阻尼器對(duì)頻率法拉索索力測(cè)量的影響*

淡丹輝，陳艷陽(yáng)

（同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系 上海，200092）

引 言

關(guān)鍵拉索索力對(duì)斜拉橋整體結(jié)構(gòu)的受力和變形都有較大的影響，是橋梁健康監(jiān)測(cè)和工作狀態(tài)評(píng)估的重要依據(jù)，需要對(duì)其進(jìn)行精確測(cè)量?；诃h(huán)境振動(dòng)的頻率法是目前橋梁上常用的索力測(cè)量方法。采用頻率法拉索索力測(cè)量的精度取決于高靈敏度拾振技術(shù)、精確的索結(jié)構(gòu)頻率測(cè)量與定階以及頻率與索力關(guān)系的準(zhǔn)確度。多數(shù)橋梁的拉索減振是通過(guò)阻尼器來(lái)實(shí)現(xiàn)的。然而，阻尼器的安裝改變了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，影響了頻率法索力測(cè)量的精度。

目前，拉索索力的精確測(cè)量已有很多研究。蘇成等［1］采用有限元方法及樣條擬合技術(shù)擬合頻率和索力之間的關(guān)系。任偉新等［2］采用能量法和曲線擬合方法，提出了分別考慮索垂度和抗彎剛度影響的、根據(jù)基頻計(jì)算索力的使用公式。G.Ricciardi等［3］提出了考慮垂度和抗彎剛度的拉索連續(xù)振動(dòng)分析模型。徐霞飛等［4］進(jìn)行了拉索阻尼器的理論模型的求解。王修勇等［5］研究了斜拉橋拉索減振阻尼器對(duì)拉索索力測(cè)量的影響，其研究難以準(zhǔn)確確定阻尼器安裝高度及阻尼系數(shù)等對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響程度，并未考慮阻尼器剛度因素。喬燕等［6］重點(diǎn)研究了垂度、阻尼器以及環(huán)境溫度對(duì)振動(dòng)頻率法索力測(cè)試的影響程度。文獻(xiàn)［7］提出了采用基于頻率的系統(tǒng)識(shí)別方法進(jìn)行索力評(píng)估。陳志慶［8］提出了考慮減振器影響的斜拉索索力測(cè)試研究，得到了索－阻尼器索力求解的公式，但公式的推導(dǎo)是假設(shè)索兩端邊界條件都為鉸支，求解依賴于拉索形函數(shù)的假設(shè)，針對(duì)不同的拉索需要專門的分析，而且對(duì)于短索、垂度大的拉索以及多點(diǎn)支撐的拉索，該方法的適用性有待研究。

筆者依據(jù)自建的索－阻尼器有限元模型，從分析不同阻尼器參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響出發(fā)，研究了阻尼器對(duì)采用頻率法索－阻尼器體系索力測(cè)量的影響，提出了提高索－阻尼器體系索力測(cè)量精度的一些措施和建議。

1 頻率法的索力測(cè)量

水平張緊索的自由振動(dòng)方程為

其中：x為沿索長(zhǎng)方向的坐標(biāo)；u（x，t）為t時(shí)刻索上各點(diǎn)的豎向位移；EI為索的抗彎剛度；T為拉索索力；ρ為拉索的線密度。

考慮拉索兩端鉸支時(shí)，由式（1）得到拉索平面內(nèi)振動(dòng)頻率和索張力公式為

其中：n為索自振頻率的階數(shù)；fn為拉索的第n階頻率；L為拉索的計(jì)算索長(zhǎng)。

拉索的頻率受垂度、支撐方式及減震器等因素的影響，直接采用式（2）計(jì)算的索力會(huì)產(chǎn)生較大誤差。為了確定阻尼器對(duì)式（2）索力計(jì)算精度的影響程度，根據(jù)式（2）分析了阻尼器引起的結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率變化和索力測(cè)量誤差的關(guān)系。假設(shè)阻尼器安裝前、后拉索索力T保持不變，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的測(cè)量和定階是準(zhǔn)確的，阻尼器引起的結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)頻率的相對(duì)變化記為Δfn／fn，則由頻率變化引起、仍采用頻率法計(jì)算索力的誤差Terror為

