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    多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法研究

    2013-12-05 06:56:42靳方建陳文華許銳敏朱旭洋
    中國(guó)機(jī)械工程 2013年11期
    關(guān)鍵詞:產(chǎn)品模型

    潘 駿 靳方建 陳文華 王 孟 許銳敏 朱旭洋

    浙江理工大學(xué)浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,杭州,310018

    0 引言

    產(chǎn)品在設(shè)計(jì)初期,都存在某些設(shè)計(jì)缺陷,可靠性與性能參數(shù)都不能立刻達(dá)到所規(guī)定指標(biāo)的要求,必須經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)-分析-改進(jìn)-再試驗(yàn)的過(guò)程,來(lái)提高產(chǎn)品的可靠性,即進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)[1]。試驗(yàn)過(guò)程中,產(chǎn)品的質(zhì)量缺陷得到暴露,且被有效地糾正,使產(chǎn)品的可靠性得到增長(zhǎng)??煽啃栽鲩L(zhǎng)試驗(yàn)過(guò)程中,產(chǎn)品在各個(gè)時(shí)刻的失效數(shù)據(jù)來(lái)源于變化的母體,需要通過(guò)建立產(chǎn)品的可靠性增長(zhǎng)模型[2-4]來(lái)反映產(chǎn)品可靠性的增長(zhǎng)規(guī)律。

    1972年,Crow[5]提出了 AMSAA(army materiel systems analysis activity)模型,并系統(tǒng)地解決了AMSAA模型的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題[6-7],但是該模型僅適用于單臺(tái)或多臺(tái)產(chǎn)品異步糾正的情況[1]。對(duì)于多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正的問(wèn)題,美軍標(biāo)(美國(guó)軍用標(biāo)準(zhǔn))MIL-HDBK-189和國(guó)軍標(biāo)(中國(guó)軍用標(biāo)準(zhǔn))GJB/Z77將多臺(tái)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間進(jìn)行簡(jiǎn)單的累加,折合到單臺(tái)產(chǎn)品上,采用單臺(tái)AMSAA模型來(lái)處理失效數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[8-9]在假設(shè)同型產(chǎn)品之間失效相互獨(dú)立的前提下提出了AMSAA-BISE(AMSAA-Beijing institute of structure and environment)模型,但是,其推導(dǎo)過(guò)程及公式與多臺(tái)產(chǎn)品異步糾正時(shí)的AMSAA模型相同。美軍標(biāo)/國(guó)軍標(biāo)和AMSAA-BISE兩種方法的預(yù)測(cè)結(jié)果往往高于產(chǎn)品的實(shí)際可靠性水平[10-11]。

    在多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過(guò)程中,一個(gè)產(chǎn)品出現(xiàn)失效,將對(duì)所有產(chǎn)品進(jìn)行糾正,若糾正有效,則該失效在所有參試樣品中只發(fā)生一次。這相當(dāng)于在針對(duì)某一失效的可靠性壽命試驗(yàn)中,只出現(xiàn)一次產(chǎn)品失效。本文擬根據(jù)多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)的上述特點(diǎn),提出一個(gè)新方法,即先采用多層Bayes方法估計(jì)產(chǎn)品失效的概率,結(jié)合加權(quán)最小二乘估計(jì)法,求得各個(gè)失效的發(fā)生時(shí)刻期望值,再用其替代單臺(tái)AMSAA模型中的失效時(shí)間來(lái)評(píng)估產(chǎn)品可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)結(jié)果。同時(shí),通過(guò)對(duì)美軍標(biāo)/國(guó)軍標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法、AMSAA-BISE模型和本文所提出的方法進(jìn)行蒙特卡羅模擬比較,來(lái)驗(yàn)證所提出的統(tǒng)計(jì)分析方法的有效性。

    1 多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)

