shù)課程的中心任務是：建立n維歐幾里得空間中點集的測度理論和Lebesgue積分理論。通過學習這門課程，學生應掌握近代抽象分析的基本思想、思維方式，以及系統(tǒng)掌握Lebesgue測度和Lebesgue 積分理論，且學生應具有新角度思維能力、獨立思考能力、推理能力和邏輯判斷能力，為進一步學習現(xiàn)代數(shù)學理論打下夯實基礎。

在實變函數(shù)教學中，要選擇恰當?shù)慕虒W方法，促進學生完成對該課程由表及里的層進認知并理清脈絡。若只偏重知識的灌輸卻忽略對學生構(gòu)造性思維的啟發(fā)和引導，就不能為學生提供一個發(fā)現(xiàn)、比較、分析和辨別的思維空間，會導致學生的認知模糊，徒增學習該門課程的難度。鑒于實變函數(shù)與數(shù)學分析課程的密切關(guān)系，啟發(fā)任課教師通過比較法來講解該課程。比較，就是運用對照的手段確定事物異同關(guān)系的思維過程的方法。比較教學法有利于引導學生透過現(xiàn)象認識實質(zhì)，比如通過新知與舊知的對比來促進知識遷移，通過實變函數(shù)與數(shù)學分析內(nèi)容的比較，由知識的熟悉性來增加學生的學習信心，并啟發(fā)學生對新知識的思考等。比較教學法也是組織學生學習理論知識與實際操作、培養(yǎng)邏輯思維能力的重要手段之一，它有利于激發(fā)學生探究新知識的興趣，并可使學生在面對新知識學習時，有效地擺脫陌生感，迅速找到輕松入門的途徑，增加學習主動性，優(yōu)化學習效果，提高學習效率。具體地，我們從以下幾方面來闡述利用比較教學法對傳統(tǒng)的實變函數(shù)課程教學進行改革。

2.實變函數(shù)與數(shù)學分析課程的關(guān)系

實變函數(shù)是大學數(shù)學專業(yè)的最為重要的基礎課之一，作為數(shù)學分析的后續(xù)課程，它是數(shù)學分析課程的延續(xù)和發(fā)展。再者，學好實變函數(shù)課程對于數(shù)學分析知識的深入理解有著非常重要的作用，數(shù)學分析作為數(shù)學專業(yè)最為重要的基礎課，同時也是數(shù)學專業(yè)考研、考博的必考課程，可見其地位之重。實變函數(shù)課程是其拔高課程，因此要以扎實的數(shù)學分析知識為基礎，采用比較的教學方式更容易為學生所接受，這種教學方法的實施事實上也是對數(shù)學分析知識的回顧和更深層次的解釋。

一般來說，實變函數(shù)課程開設于大學三年級上學期，采用聯(lián)系數(shù)學分析知識進行教學，也更容易讓學生在思想上重視（因為數(shù)學分析是考研的必考課程），學習積極性更高。由于實變函數(shù)課程的極抽象性和難學難教的現(xiàn)狀，我們認為一種高效的教學方法，一定要首先能激發(fā)學生的學習興趣，讓學生充分發(fā)揮主體作用。只有這樣，理論上高效的教學方法方能達到真正的高效。

2.1比較教學法的引入

我們注意到實變函數(shù)課程是數(shù)學分析課程的后續(xù)課程，如果能充分利用二者之間的關(guān)聯(lián)性，采用比較教學法，讓學生由熟知的數(shù)學分析理論知識自然過渡到較為抽象難學的實變函數(shù)知識是一種行之有效的教學方法。針對實變函數(shù)的“難教難學”，抓住它的本質(zhì)—基于傳統(tǒng)分析理論的積分體系與空間理論。從問題的根部出發(fā)，以我們熟知的傳統(tǒng)分析理論去比對實函中Lebesgue積分理論和泛函空間理論，比較它們理論思想上的異同，找到傳統(tǒng)分析理論拓廣到實分析與泛函分析的原始思路，以便由易到難、由具體到抽象地進行學習，充分發(fā)揮比較教學法在實變函數(shù)教學中的優(yōu)勢，注重調(diào)動學生的學習積極性和熱情。