式（3）中高階項(xiàng)（Δfn／fn）2很小，可以忽略。在忽略抗彎剛度的影響下，阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響在采用頻率法索力計(jì)算時(shí)體現(xiàn)為索力測(cè)量誤差為結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)頻率的相對(duì)變化的2倍。在本研究中，索模態(tài)頻率誤差Err（fn）定義為阻尼器阻尼系數(shù)造成的頻率相對(duì)誤差，其基準(zhǔn)頻率fnst為無(wú)外加阻尼裝置且邊界為鉸支條件下（公式法理想適用條件）索的各階模態(tài)頻率。公式為

（2）活性材料投加量的確定。取3號(hào)廢泥漿樣品加入 AP2.0%、水泥20.0%、促凝增強(qiáng)劑CA 5.0%及相應(yīng)添加劑，HHJ投加量不同，考察固化改良后浸出液主要指標(biāo)，試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表9。通過(guò)數(shù)據(jù)分析可以看出，當(dāng)HHJ投加量達(dá)到10.0%時(shí)，固化改良物浸出液的各項(xiàng)指標(biāo)都能夠到要求。再增加投加量，處理效果變化不大，因此選擇HHJ活性材料的加量為10.0%。

其中：n為頻率階數(shù)；fn為不同阻尼器阻尼系數(shù)下的第n階頻率。

2 拉索－阻尼器體系有限元模型

為了研究外加阻尼情況下頻率公式法測(cè)量索力的準(zhǔn)確性，必須要建立阻尼參數(shù)與拉索張力的解析關(guān)系，或者通過(guò)有限元模型計(jì)算二者關(guān)系。由于實(shí)際拉索的復(fù)雜性，垂度、邊界條件和外置阻尼等因素，導(dǎo)致了利用解析法探討二者關(guān)系變得很困難；因此，筆者通過(guò)有限元方法來(lái)討論這一問(wèn)題。

2.1 拉索－阻尼器體系有限元模型的建立

采用圖1所示的拉索－阻尼器體系，應(yīng)用MATLAB進(jìn)行斜拉索的非線性有限元分析。假設(shè)拉索平衡時(shí)的線形為拋物線（在垂跨比小于1／8且忽略索的彎曲剛度時(shí)，可認(rèn)為索的初始構(gòu)形是拋物線形，程序中懸鏈線和拋物線計(jì)算出的體系前15階頻率的相對(duì)誤差小于3‰），通過(guò)在重力作用下拉索的幾何構(gòu)型上劃分有限單元來(lái)考慮垂度影響。采用平面梁?jiǎn)卧M拉索結(jié)構(gòu)，拉索邊界條件取為剛接。拉索的單元質(zhì)量矩陣采用一致質(zhì)量矩陣模式。單元?jiǎng)偠染仃嚢◤椥詣偠染仃?、軸力剛度矩陣和彎矩剛度矩陣。不考慮拉索內(nèi)阻尼，將阻尼器的阻尼定義為阻尼器單體實(shí)驗(yàn)時(shí)的標(biāo)定阻尼系數(shù)，即阻尼力與速度的比值，考慮粘性阻尼器和摩擦型阻尼器兩種類型，此外還考慮阻尼器剛度（軸向剛度）。

圖1 拉索－阻尼器體系

2.2 模型正確性的驗(yàn)證

模型的正確性通過(guò)某斜拉橋B01號(hào)索的有限元分析來(lái)實(shí)現(xiàn)的。拉索參數(shù)如表1所示，其中：L為索長(zhǎng)；T為初始索張力；E為拉索彈性模量；D為拉索直徑；θ為拉索傾角；ρ為索線密度；Ld為阻尼器安裝高度（從橋面算起，沿索長(zhǎng)方向阻尼器安裝位置）。

令Ld／L＝0，C＝0（Ns·m－1），即無(wú)阻尼情況，通過(guò)頻率法計(jì)算拉索的基頻為0.901 9Hz。有阻尼器情況下，程序計(jì)算的基頻為0.947 7，相差5.1%，反映了本研究有限元程序的準(zhǔn)確性。

3 阻尼器對(duì)索－阻尼器體系動(dòng)力特性及索力測(cè)量的影響

阻尼器的有無(wú)會(huì)直接影響拉索的動(dòng)力特性，也必然會(huì)對(duì)振動(dòng)法測(cè)索力的精度產(chǎn)生影響。為了說(shuō)明這一問(wèn)題，以某斜拉橋B17號(hào)拉索為例，拉索參數(shù)如表2所示，阻尼系數(shù)取4×104Ns／m，利用有限元模型分析比較了阻尼器的有無(wú)對(duì)拉索索力測(cè)量誤差的影響。

