具年齡和加權(quán)的半線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制

付 軍, 朱 宏

(1. 吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000； 2. 吉林師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 吉林 四平 136000)

0 引言及預(yù)備知識

目前, 關(guān)于生物種群系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的研究已取得許多成果. 例如: 文獻(xiàn)[1]討論了一類時(shí)變種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制問題； 文獻(xiàn)[2]應(yīng)用懲罰移位法研究了其最優(yōu)邊界控制的計(jì)算； 文獻(xiàn)[3]討論了具最終狀態(tài)觀測的時(shí)變種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制問題； 文獻(xiàn)[4]針對生育率和死亡率均依賴于個(gè)體年齡的情形, 提出了具有加權(quán)規(guī)模的數(shù)學(xué)模型, 并討論了其最優(yōu)收獲問題； 文獻(xiàn)[5]研究了具有年齡分布和加權(quán)的非線性種群系統(tǒng)的最優(yōu)分布控制問題. 本文進(jìn)一步討論如下具年齡和加權(quán)的半線性種群系統(tǒng)(P):

的最優(yōu)邊界控制問題, 其中:p(r,t)表示時(shí)刻t、 年齡為r的單種群密度；p0(r)表示t=0時(shí)種群的年齡密度初始分布； 常數(shù)T表示生物種群的控制周期；f表示時(shí)刻t、 年齡為r的種群系統(tǒng)的外界擾動(dòng)函數(shù)；S(t)表示時(shí)刻t種群的加權(quán)總量；ω為權(quán)函數(shù)；u為控制變量；β和μ分別為生物種群的出生率和死亡率, 這里μ和β均與權(quán)函數(shù)ω有關(guān), 體現(xiàn)了加權(quán)總規(guī)模對種群動(dòng)態(tài)過程的影響, 因而, 更具有實(shí)際意義;A表示種群個(gè)體能活到的最高年齡,r∈(0,A), 0

p(r,t)=0,r≥A.

(5)

由于狀態(tài)方程(1)-(4)的解依賴于u, 所以記為p(r,t;u)或簡記為p(u), 人們希望通過控制函數(shù)u(t), 使系統(tǒng)(P)的狀態(tài)更接近種群密度的理想狀態(tài)zd(r,t). 為此, 引入如下性能指標(biāo)泛函:

(6)

假設(shè)如下條件成立：

(H1)g,h:R→R+為凸函數(shù),g,h∈C(R+)且g′,h′有界;

0≤μ(r,t;y),β(r,t;y),μy(r,t;y),βy(r,t;y),μyy(r,t;y),βyy(r,t;y)≤G;

(H4)ω∈L∞(Q), ?(r,t)∈Q, 0≤ω(r,t)≤G3.

(7)

例如:

<+∞, a.e于(0,T)內(nèi)}

(8)

是L2(0,T)的非空閉凸子集. 不失一般性, 假設(shè)Uad由式(8)確定.

定義1函數(shù)p∈L2(Q)稱為問題(1)-(4)的弱解, 若?φ∈Φ0, 滿足

其中

(10)

引理1[6]若條件(H1)～(H4)成立, 則系統(tǒng)(P)有唯一解p∈C([0,T];L1(Ω)).

定理1[7]若條件(H1)～(H4)成立, 則系統(tǒng)(P)的C([0,T];L1(Ω))解屬于L2(Q)解, 即p∈L2([0,T];L2(0,A))=L2(Q).

證明: 任取v∈Uad,p(v)∈Φ1={φφ∈C([0,T];L1(Ω)),φ(A,t)=φ(0,t)=0}, 用p(v)乘以方程(1)兩邊, 并在(0,A)上積分, 有

(11)

對式(11)的第一項(xiàng)、 第二項(xiàng)分別利用分部積分法, 并注意到μ(S)的非負(fù)性及式(5), 得

(12)

將式(12)兩邊關(guān)于τ在(0,t)上積分,t∈(0,T), 有

(13)

將式(13)右邊的第一項(xiàng)運(yùn)用H?lder不等式, 并由式(2)及假設(shè)(H2), 可得

(14)

將式(14)代入式(13), 得

其中C3是與p無關(guān)的常數(shù), 即p(r,t)∈L2([0,T];L2(0,A))=L2(Q).

