多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法研究

潘 駿 靳方建 陳文華 王 孟 許銳敏 朱旭洋

浙江理工大學(xué)浙江省機電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點實驗室，杭州，310018

0 引言

產(chǎn)品在設(shè)計初期，都存在某些設(shè)計缺陷，可靠性與性能參數(shù)都不能立刻達(dá)到所規(guī)定指標(biāo)的要求，必須經(jīng)過反復(fù)試驗-分析-改進-再試驗的過程，來提高產(chǎn)品的可靠性，即進行可靠性增長試驗［1］。試驗過程中，產(chǎn)品的質(zhì)量缺陷得到暴露，且被有效地糾正，使產(chǎn)品的可靠性得到增長?？煽啃栽鲩L試驗過程中，產(chǎn)品在各個時刻的失效數(shù)據(jù)來源于變化的母體，需要通過建立產(chǎn)品的可靠性增長模型［2-4］來反映產(chǎn)品可靠性的增長規(guī)律。

1972年，Crow［5］提出了 AMSAA（army materiel systems analysis activity）模型，并系統(tǒng)地解決了AMSAA模型的統(tǒng)計推斷問題［6-7］，但是該模型僅適用于單臺或多臺產(chǎn)品異步糾正的情況［1］。對于多臺產(chǎn)品同步糾正的問題，美軍標(biāo)（美國軍用標(biāo)準(zhǔn)）MIL-HDBK-189和國軍標(biāo)（中國軍用標(biāo)準(zhǔn)）GJB／Z77將多臺產(chǎn)品的試驗時間進行簡單的累加，折合到單臺產(chǎn)品上，采用單臺AMSAA模型來處理失效數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)［8-9］在假設(shè)同型產(chǎn)品之間失效相互獨立的前提下提出了AMSAA-BISE（AMSAA-Beijing institute of structure and environment）模型，但是，其推導(dǎo)過程及公式與多臺產(chǎn)品異步糾正時的AMSAA模型相同。美軍標(biāo)／國軍標(biāo)和AMSAA-BISE兩種方法的預(yù)測結(jié)果往往高于產(chǎn)品的實際可靠性水平［10-11］。

在多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗過程中，一個產(chǎn)品出現(xiàn)失效，將對所有產(chǎn)品進行糾正，若糾正有效，則該失效在所有參試樣品中只發(fā)生一次。這相當(dāng)于在針對某一失效的可靠性壽命試驗中，只出現(xiàn)一次產(chǎn)品失效。本文擬根據(jù)多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗的上述特點，提出一個新方法，即先采用多層Bayes方法估計產(chǎn)品失效的概率，結(jié)合加權(quán)最小二乘估計法，求得各個失效的發(fā)生時刻期望值，再用其替代單臺AMSAA模型中的失效時間來評估產(chǎn)品可靠性增長試驗結(jié)果。同時，通過對美軍標(biāo)／國軍標(biāo)的統(tǒng)計方法、AMSAA-BISE模型和本文所提出的方法進行蒙特卡羅模擬比較，來驗證所提出的統(tǒng)計分析方法的有效性。

1 多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗

假定有s臺同型產(chǎn)品進行同步投試、同步糾正可靠性增長試驗，所有失效均需作糾正性修復(fù)，且對每個失效所采取的糾正措施均有效，糾正完成后，所有產(chǎn)品繼續(xù)進行試驗。當(dāng)s臺產(chǎn)品總失效次數(shù)達(dá)到n次時，則所有產(chǎn)品同時停止試驗，觀測到的失效時刻為0＜t1＜t2＜…＜tn。

美軍標(biāo) MIL-HDBK-781［12］在4.3.2條中規(guī)定，必須采用單臺AMSAA模型來評估多臺產(chǎn)品同步糾正時的可靠性增長結(jié)果：通過綜合多臺產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)，在一個累積的試驗時間基準(zhǔn)上，將多臺產(chǎn)品當(dāng)作一個單獨的產(chǎn)品，使用單臺AMSAA模型來分析失效數(shù)據(jù)。如果可以根據(jù)失效數(shù)據(jù)求出各次失效的發(fā)生時刻期望值［1，13］，就可根據(jù)單臺AMSAA模型來對產(chǎn)品的可靠性增長結(jié)果進行評估。