表1 某斜拉橋B01號(hào)索拉索參數(shù)

表2 某斜拉橋B17號(hào)拉索參數(shù)值

圖2 有無(wú)阻尼器及不同邊界條件下的索力誤差

振動(dòng)頻率法只適用于邊界條件為兩端鉸支且無(wú)阻尼器的情況。對(duì)于實(shí)際拉索，條件均在不同程度地偏離這個(gè)理想條件，結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率比鉸支情況下略大。阻尼器通常引起拉索頻率的增加，這些因素使得采用式（2）計(jì)算索力會(huì)產(chǎn)生較大誤差。為了進(jìn)一步研究這種影響程度和規(guī)律，下面分別考察阻尼器阻尼系數(shù)、阻尼器安裝高度、阻尼器剛度等參數(shù)對(duì)拉索－阻尼器體系的模態(tài)頻率及索力測(cè)量精度的影響。

3.1 阻尼系數(shù)

保持表3中拉索參數(shù)不變，改變阻尼系數(shù)，來(lái)考察阻尼大小對(duì)索－阻尼器體系動(dòng)力特性和頻率法索力測(cè)量的影響。

由圖3（a）可知，在表3規(guī)定的條件下，在很大范圍內(nèi)，阻尼系數(shù)對(duì)索－阻尼器體系的前兩階頻率幾乎沒(méi)有影響。當(dāng)阻尼系數(shù)達(dá)到約6.45×104～6.46×104Ns／m之間時(shí)，如圖3（b）所示，計(jì)算得到的一階頻率劇烈下降，在約64 585Ns／m時(shí)降低為零，此時(shí)對(duì)應(yīng)的第2階與遠(yuǎn)離臨界阻尼（小于）時(shí)的第1階頻率近似相等。這種現(xiàn)象說(shuō)明，模態(tài)頻率存在臨界阻尼系數(shù)，但達(dá)到一臨界值時(shí)，該階模態(tài)被完全抑制為零。

圖3 阻尼系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響

圖4為阻尼系數(shù)對(duì)索模態(tài)頻率誤差和索力誤差的影響情況。從圖4（a）可以看出，采用前10階模態(tài)頻率進(jìn)行頻率公式法索力測(cè)量時(shí)，阻尼系數(shù)對(duì)頻率相對(duì)誤差有顯著影響，阻尼系數(shù)越大，頻率相對(duì)誤差就越大。在阻尼系數(shù)小于1.2×105Ns／m時(shí)，模態(tài)頻率階數(shù)對(duì)這種影響起到加速作用。由圖4（b）可見(jiàn)，阻尼系數(shù)對(duì)索力誤差有著與阻尼系數(shù)對(duì)頻率相對(duì)誤差相同的趨勢(shì)，這一趨勢(shì)是式（3）的反映?？梢?jiàn)，采用二階頻率的索力誤差最小。

當(dāng)阻尼系數(shù)達(dá)到系統(tǒng)的臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)一階頻率為0，此時(shí)的二階頻率為系統(tǒng)的一階頻率（如圖3所示），其他各階均下移一階。阻尼系數(shù)繼續(xù)增大，新的結(jié)構(gòu)一階頻率也會(huì)繼續(xù)緩慢增加。當(dāng)阻尼系數(shù)繼續(xù)增大（約1×1010Ns／m時(shí)），新的各階頻率的增長(zhǎng)速度隨阻尼系數(shù)增大逐步降低為零。此時(shí)，索－阻尼器體系退化為在阻尼器安裝位置處鉸接的無(wú)阻尼體系。為此，表4給出了退化后索模型的前10階頻率。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)阻尼器達(dá)到1×1010Ns／m時(shí)，將阻尼器－拉索體系處理成鉸支其誤差較小，對(duì)低階模態(tài)誤差大，但不會(huì)超過(guò)0.4%。這說(shuō)明在阻尼器大阻尼比的情況下，阻尼器的作用演變?yōu)橐粋€(gè)普通的邊界約束，體系朝長(zhǎng)度變短的無(wú)阻尼索方向演變。在阻尼系數(shù)不接近無(wú)窮大、達(dá)到臨界阻尼時(shí)，阻尼器位置處鉸支的基頻和二階頻率的誤差仍有1.7%?？梢?jiàn)，在阻尼系數(shù)達(dá)到臨界阻尼而不接近無(wú)窮大時(shí)，將拉索－阻尼器體系當(dāng)作在阻尼器安裝位置處鉸接的無(wú)阻尼體系會(huì)引起采用低階頻率索力測(cè)量的較大誤差（約3.5%）。