    假定有s臺(tái)同型產(chǎn)品進(jìn)行同步投試、同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn),所有失效均需作糾正性修復(fù),且對(duì)每個(gè)失效所采取的糾正措施均有效,糾正完成后,所有產(chǎn)品繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。當(dāng)s臺(tái)產(chǎn)品總失效次數(shù)達(dá)到n次時(shí),則所有產(chǎn)品同時(shí)停止試驗(yàn),觀測(cè)到的失效時(shí)刻為0<t1<t2<…<tn。

    美軍標(biāo) MIL-HDBK-781[12]在4.3.2條中規(guī)定,必須采用單臺(tái)AMSAA模型來(lái)評(píng)估多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正時(shí)的可靠性增長(zhǎng)結(jié)果:通過(guò)綜合多臺(tái)產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù),在一個(gè)累積的試驗(yàn)時(shí)間基準(zhǔn)上,將多臺(tái)產(chǎn)品當(dāng)作一個(gè)單獨(dú)的產(chǎn)品,使用單臺(tái)AMSAA模型來(lái)分析失效數(shù)據(jù)。如果可以根據(jù)失效數(shù)據(jù)求出各次失效的發(fā)生時(shí)刻期望值[1,13],就可根據(jù)單臺(tái)AMSAA模型來(lái)對(duì)產(chǎn)品的可靠性增長(zhǎng)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估。

    為估計(jì)各次失效的發(fā)生時(shí)刻期望值,現(xiàn)對(duì)可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)特征進(jìn)行分析。在多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)過(guò)程中,投入s臺(tái)產(chǎn)品進(jìn)行定數(shù)截尾的壽命試驗(yàn),由于當(dāng)發(fā)生第m(m=1,2,…,n)次失效時(shí),會(huì)對(duì)所有產(chǎn)品進(jìn)行糾正,可認(rèn)為只出現(xiàn)一次失效。若把前m-1次失效時(shí)間看成是第m次失效的無(wú)失效觀測(cè)時(shí)間,則試驗(yàn)可敘述為:針對(duì)第m次失效,對(duì)s臺(tái)同型產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn),當(dāng)有一個(gè)產(chǎn)品失效時(shí)試驗(yàn)截止,則有0=t0<t1<t2<…<tm,那么,第i次失效的失效數(shù)據(jù)模型可記為(s,ri,ti)(i=1,2,…,m),其中ri為時(shí)刻ti時(shí)的產(chǎn)品失效個(gè)數(shù)。當(dāng)i≤m-1時(shí),ri=0;當(dāng)i=m時(shí),ri=1。

    綜上所述,可獲得如下信息:

    (1)t0=0時(shí),產(chǎn)品失效概率P0=0。

    (2)由于0=t0<t1<t2<…<tm,記Pi=P(t<ti),則有P1≤P2≤ … ≤Pm。

    對(duì)于第m次失效,假設(shè)其失效時(shí)間服從分布參數(shù)為λm的指數(shù)分布,基于多層Bayes方法,計(jì)算出分布參數(shù)和失效時(shí)刻期望值,進(jìn)而替代單臺(tái)AMSAA模型中的失效時(shí)間,最終確定模型參數(shù),并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)。

    2 失效概率Pi的Bayes估計(jì)

    2.1 確立先驗(yàn)分布

    采用Bayes估計(jì)首先需要確定先驗(yàn)分布,若試驗(yàn)進(jìn)行到ti時(shí)刻無(wú)產(chǎn)品失效,則有理由判定試樣在(0,ti)內(nèi)的可靠度很高,即失效概率Pi的先驗(yàn)分布的密度函數(shù)應(yīng)是關(guān)于Pi的單調(diào)遞減函數(shù)。由于0≤Pi≤1,而不完全β分布B(θL,θU,u,v)要求其變量x滿足0≤x≤1,且其密度函數(shù)為[13-14]

