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    利用一般tanh函數(shù)法和(G′/G)函數(shù)擴(kuò)展法求非線性波動(dòng)方程的行波解及其一致性分析

    2013-12-03 01:16:36李恒燕劉天寶
    關(guān)鍵詞:雙曲將式行波

    李恒燕,韓 笑,劉天寶

    (1. 華北水利水電學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,鄭州 450011;2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012;3. 空軍航空大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室,長(zhǎng)春 130022)

    目前,應(yīng)用最廣泛的求非線性方程行波解[1]的方法就是tanh方法和(G′/G)擴(kuò)展法[2]. 本文運(yùn)用tanh方法和(G′/G)擴(kuò)展法求一般的非線性方程行波解,通過(guò)對(duì)解最后表達(dá)形式的分析,表明兩種方法具有一致性. tanh方法是最早用于求行波解的方法[3-5];(G′/G)擴(kuò)展法是建立在tanh方法基礎(chǔ)上對(duì)行波解進(jìn)行更一般形式的討論[6-11],引進(jìn)了更多的未知系數(shù),得到了更廣泛的行波解.

    考慮如下一般的非線性波動(dòng)方程:

    utt+αuxx+βu+γu3=0,

    (1)

    其中:α<0;β,γ為非零參數(shù).

    1 (G′/G)拓展法

    假設(shè)u(x,t)=U(ξ),ξ=kx+wt,則有

    ux=kU′,ut=wU′,uxx=k2U″,utt=w2U″.

    (2)

    將式(2)代入非線性波動(dòng)方程(1),可得

    w2U″+αk2U″+βU+U3=0.

    (3)

    可將U(ξ)表示為一個(gè)關(guān)于(G′/G)的多項(xiàng)式:

    (4)

    其中G=G(ξ)滿足G″+λG′+μG=0. 則有

    (5)

    將式(5)代入式(3),并將代入后式(3)中含有(G′/G)的微分項(xiàng)中(G′/G)的最高次項(xiàng)與不含有(G′/G)的微分項(xiàng)中(G′/G)的最高次項(xiàng)找出來(lái),建立等式可得n+2=3n,解得n=1,即

    (6)

    (7)

    將式(6),(7)代入式(3),可得一個(gè)關(guān)于(G′/G)的非線性方程,再將所有系數(shù)整理并將每個(gè)系數(shù)均令為0,可得

    (8)

    將方程組(8)應(yīng)用Math軟件可得4組解:

    (9)

    將式(9)各組解分別代入式(3),即可得到該非線性方程的行波解.

    第一組解求出的行波解是:當(dāng)λ2-4u>0時(shí),

    (10)

    則有

    其中

    (12)

    當(dāng)λ2-4u<0時(shí),

    (13)

    其中ξ為式(12). 當(dāng)λ2-4u=0時(shí),

    (15)

    (16)

    其中ξ為式(12).

    第二組解求出的行波解是:當(dāng)λ2-4u>0 時(shí),由式(10),則有

    (17)

    其中

    (18)

    當(dāng)λ2-4u<0時(shí),由式(13),有式(14),其中ξ為式(18). 當(dāng)λ2-4u=0時(shí),由式(15),有式(16),其中ξ為式(18).

    第三組解求出的行波解是:當(dāng)λ2-4u>0時(shí),由式(10),有

    其中ξ為式(12). 當(dāng)λ2-4u<0時(shí),由式(13),有

    其中ξ為式(12). 當(dāng)λ2-4u=0時(shí),由式(15),有

    (21)

    其中ξ為式(12).

    第四組解求出的行波解是:當(dāng)λ2-4u>0時(shí),由式(10),有式(19),其中ξ為式(18). 當(dāng)λ2-4u<0 時(shí),由式(13),有式(20),其中ξ為式(18). 當(dāng)λ2-4u=0時(shí),由式(15),有式(21),其中ξ為式(18).

    2 tanh函數(shù)法

    假設(shè)u(x,t)=U(ξ),ξ=kx+λt,則有

    ux=kU′,ut=λU′,uxx=k2U″,utt=λ2U″.

    (22)

    將式(22)代入非線性波動(dòng)方程(1),可得

    λ2U″+αk2U″+βU+γU3=0.

    (23)

    可假設(shè)U(ξ)為一個(gè)關(guān)于w的多項(xiàng)式:

    (24)

    (25)

    將式(24),(25)代入式(9),即可得到一個(gè)線性方程,應(yīng)用齊次平衡原理,可得一個(gè)關(guān)于M的方程:4+M-2=3M,解得M=1. 又由式(24),可得U(ξ)=a0+a1w+b1w-1. 顯然可得

    (26)

    式(26)代入式(9)即可得一個(gè)關(guān)于w的代數(shù)方程:

    將方程(27)的所有系數(shù)整理并將每個(gè)系數(shù)均令為0,可得

    (28)

    將方程組(28)應(yīng)用Math軟件可得8組解:

    (29)

    計(jì)算得到的1~4組解顯然與(G′/G)展開(kāi)法得到的解一致,而由于本文推廣了雙曲正切法,從而比(G′/G)方法多得到了4組解,即得到了b1≠0的解.

    將式(29)的各組解代入式(23),即可得到該非線性方程的行波解. 分析對(duì)應(yīng)的a0,a1,b1,對(duì)于方程中不同的參數(shù)γ可得相應(yīng)的解為: 當(dāng)γ<0,即b<0時(shí),對(duì)應(yīng)的行波解表達(dá)式如下:

    當(dāng)γ>0,即b>0時(shí),對(duì)應(yīng)的行波解表達(dá)式如下:

    當(dāng)γ<0,特別取α=-1,β=2,γ=-1時(shí),常數(shù)b=-4,對(duì)應(yīng)雙曲正切解和雙曲余切解可得行波解的圖像.

    3 一致性分析

    用tanh方法求出的行波解形式為

    通過(guò)上述推導(dǎo)與分析得到了統(tǒng)一的結(jié)果,可見(jiàn)(G′/G)拓展法和tanh函數(shù)方法在本質(zhì)上是一致的,此外利用擴(kuò)展的雙曲正切函數(shù)法可以得到更多的精確形式行波解.

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    [11] Benjamin T B,Bona J L,Mahony J J. Model Equations for Long Waves in Nonlinear Dispersive Systems [J]. Philos Trans Roy Soc: Ser A,1972,272(1220): 47-48.

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