圖4 阻尼系數(shù)對(duì)模態(tài)頻率誤差和索力誤差的影響

表3 阻尼系數(shù)對(duì)索－阻尼器體系的影響

3.2 阻尼器安裝高度

拉索參數(shù)同表2，阻尼系數(shù)取4×104Ns／m，阻尼器安裝高度［11］Ld／L從0.01變化到0.10。從圖5（a）可見(jiàn)，對(duì)于前3階模態(tài)，系統(tǒng)模態(tài)頻率隨阻尼器安裝高度與其隨阻尼器系數(shù)的變化趨勢(shì)完全相同。阻尼器安裝高度從3m增加到30m，前3階頻率誤差的增幅分別達(dá)到1.8%，4.2%，7.6%。對(duì)于3階以上模態(tài)，其頻率誤差和索力誤差隨阻尼器安裝高度的變化無(wú)明顯規(guī)律。阻尼器安裝高度對(duì)體系的低階模態(tài)頻率影響較小，對(duì)高階模態(tài)頻率影響較大。從圖5（b）可以看出索力誤差隨阻尼器安裝高度的變化規(guī)律與頻率誤差相同?？梢?jiàn)，阻尼器安裝高度對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和索力測(cè)量影響顯著。從索力誤差結(jié)果來(lái)看，采用二階頻率計(jì)算索力具有相對(duì)較好的精度。

3.3 阻尼器剛度

拉索的減震阻尼器具有一定的剛度［9］；因此，本研究討論阻尼器剛度對(duì)索－阻尼器體系動(dòng)力特性和頻率法索力測(cè)量的影響。拉索參數(shù)同表3，通過(guò)改變阻尼器彈性模量來(lái)實(shí)現(xiàn)阻尼器剛度的改變，如圖6所示。可以看出，頻率誤差和索力誤差隨著阻尼器剛度的增加有相同的變化趨勢(shì)。阻尼器剛度越大，頻率相對(duì)誤差就越大，這種增大的趨勢(shì)隨著阻尼器剛度的增加而逐漸放緩。在阻尼器剛度達(dá)到8×106N／m時(shí)，這種增加幾乎可以忽略。在阻尼器剛度小于2×106N／m時(shí)，各階頻率誤差變化都很劇烈。當(dāng)阻尼器剛度從0增加到4×106N／m時(shí)，阻尼器剛度對(duì)各階頻率影響都很大。例如，一階頻率誤差變化達(dá)到1.4%時(shí)，對(duì)采用基頻的索力影響可以達(dá)到3.6%。當(dāng)阻尼剛度達(dá)到6×106N／m時(shí)，頻率誤差和索力誤差都趨于一定值，說(shuō)明此時(shí)增大阻尼器剛度對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響已趨于穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)頻率只略微增大。阻尼器剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的低階頻率影響較大，對(duì)結(jié)構(gòu)的高階頻率影響較小。文獻(xiàn)［9］中阻尼器剛度的范圍為1.2×106～1.4×106N／m。在這一范圍內(nèi)，阻尼器剛度對(duì)結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力特性和頻率法索力測(cè)量的影響比阻尼器安裝高度小，但比阻尼系數(shù)影響大。索力誤差表明，采用二階頻率計(jì)算索力具有相對(duì)較好的精度。

圖5 安裝高度對(duì)頻率誤差和索力誤差的影響

圖6 阻尼器剛度對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和索力測(cè)量的影響

以上研究是基于粘性阻尼器，對(duì)摩擦型阻尼器存在相同的結(jié)論。在阻尼器剛度小于2×106N／m時(shí)，帶摩擦型阻尼器的拉索－阻尼器體系動(dòng)力特性受外部激勵(lì)影響較大。外部激勵(lì)較小時(shí)，阻尼器剛度變化范圍也很小，結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性變化也較?。灰虼?，在阻尼器剛度小于2×106N／m時(shí)，宜在外部激勵(lì)較小時(shí)進(jìn)行索力測(cè)量，在阻尼器剛度大于2×106N／m時(shí)，可采用與安裝粘性阻尼器拉索相同的索力測(cè)量方法。