2.2對課程整體脈絡的把握及分析

在講解該課程之初就要讓學生明白以下三點：（1）這門課程的重要性；（2）這門課程的主要內(nèi)容和學習目標；（3）怎樣聯(lián)系數(shù)學分析的知識學好這門課程？借助于這三點，讓學生認識到Riemann積分理論的局限性，比如狄利克雷函數(shù)不可積，如何讓它“可積”？進而，如何擴大可積函數(shù)的范圍，使積分更具普遍性？Riemann積分意義下，積分與極限可交換需要什么條件？帶領(lǐng)學生回顧之后，啟發(fā)學生思考如何去建立新的積分體系讓諸如狄利克雷函數(shù)等一些原本不可積的函數(shù)有積分意義？減弱積分與極限可交換的條件等。簡單討論之后列舉實變函數(shù)課程要介紹的“新積分”—Lebesgue積分的一些優(yōu)勢，并分析它與傳統(tǒng)積分理論的異同，通過比較，讓學生更深刻也更容易地理解實變函數(shù)中定義的“新積分”的價值和意義。通過介紹基于Cantor三分集理論的美妙的分形圖形、無限集的看似很不可思議的性質(zhì)（如：比較兩個同心圓周上點的多少，是大圓的點多，還是小圓上的點多？全體正整數(shù)多，還是正奇（偶）數(shù)多？）等一些比較直觀的例子，引導學生意識到實變函數(shù)的重要性，在激發(fā)他們學習興趣的同時，引起他們的重視。最后，如何讓學生能主動地聯(lián)系數(shù)學分析的相關(guān)知識去切入到實變函數(shù)的學習中呢？一定要提醒學生注意：數(shù)學分析的核心內(nèi)容就是Riemann積分理論，而實變函數(shù)的中心任務是建立一種較之這種已學習過的Riemann積分理論更加完美的微積分理論體系，并且它完全承認之前的所有理論，只是為了克服之前理論的局限，才從新的角度出發(fā)，重新建立了能覆蓋傳統(tǒng)微積分理論的一個新理論體系。所以，實變函數(shù)課程中的內(nèi)容可以跟數(shù)學分析課程已介紹過的相應知識進行比對，從“熟”知識自然切入到“生”知識進行學習。