為估計各次失效的發(fā)生時刻期望值，現(xiàn)對可靠性增長試驗特征進行分析。在多臺產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗過程中，投入s臺產(chǎn)品進行定數(shù)截尾的壽命試驗，由于當(dāng)發(fā)生第m（m＝1，2，…，n）次失效時，會對所有產(chǎn)品進行糾正，可認(rèn)為只出現(xiàn)一次失效。若把前m-1次失效時間看成是第m次失效的無失效觀測時間，則試驗可敘述為：針對第m次失效，對s臺同型產(chǎn)品進行壽命試驗，當(dāng)有一個產(chǎn)品失效時試驗截止，則有0＝t0＜t1＜t2＜…＜tm，那么，第i次失效的失效數(shù)據(jù)模型可記為（s，ri，ti）（i＝1，2，…，m），其中ri為時刻ti時的產(chǎn)品失效個數(shù)。當(dāng)i≤m-1時，ri＝0；當(dāng)i＝m時，ri＝1。

綜上所述，可獲得如下信息：

（1）t0＝0時，產(chǎn)品失效概率P0＝0。

（2）由于0＝t0＜t1＜t2＜…＜tm，記Pi＝P（t＜ti），則有P1≤P2≤ … ≤Pm。

對于第m次失效，假設(shè)其失效時間服從分布參數(shù)為λm的指數(shù)分布，基于多層Bayes方法，計算出分布參數(shù)和失效時刻期望值，進而替代單臺AMSAA模型中的失效時間，最終確定模型參數(shù)，并對試驗結(jié)果進行估計。

2 失效概率Pi的Bayes估計

2.1 確立先驗分布

采用Bayes估計首先需要確定先驗分布，若試驗進行到ti時刻無產(chǎn)品失效，則有理由判定試樣在（0，ti）內(nèi)的可靠度很高，即失效概率Pi的先驗分布的密度函數(shù)應(yīng)是關(guān)于Pi的單調(diào)遞減函數(shù)。由于0≤Pi≤1，而不完全β分布B（θL，θU，u，v）要求其變量x滿足0≤x≤1，且其密度函數(shù)為［13-14］

在選取參數(shù)u≤1和v＞1的情況下，可保證概率密度函數(shù)f（x；θL，θU，u，v）是關(guān)于x 的單調(diào)遞減函數(shù)。通過改變x 的變化區(qū)間（θL，θU），可使之滿足各種試驗情況，所以可以選定失效概率Pi的先驗分布為不完全β分布B（θL，θU，u，v）。

根據(jù)Bayes估計的穩(wěn)定性［15］，概率密度函數(shù)尾部越密的先驗分布會造成Bayes估計的穩(wěn)健性越差。結(jié)合文獻(xiàn)［14］中關(guān)于不完全β分布的密度函數(shù)的討論，在v一定且u≤1時，隨著u取值的減小，密度函數(shù)曲線尾部越來越細(xì)密，由此可確定u＝1。確定v的具體取值比較困難，但根據(jù)不完全β分布的密度函數(shù)的性質(zhì)，在u＝1的情況下，v取值越大，密度函數(shù)曲線尾部越細(xì)密。可利用多層先驗分布的知識，給定一個取值上限C，認(rèn)為參數(shù)v服從區(qū)間［1，C］上的均勻分布，即

其中，常數(shù)C一般取3～7為宜［13］。

由于θL、θU分別為失效概率Pi取值區(qū)間的下限和上限，所以取θU＝1合理。為保證Pi的估計值滿足模型條件應(yīng)滿足

綜上所述，失效概率Pi的先驗分布可具體確定為

2.2 估計失效概率

由于產(chǎn)品在tm時刻發(fā)生失效，現(xiàn)可分兩種情況來確定θL的取值并估計失效概率Pi。

在時刻ti內(nèi)有s個產(chǎn)品進行試驗，有ri＝0個失效，則其似然函數(shù)為L（0，Pi）＝ （1-Pi）s。于是在平方損失函數(shù)下，以式（2）為先驗分布的Pi的Bayes估計為