    在選取參數(shù)u≤1和v>1的情況下,可保證概率密度函數(shù)f(x;θL,θU,u,v)是關(guān)于x 的單調(diào)遞減函數(shù)。通過(guò)改變x 的變化區(qū)間(θL,θU),可使之滿足各種試驗(yàn)情況,所以可以選定失效概率Pi的先驗(yàn)分布為不完全β分布B(θL,θU,u,v)。

    根據(jù)Bayes估計(jì)的穩(wěn)定性[15],概率密度函數(shù)尾部越密的先驗(yàn)分布會(huì)造成Bayes估計(jì)的穩(wěn)健性越差。結(jié)合文獻(xiàn)[14]中關(guān)于不完全β分布的密度函數(shù)的討論,在v一定且u≤1時(shí),隨著u取值的減小,密度函數(shù)曲線尾部越來(lái)越細(xì)密,由此可確定u=1。確定v的具體取值比較困難,但根據(jù)不完全β分布的密度函數(shù)的性質(zhì),在u=1的情況下,v取值越大,密度函數(shù)曲線尾部越細(xì)密??衫枚鄬酉闰?yàn)分布的知識(shí),給定一個(gè)取值上限C,認(rèn)為參數(shù)v服從區(qū)間[1,C]上的均勻分布,即

    其中,常數(shù)C一般取3~7為宜[13]。

    由于θL、θU分別為失效概率Pi取值區(qū)間的下限和上限,所以取θU=1合理。為保證Pi的估計(jì)值滿足模型條件應(yīng)滿足

    綜上所述,失效概率Pi的先驗(yàn)分布可具體確定為

    2.2 估計(jì)失效概率

    由于產(chǎn)品在tm時(shí)刻發(fā)生失效,現(xiàn)可分兩種情況來(lái)確定θL的取值并估計(jì)失效概率Pi。

    在時(shí)刻ti內(nèi)有s個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn),有ri=0個(gè)失效,則其似然函數(shù)為L(zhǎng)(0,Pi)= (1-Pi)s。于是在平方損失函數(shù)下,以式(2)為先驗(yàn)分布的Pi的Bayes估計(jì)為

    (2)當(dāng)i=m時(shí),由于產(chǎn)品在tm時(shí)刻發(fā)生失效,且失效現(xiàn)象的發(fā)生在一定程度上具有隨機(jī)性,為了不丟失在tm時(shí)刻一個(gè)產(chǎn)品已經(jīng)失效且其他時(shí)間區(qū)間內(nèi)產(chǎn)品均未出現(xiàn)失效的信息,根據(jù)中位秩,初步假定tm時(shí)刻的失效概率

    是合理的,于是可取θL=P′。由不完全β分布B(P′,1,1,v)得到Pm的先驗(yàn)分布為

    此函數(shù)顯然是關(guān)于Pm單調(diào)遞減的,是可以作為Pm的先驗(yàn)分布的。由于在時(shí)刻tm內(nèi)s個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn),有rm=1個(gè)失效,則其似然函數(shù)為

    于是在平方損失函數(shù)下,以式(4)為先驗(yàn)分布的Pm的Bayes估計(jì)為

    3 多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)的評(píng)估方法

    3.1 可靠性分布參數(shù)和特征值的估計(jì)

    假定產(chǎn)品的第m次失效的發(fā)生時(shí)刻tm服從指數(shù)分布,其分布函數(shù)為

    式中,δmi為用ln(1-^Pi)代替ln(1-Pi)所引起的誤差。

    采用加權(quán)最小二乘估計(jì)法,在

    的意義下,求得參數(shù)λm的估計(jì)值為

    式中,ωi為權(quán)系數(shù)。

    則產(chǎn)品第m次失效的發(fā)生時(shí)刻tm的期望值Tm為

    3.2 可靠性增長(zhǎng)結(jié)果的評(píng)估

    根據(jù)多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)于第m次失效,由式(7)和式(8)可求得產(chǎn)品失效發(fā)生時(shí)刻tm的期望值Tm:

    為利用單臺(tái)AMSAA模型[1]進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)結(jié)果的評(píng)估,可將期望失效時(shí)刻Tm看作單臺(tái)產(chǎn)品投入可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)時(shí)的觀測(cè)失效時(shí)間,即對(duì)單臺(tái)產(chǎn)品進(jìn)行失效截尾可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn),產(chǎn)品在該試驗(yàn)中相繼故障時(shí)刻為

    則單臺(tái)AMSAA模型參數(shù)a、b的無(wú)偏估計(jì)為[1]

    則Tn時(shí)刻產(chǎn)品的平均故障間隔時(shí)間(mean time between failures,MTBF),即多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)截止時(shí)刻tn時(shí)產(chǎn)品的MTBF值θ的無(wú)偏估計(jì)為

    4 MATLAB仿真分析

    4.1 建立仿真模型

    為驗(yàn)證所提出的統(tǒng)計(jì)分析方法的可行性和統(tǒng)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性,現(xiàn)利用MATLAB7.0軟件進(jìn)行仿真分析。Crow在AMSAA模型中假定,可靠性增長(zhǎng)的過(guò)程中,產(chǎn)品失效是按照非齊次泊松過(guò)程發(fā)生的,即失效次數(shù)服從參數(shù)為a、b的非齊次泊松過(guò)程。利用非齊次泊松過(guò)程的性質(zhì)[16]和仿真理論,設(shè)定試驗(yàn)投入樣本數(shù)為s,產(chǎn)生的失效個(gè)數(shù)為n,非齊次泊松過(guò)程參數(shù)為a、b,則仿真模型[10]可按以下步驟建立:

    (1)模擬單臺(tái)產(chǎn)品的失效時(shí)間序列。根據(jù)非齊次泊松過(guò)程的性質(zhì),首先應(yīng)用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生n個(gè)在(0,1)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)Ri(i=1,2,…,n),對(duì)其作變換Ni=-lnRi,產(chǎn)生指數(shù)Ni;根據(jù)泊松過(guò)程的性質(zhì),Si=Si-1+Ni為齊次泊松過(guò)程時(shí)間序列,對(duì)齊次泊松過(guò)程的發(fā)生時(shí)間作變換Ti= (Si/a)(1/b),則Ti為滿足參數(shù)為a、b的非齊次泊松過(guò)程的單臺(tái)產(chǎn)品失效時(shí)間序列。

    (2)模擬多臺(tái)產(chǎn)品同步投試、同步糾正的失效時(shí)間序列。對(duì)于樣本數(shù)為s的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn),對(duì)步驟(1)進(jìn)行s次獨(dú)立的模擬,產(chǎn)生s組失效時(shí)間序列。根據(jù)同步糾正理論,觀測(cè)到的失效時(shí)間為多臺(tái)產(chǎn)品每個(gè)對(duì)應(yīng)失效的最早發(fā)生時(shí)間。對(duì)獲得的s組相同長(zhǎng)度的模擬時(shí)間序列,取對(duì)應(yīng)次序的數(shù)據(jù)最小值作為同步糾正時(shí)間,即得到多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正的失效時(shí)間。

    (3)模型參數(shù)評(píng)估和MTBF計(jì)算。對(duì)模擬產(chǎn)生的多臺(tái)同型產(chǎn)品同步糾正的失效時(shí)間,利用本文提出的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行評(píng)估,獲得可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)后的參數(shù)和可靠性水平。為了便于比較和分析數(shù)據(jù)處理結(jié)果,利用美軍標(biāo)/國(guó)軍標(biāo)的處理方法和AMSAA-BISE模型對(duì)模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。模擬數(shù)據(jù)的理論結(jié)果可利用多臺(tái)產(chǎn)品產(chǎn)生n個(gè)失效所需的試驗(yàn)時(shí)間和非齊次泊松過(guò)程參數(shù)進(jìn)行計(jì)算得到。