1 最優(yōu)邊界控制的存在性

運(yùn)用定理1的證明方法, 可得：

引理3設(shè)(H1)～(H4)成立, 則系統(tǒng)(P)的解p(v)∈L2(Q)關(guān)于v是連續(xù)的.

證明: 設(shè)

(16)

由假設(shè)條件(H4)可知0≤J(u)<+∞, 則d∈[0,+∞). 取{vn}?Uad, 使得

(17)

由引理2知, 存在{pvn}的子列{pn}, 滿足

(18)

其中{vi}?{vn},i=n+1,…,kn, 使得

在L2(Q)中.

(19)

由式(8)知, {vn}在L2(0,T)中一致有界,

在L2(0,T)中.

(20)

在L2(0,T)中.

(21)

令

(22)

(28)

2) 對式(27)左邊第二項(xiàng), 當(dāng)n→+∞,i→+∞時(shí), 有

(29)

事實(shí)上, 有

3) 對式(27)右邊第一項(xiàng), 當(dāng)n→+∞,i→+∞時(shí), 有

(30)

事實(shí)上, 與式(27)的證明類似, 可以證明

4) 對式(27)右邊第二項(xiàng), 當(dāng)n→+∞時(shí), 有

(31)

事實(shí)上, 有

在式(27)中, 令i→∞,n→∞, 并注意到式(28)～(31), 有

式(32)表明p*為問題(1)-(4)當(dāng)u=u*,f=0時(shí)的解, 即p*=p(u*)為問題(1)-(4)當(dāng)f=0時(shí)的L2(Q)解.

下證u*為性能指標(biāo)泛函J(v)的最優(yōu)控制.

定理3設(shè)狀態(tài)函數(shù)p(v)是問題(1)-(4)的L2(Q)解, 性能指標(biāo)泛函J(v)定義如式(6), 容許控制集合Uad由式(8)給定. 序列{vn}是極小化序列,u*∈Uad是式(20)中的極限函數(shù), 即vn→u*在L2(0,T)中弱. 則u*∈Uad即為系統(tǒng)(P)關(guān)于問題(7)的最優(yōu)邊界控制, 即

(33)

(34)

由式(34)及p*=p(u*), 有p*=pu*, 故有

(35)

即p*為問題(1)-(4)當(dāng)u=u*時(shí)的解,p*=p(u*).

下面證明u*即為最優(yōu)邊界控制, (p*,u*)為最優(yōu)對, 即證

J(u*)=d.

(36)

事實(shí)上, 由式(17),(20),(21),(35), 有

即式(36)成立.

2 控制為最優(yōu)的必要條件及確定最優(yōu)控制的最優(yōu)性組

下面討論u*∈U為系統(tǒng)(P)最優(yōu)邊界控制的必要條件, 并確定最優(yōu)控制的最優(yōu)性組.記

(37)

uλ=u*+λ(u-u*), 0<λ<1,

定理4若u*∈Uad是系統(tǒng)(P)的最優(yōu)邊界控制, 則u*滿足如下不等式：

?u∈Uad.

(39)

證明: 設(shè)u*∈Uad為最優(yōu)邊界控制, 則由性能指標(biāo)泛函J(u)的結(jié)構(gòu)式(6), 有

(40)

其中:p(uλ)=p(r,t;uλ);p*(u)=p(r,t;u*); 0<λ<1. 由式(40),(37)和極限的保號性可得

即式(39)成立. 證畢.

為變換式(39), 導(dǎo)入式(38)的伴隨狀態(tài)q(r,t;u)=q(u).

(41)

定理5設(shè)p(r,t;u)是問題(1)-(4)的廣義解, 則伴隨問題(41)存在唯一的廣義解：q(u)∈L2(Q),Dq(u)∈L2(Q).