（2）當(dāng)i＝m時，由于產(chǎn)品在tm時刻發(fā)生失效，且失效現(xiàn)象的發(fā)生在一定程度上具有隨機性，為了不丟失在tm時刻一個產(chǎn)品已經(jīng)失效且其他時間區(qū)間內(nèi)產(chǎn)品均未出現(xiàn)失效的信息，根據(jù)中位秩，初步假定tm時刻的失效概率

是合理的，于是可取θL＝P′。由不完全β分布B（P′，1，1，v）得到Pm的先驗分布為

此函數(shù)顯然是關(guān)于Pm單調(diào)遞減的，是可以作為Pm的先驗分布的。由于在時刻tm內(nèi)s個產(chǎn)品進行試驗，有rm＝1個失效，則其似然函數(shù)為

于是在平方損失函數(shù)下，以式（4）為先驗分布的Pm的Bayes估計為

3 多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長的評估方法

3.1 可靠性分布參數(shù)和特征值的估計

假定產(chǎn)品的第m次失效的發(fā)生時刻tm服從指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

式中，δmi為用ln（1-＾Pi）代替ln（1-Pi）所引起的誤差。

采用加權(quán)最小二乘估計法，在

的意義下，求得參數(shù)λm的估計值為

式中，ωi為權(quán)系數(shù)。

則產(chǎn)品第m次失效的發(fā)生時刻tm的期望值Tm為

3.2 可靠性增長結(jié)果的評估

根據(jù)多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗數(shù)據(jù)，對于第m次失效，由式（7）和式（8）可求得產(chǎn)品失效發(fā)生時刻tm的期望值Tm：

為利用單臺AMSAA模型［1］進行可靠性增長結(jié)果的評估，可將期望失效時刻Tm看作單臺產(chǎn)品投入可靠性增長試驗時的觀測失效時間，即對單臺產(chǎn)品進行失效截尾可靠性增長試驗，產(chǎn)品在該試驗中相繼故障時刻為

則單臺AMSAA模型參數(shù)a、b的無偏估計為［1］

則Tn時刻產(chǎn)品的平均故障間隔時間（mean time between failures，MTBF），即多臺同型產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗截止時刻tn時產(chǎn)品的MTBF值θ的無偏估計為

4 MATLAB仿真分析

4.1 建立仿真模型

為驗證所提出的統(tǒng)計分析方法的可行性和統(tǒng)計結(jié)果的準(zhǔn)確性，現(xiàn)利用MATLAB7.0軟件進行仿真分析。Crow在AMSAA模型中假定，可靠性增長的過程中，產(chǎn)品失效是按照非齊次泊松過程發(fā)生的，即失效次數(shù)服從參數(shù)為a、b的非齊次泊松過程。利用非齊次泊松過程的性質(zhì)［16］和仿真理論，設(shè)定試驗投入樣本數(shù)為s，產(chǎn)生的失效個數(shù)為n，非齊次泊松過程參數(shù)為a、b，則仿真模型［10］可按以下步驟建立：

（1）模擬單臺產(chǎn)品的失效時間序列。根據(jù)非齊次泊松過程的性質(zhì)，首先應(yīng)用計算機產(chǎn)生n個在（0，1）區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)Ri（i＝1，2，…，n），對其作變換Ni＝-lnRi，產(chǎn)生指數(shù)Ni；根據(jù)泊松過程的性質(zhì)，Si＝Si-1＋Ni為齊次泊松過程時間序列，對齊次泊松過程的發(fā)生時間作變換Ti＝ （Si／a）（1／b），則Ti為滿足參數(shù)為a、b的非齊次泊松過程的單臺產(chǎn)品失效時間序列。

（2）模擬多臺產(chǎn)品同步投試、同步糾正的失效時間序列。對于樣本數(shù)為s的可靠性增長試驗，對步驟（1）進行s次獨立的模擬，產(chǎn)生s組失效時間序列。根據(jù)同步糾正理論，觀測到的失效時間為多臺產(chǎn)品每個對應(yīng)失效的最早發(fā)生時間。對獲得的s組相同長度的模擬時間序列，取對應(yīng)次序的數(shù)據(jù)最小值作為同步糾正時間，即得到多臺同型產(chǎn)品同步糾正的失效時間。