圖7 修改索長(zhǎng)方法的索力測(cè)量

4 提高索力測(cè)量精度的措施

拉索的高階頻率受阻尼器剛度的影響較低階頻率小，但其受阻尼系數(shù)及阻尼器安裝高度影響較低階頻率大很多，而且變化無(wú)規(guī)律。由圖4～6可知，采用拉索高階頻率計(jì)算索力是不合理的。由于阻尼器的嵌固作用，當(dāng)阻尼器的阻尼系數(shù)超過(guò)系統(tǒng)的臨界阻尼、剛度達(dá)到一定值時(shí)，拉索在阻尼器位置處近似鉸支，相當(dāng)于減小了拉索的有效振動(dòng)長(zhǎng)度。利用公式法計(jì)算的索力較真實(shí)索力有偏小的趨勢(shì)，然而阻尼器的安裝導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率的增加，使得采用頻率法測(cè)得的索力較真實(shí)索力有偏大的趨勢(shì)。這兩者影響程度相當(dāng)，可以通過(guò)修改索長(zhǎng)來(lái)抵消一部分，從而提高索力測(cè)量精度。拉索的有效索長(zhǎng)取拉索索長(zhǎng)L與阻尼器安裝高度Ld的差。采用修改索長(zhǎng)方法只能在一定程度提高索力測(cè)量的精度，計(jì)算索力與真實(shí)索力仍有一定的差距。由于阻尼系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)頻率影響很小，對(duì)于阻尼系數(shù)未達(dá)到臨界阻尼的情況，索力計(jì)算時(shí)應(yīng)采用低階頻率。拉索參數(shù)同表3，采用修改索長(zhǎng)公式較修改前提高了4.5%，但仍有7%的索力誤差。

本研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于不同的阻尼器阻尼系數(shù)、安裝高度和剛度采用拉索的2階頻率計(jì)算索力具有較好的精度。除了阻尼器剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的低階頻率影響較大外，阻尼系數(shù)及阻尼器安裝高度對(duì)結(jié)構(gòu)的前兩階頻率影響都較小，尤其是對(duì)基頻的影響最??；因此如果能夠精確考慮拉索的垂度，采用基頻計(jì)算拉索索力的公式來(lái)提高索力測(cè)量的精度（文獻(xiàn)［2］、［4］等提到的公式只是分別考慮拉索垂度和抗彎剛度的）。直接采用索－阻尼器體系公式法求解也需要進(jìn)一步研究。

5 結(jié) 論

1）阻尼器的阻尼系數(shù)、安裝高度和剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性和索力測(cè)量影響都很顯著。其中，阻尼系數(shù)和阻尼器安裝高度對(duì)索－阻尼器的低階頻率影響較小，對(duì)高階頻率影響較大，阻尼器剛度對(duì)索－阻尼器的模態(tài)頻率的影響與阻尼系數(shù)相反。在阻尼器剛度小于2×106N／m時(shí)，阻尼器剛度對(duì)結(jié)構(gòu)體系動(dòng)力特性和頻率法索力測(cè)量影響比阻尼器安裝高度小，但比阻尼系數(shù)影響大。

2）摩擦型阻尼器的索力測(cè)量在阻尼器剛度變化范圍較小或阻尼器剛度較大的情況下，可以采用與粘性阻尼器相同的索力測(cè)量方法。

3）采用拉索的高階頻率來(lái)提高索力測(cè)量精度的措施是不合理的。修改索長(zhǎng)方法適用于索－阻尼器體系的索力測(cè)量，能在一定程度提高索力測(cè)量精度。施加阻尼器會(huì)抑制拉索的低級(jí)振動(dòng)，尤其是基頻，而且拉索基頻受垂度影響較大，按照式（2）進(jìn)行索力計(jì)算時(shí)不宜采用基頻，采用拉索的2階頻率可以獲得較好的索力精度，式（3）在低階頻率范圍內(nèi)具有參考意義。

4）由于阻尼系數(shù)和阻尼器安裝高度對(duì)索－阻尼器體系基頻影響最小，在阻尼器剛度一定時(shí)，提出基于基頻考慮垂度影響的索力測(cè)量方法可以提高索力測(cè)量精度。

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