證明: 用q(u)乘式(38)的第一式, 并在Q上積分, 得

(42)

在式(42)等號右邊對(r,t)進(jìn)行分部積分, 并結(jié)合式(38)和式(41)后3個(gè)等式, 得

(43)

由式(43)知, 式(39)等價(jià)于

(44)

又由方程(41)知,q(r,t)依賴于p(r,t), 而p(r,t)=p(r,t;u*), 因此式(44)可變?yōu)?/p>

(45)

綜上, 可得本文主要結(jié)果：

定理6設(shè)p(v)∈L2(Q)是系統(tǒng)(P)的狀態(tài),J(v)是由式(6)給出的性能指標(biāo),Uad是式(8)表示的容許控制集, 若u*∈Uad為系統(tǒng)(P)關(guān)于問題(7)的最優(yōu)控制, 則u*∈Uad由系統(tǒng)(P)(其中v=u*)、 伴隨系統(tǒng)(41)及變分不等式(45)構(gòu)成的最優(yōu)性組的聯(lián)立解{u*,p,q}確定.

[1] CAO Chun-ling, CHEN Ren-zhao. Optimal Boundary Control for Time-Varying Population Systems [J]. Journal of Northeast Normal University： Natural Science Edition, 1999(4): 9-13. (曹春玲, 陳任昭. 時(shí)變種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制 [J]. 東北師大學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1999(4)： 9-13.)

[2] FU Jun, YAN Shu-kun, Lü Xian-rui. Penalty Shifting Method on Calculation of Optimal Boundary Control for Time-Varying Population System with Age-Dependence [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2010, 48(2): 177-182. (付軍, 閆淑坤, 呂顯瑞. 年齡相關(guān)的時(shí)變種群系統(tǒng)最優(yōu)邊界控制計(jì)算的懲罰移位法 [J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào): 理學(xué)版, 2010, 48(2): 177-182.)

[3] XU Wen-bing, CHEN Ren-zhao. Final State Observation and Boundary Control for a Time-Varying Population System [J]. Journal of Northeast Normal University: Natural Science Edition, 2000, 32(1): 6-9. (徐文兵, 陳任昭. 時(shí)變種群系統(tǒng)最終狀態(tài)觀測及邊界控制 [J]. 東北師大學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2000, 32(1): 6-9.)

[4] HE Ze-rong, ZHU Guang-tian. Optimal Harvesting for a Population System Based on Age Distribution and Weighted Size [J]. Advances in Mathematics, 2006, 35(3): 315-324. (何澤榮, 朱廣田. 基于年齡分布和加權(quán)總規(guī)模的種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制 [J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展, 2006, 35(3): 315-324.)

[5] YE Shan-xi, ZHAO Chun. Optimal Control for a Class of Age-Dependent Population System Based on Weight [J]. Mathematica Applicata, 2007, 20(3)： 562-567. (葉山西, 趙春. 一類具有年齡分布和加權(quán)的種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2007, 20(3)： 562-567.)

[6] CHEN Ren-zhao, LI Jian-quan. Existence and Uniqueness of the Solution for Nonlinear Age-Dependent Time-Varying Population Evolution Equations [J]. Acta Mathematiea Scientia, 2003, 23A(4)： 385-400. (陳任昭, 李健全. 與年齡相關(guān)的非線性時(shí)變種群發(fā)展方程解的存在與唯一性 [J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2003, 23A(4)： 385-400.)

[7] TIAN Jian-hao, FU Jun. Solution and Continuous Dependency of the Solution for the Boundary Control in a Class of Nonlinear and Weighted Size Population System [J]. Journal of Jilin Normal University: Natural Science Edition, 2009(2)： 73-75. (田健豪, 付軍. 一類非線性加權(quán)種群系統(tǒng)解及其對邊界控制的連續(xù)相依性 [J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2009(2)： 73-75.)

[8] 黎茨 F, 塞克佛爾維-納吉 B. 泛函分析講義 [M]. 莊萬, 譯. 第二卷. 北京： 科學(xué)出版社, 1981: 65-71.

[9] 趙義純. 非線性泛函分析及其應(yīng)用 [M]. 北京： 高等教育出版社, 1989: 10-11.