（3）模型參數(shù)評估和MTBF計算。對模擬產(chǎn)生的多臺同型產(chǎn)品同步糾正的失效時間，利用本文提出的數(shù)據(jù)處理方法進行評估，獲得可靠性增長試驗后的參數(shù)和可靠性水平。為了便于比較和分析數(shù)據(jù)處理結(jié)果，利用美軍標(biāo)／國軍標(biāo)的處理方法和AMSAA-BISE模型對模擬數(shù)據(jù)進行處理。模擬數(shù)據(jù)的理論結(jié)果可利用多臺產(chǎn)品產(chǎn)生n個失效所需的試驗時間和非齊次泊松過程參數(shù)進行計算得到。

（4）對上述三步進行10 000循環(huán)模擬，分別獲得三種數(shù)據(jù)處理方法處理結(jié)果的平均值與理論模擬結(jié)果的平均值，并進行結(jié)果比較和分析。

4.2 仿真結(jié)果分析

為驗證所提出的統(tǒng)計方法的精確性，現(xiàn)以模型參數(shù)的估計精度為衡量指標(biāo)。根據(jù)非齊次泊松過程的性質(zhì)，只有當(dāng)0＜b＜1時，產(chǎn)品可靠性才處于增長過程之中。這里，任意假定模型參數(shù)取值：a＝0.5，b＝0.5，n＝7，C ＝5。根據(jù)上述分析和模型進行仿真模擬，各種方法對仿真數(shù)據(jù)的計算結(jié)果如表1所示。

表1 仿真計算結(jié)果

通過對比分析仿真估計結(jié)果可得：由于試驗樣本量增加時，所有樣品的試驗時間總和會隨之增大，則在產(chǎn)生的故障數(shù)不變的情況下，試驗總時間長的產(chǎn)品的壽命值較大，所以理論模擬結(jié)果隨樣品量的增加而變大。由于美軍標(biāo)／國軍標(biāo)中是將多臺產(chǎn)品的試驗時間進行簡單累加來作為單臺產(chǎn)品的試驗時間，所以，其評估方法估計的結(jié)果大于理論模擬結(jié)果；AMSAA-BISE模型假設(shè)同型產(chǎn)品之間失效相互獨立，沒有考慮失效的相關(guān)性，且其推導(dǎo)過程及公式與多臺產(chǎn)品異步糾正時的AMSAA模型相同，所以其估計結(jié)果也大于理論模擬結(jié)果。本文所提出方法的計算結(jié)果與理論模擬結(jié)果接近，且誤差隨樣品量的變化不大，能夠較好地估計可靠性增長結(jié)果，反映真實的試驗情況。

5 結(jié)語

本文根據(jù)多臺產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗均為單一產(chǎn)品失效的特點，提出了基于單一產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)的同步糾正可靠性增長試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析方法。給出了失效的可靠性分布參數(shù)和特征值的計算方法，更好地反映了試驗各個階段的實際情況；基于各個發(fā)生失效的時間期望值，利用單臺可靠性增長AMSAA模型來進行可靠性增長結(jié)果評估，使評估結(jié)果更好地反映出可靠性增長后的產(chǎn)品可靠性水平。蒙特卡羅模擬分析的結(jié)果表明，與現(xiàn)有方法相比，本文所提出方法的分析計算結(jié)果較接近于理論值，能較好地估計可靠性增長結(jié)果，反映真實的可靠性增長過程。另外，本文在推導(dǎo)過程中假設(shè)產(chǎn)品失效服從指數(shù)分布，對于失效服從其他分布類型的產(chǎn)品，亦可采用類似的分析方法進行統(tǒng)計分析，從而為不同失效分布類型的產(chǎn)品進行多臺產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗提供了統(tǒng)計分析方法和思路，可解決多臺產(chǎn)品同步糾正可靠性增長試驗數(shù)據(jù)的處理問題。

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