    (4)對(duì)上述三步進(jìn)行10 000循環(huán)模擬,分別獲得三種數(shù)據(jù)處理方法處理結(jié)果的平均值與理論模擬結(jié)果的平均值,并進(jìn)行結(jié)果比較和分析。

    4.2 仿真結(jié)果分析

    為驗(yàn)證所提出的統(tǒng)計(jì)方法的精確性,現(xiàn)以模型參數(shù)的估計(jì)精度為衡量指標(biāo)。根據(jù)非齊次泊松過(guò)程的性質(zhì),只有當(dāng)0<b<1時(shí),產(chǎn)品可靠性才處于增長(zhǎng)過(guò)程之中。這里,任意假定模型參數(shù)取值:a=0.5,b=0.5,n=7,C =5。根據(jù)上述分析和模型進(jìn)行仿真模擬,各種方法對(duì)仿真數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

    表1 仿真計(jì)算結(jié)果

    通過(guò)對(duì)比分析仿真估計(jì)結(jié)果可得:由于試驗(yàn)樣本量增加時(shí),所有樣品的試驗(yàn)時(shí)間總和會(huì)隨之增大,則在產(chǎn)生的故障數(shù)不變的情況下,試驗(yàn)總時(shí)間長(zhǎng)的產(chǎn)品的壽命值較大,所以理論模擬結(jié)果隨樣品量的增加而變大。由于美軍標(biāo)/國(guó)軍標(biāo)中是將多臺(tái)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間進(jìn)行簡(jiǎn)單累加來(lái)作為單臺(tái)產(chǎn)品的試驗(yàn)時(shí)間,所以,其評(píng)估方法估計(jì)的結(jié)果大于理論模擬結(jié)果;AMSAA-BISE模型假設(shè)同型產(chǎn)品之間失效相互獨(dú)立,沒(méi)有考慮失效的相關(guān)性,且其推導(dǎo)過(guò)程及公式與多臺(tái)產(chǎn)品異步糾正時(shí)的AMSAA模型相同,所以其估計(jì)結(jié)果也大于理論模擬結(jié)果。本文所提出方法的計(jì)算結(jié)果與理論模擬結(jié)果接近,且誤差隨樣品量的變化不大,能夠較好地估計(jì)可靠性增長(zhǎng)結(jié)果,反映真實(shí)的試驗(yàn)情況。

    5 結(jié)語(yǔ)

    本文根據(jù)多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)均為單一產(chǎn)品失效的特點(diǎn),提出了基于單一產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)的同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法。給出了失效的可靠性分布參數(shù)和特征值的計(jì)算方法,更好地反映了試驗(yàn)各個(gè)階段的實(shí)際情況;基于各個(gè)發(fā)生失效的時(shí)間期望值,利用單臺(tái)可靠性增長(zhǎng)AMSAA模型來(lái)進(jìn)行可靠性增長(zhǎng)結(jié)果評(píng)估,使評(píng)估結(jié)果更好地反映出可靠性增長(zhǎng)后的產(chǎn)品可靠性水平。蒙特卡羅模擬分析的結(jié)果表明,與現(xiàn)有方法相比,本文所提出方法的分析計(jì)算結(jié)果較接近于理論值,能較好地估計(jì)可靠性增長(zhǎng)結(jié)果,反映真實(shí)的可靠性增長(zhǎng)過(guò)程。另外,本文在推導(dǎo)過(guò)程中假設(shè)產(chǎn)品失效服從指數(shù)分布,對(duì)于失效服從其他分布類型的產(chǎn)品,亦可采用類似的分析方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,從而為不同失效分布類型的產(chǎn)品進(jìn)行多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)提供了統(tǒng)計(jì)分析方法和思路,可解決多臺(tái)產(chǎn)品同步糾正可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理問(wèn)題。

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