我們以文獻[1]作為教材為例，來介紹基于數(shù)學分析中Riemann積分理論，如何引導學生對教材內(nèi)容的安排和思想深入了解，從而對課程整體脈絡有較好的把握。先來看教材的目錄：第一章 集合；第二章 點集；第三章 測度論；第四章 可測函數(shù)；第五章 積分論；第六章 微分與不定積分。教材為什么這樣安排內(nèi)容呢？我們已經(jīng)介紹了，實變函數(shù)的中心任務是建立起一種新的積分體系，而且要兼容原來學過的Riemann積分。那么Riemann積分形式上是“ ”，由此可見，確定一個積分值，有兩個決定因素：一是被積函數(shù)“f”；二是積分區(qū)域“ ”。這時候，啟發(fā)學生思考，既然要新建的Lebesgue積分兼容Riemann積分，那么它的“模樣”應該“長得”跟Riemann積分相似，所以，首先研究Lebesgue積分意義下的積分區(qū)域和被積函數(shù)的性質(zhì)，而后，再引入Lebesgue積分的定義及相關(guān)性質(zhì)定理。Riemann積分的積分區(qū)域一般為實直線上的有界閉區(qū)間或 的閉連通區(qū)域；而Lebesgue積分的積分區(qū)域可以是離散的點構(gòu)成的點集（例如：以建立狄利克雷函數(shù)的Lebesgue積分時，需要分別在[0，1]區(qū)間上所有有理數(shù)組成的集合和所有無理數(shù)組成的集合上進行積分），所以我們應審視集合的性質(zhì)，尤其是點集的性質(zhì)。則教材第一和第二章就集合和點集上的運算及性質(zhì)做了介紹，目的就是把積分區(qū)域?qū)⒊霈F(xiàn)的一些情形講清楚。既然要在一些點集上進行積分運算，自然我們要衡量點集的“大小”，這時，啟發(fā)學生思考：[0，1]區(qū)間上，所有無（有）理數(shù)組成的集合的“長度”是多少呢？在第三章中將重點介紹諸如這樣乃至更多的點集的“長度” ，也就是集合的測度。前三章，把積分區(qū)域的相關(guān)知識介紹完了，接下來，第四章來處理被積函數(shù)。在Riemann積分體系中，要求被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，至多允許有限個間斷點。這類函數(shù)其實是較少的，實際中，有大量的函數(shù)都不滿足Riemann積分的要求。既然，Lebesgue積分的被積函數(shù)范圍擴大，那么擴大到什么程度呢？這些被積函數(shù)跟連續(xù)函數(shù)之間有什么樣的關(guān)系呢？這就是第四章要重點介紹的內(nèi)容。決定積分的兩大要素都介紹完了，那么第五章就該正式介紹Lebesgue積分的定義及性質(zhì)了。第六章，是要把數(shù)學分析中的牛頓-萊布尼茨公式推廣到Lebesgue積分情形。綜上，借助于這個在數(shù)學分析中常見的積分符號“ ”，可以粗略地把實變函數(shù)課程的結(jié)構(gòu)展示給學生，讓學生首先了解每一章要學習的內(nèi)容，并且為什么會這樣安排課程內(nèi)容。如此一來，有利于增加學生的學習信心，通過聯(lián)系數(shù)學分析中Riemann積分的相關(guān)內(nèi)容，可以更清晰地掌握實變函數(shù)中Lebesgue積分知識體系的脈絡。

2.3檢驗課堂教學效果

任何教學方法的改革都是為了學生能更好地掌握知識，那么比較教學法在實際的實變函數(shù)課堂教學中是否能達到預期的效果？我們一定要對課堂教學效果進行檢驗，看學生是否真正掌握了關(guān)鍵的知識點，以及學生對教學內(nèi)容本質(zhì)的把握，對構(gòu)造性證明題有無思路？對哪些知識掌握的不夠好？為什么？哪些知識點對比起來進行教學的效果較好？哪些并沒有想象的那么好？原因是什么？怎么改進？ 諸如以上所涉及到的課堂教學實際中可能出現(xiàn)的問題，我們都要通過與學生交流，批改作業(yè)等看到問題的所在，進行反思，從而更好地改進細節(jié)，進一步提升教學效果。

3.總結(jié)

利用比較教學法進行實變函數(shù)課程教學的目標是：對傳統(tǒng)的實變函數(shù)課程教學法進行改革，基于學生熟知的數(shù)學分析理論，借助于比較教學法，引導學生開啟思路，輕松學習。其中的關(guān)鍵點是：將實變函數(shù)課程與熟知的數(shù)學分析課程相關(guān)知識（尤其是Lebesgue積分體系與Riemann積分體系的建立過程、相關(guān)性質(zhì)等）相對照和比較，充分發(fā)揮比較教學法的優(yōu)勢，從而增強學生學習信心，培養(yǎng)學生構(gòu)造性思維能力，為后續(xù)學習泛函分析等課程打下良好基礎。

【參考文獻】

[1]程其襄，張奠宙，魏國強等.實變函數(shù)與泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民強.實變函數(shù)論[M].北京：北京大學出版社，2008.

[3]那湯松，陳建功.實變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]華中師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.