復(fù)合隨機(jī)振動系統(tǒng)的動態(tài)可靠性分析*

王倩倩，張義民，王一冰，呂 昊

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院 沈陽，110819）

引 言

在實際工作過程中，結(jié)構(gòu)受到的激勵往往是不確定的隨機(jī)載荷，結(jié)構(gòu)自身的參數(shù)又具有隨機(jī)性。隨機(jī)載荷與隨機(jī)參數(shù)會引起結(jié)構(gòu)在工作過程中響應(yīng)的隨機(jī)性，當(dāng)響應(yīng)超過界限值時會引起功能的失效或是結(jié)構(gòu)的破壞，因此研究隨機(jī)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵下的響應(yīng)及超限的可靠性問題是必要的。對于結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的可靠性分析主要有3方面的內(nèi)容：a.結(jié)構(gòu)的響應(yīng)超過某個界限值引起的破壞；b.結(jié)構(gòu)的固有頻率接近系統(tǒng)的激振頻率引起的共振從而導(dǎo)致系統(tǒng)失效；c.結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動下產(chǎn)生的損傷積累破壞，即疲勞失效。林家浩等［1，2］研究的虛擬激勵法極大地方便了復(fù)雜線性系統(tǒng)在隨機(jī)激勵下的響應(yīng)分析，并指出與精細(xì)時程積分［3］相結(jié)合的虛擬激勵法是解決線性系統(tǒng)隨機(jī)激勵振動分析的有效方法，能夠應(yīng)用于工程實際中復(fù)雜系統(tǒng)的求解。吳震宇等［4］利用虛擬激勵法結(jié)合等效線性化方法解決了軸系扭縱耦合非線性隨機(jī)振動的首超破壞可靠性問題。張義民等［5－7］利用攝動法、四階矩方法與可靠性分析的Edgeworth級數(shù)相結(jié)合，分析了線性與非線性隨機(jī)結(jié)構(gòu)的各種隨機(jī)振動問題，但沒有考慮激勵為隨機(jī)過程的情況。Gupta等［8，9］使用隨機(jī)過程的三角級數(shù)表示形式，利用改進(jìn)的響應(yīng)面法分析了非高斯隨機(jī)激勵下的隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動響應(yīng)問題。文獻(xiàn)［10，11］利用路徑積分法研究了非線性振動系統(tǒng)在winner過程激勵下的響應(yīng)概率密度問題，方法簡便并獲得了比較精確的結(jié)果，但沒有考慮結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性問題。陳建兵等［12－14］利用概率密度守恒原理發(fā)展的概率密度演化方法解決了復(fù)合隨機(jī)振動的概率演化和可靠性問題。

對于機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)振動，當(dāng)振動幅度過大時會引起基體振動和噪聲，甚至引起自身或者與之相連接的機(jī)械零部件的破壞；因此當(dāng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動振幅超過設(shè)計值時，認(rèn)為此系統(tǒng)不可靠，并以此為依據(jù)進(jìn)行可靠性計算與分析。由于復(fù)合隨機(jī)振動問題中包含結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性載荷的時變隨機(jī)特性，很難精確計算其瞬態(tài)響應(yīng)的可靠性。以往的振動可靠性分析中假設(shè)超越率服從泊松過程或兩態(tài)馬爾科夫過程，由此帶來一定的計算誤差。一些計算采用最大值不超越極限的方法計算可靠度，此方法很難體現(xiàn)系統(tǒng)的時變特性。

隨機(jī)過程的精確表示形式為Karhunen－Loève分解，筆者從隨機(jī)過程的 K－L分解出發(fā)，結(jié)合Gauss－Legendre精細(xì)時程積分方法，將隨機(jī)過程分解為與精細(xì)積分的時間段相同的以Legendre積分節(jié)點為時間點的一系列時域確定性函數(shù)與獨立隨機(jī)變量相組合的形式，計算隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時域響應(yīng)過程。結(jié)合點估計法計算響應(yīng)隨機(jī)過程各時間點的統(tǒng)計矩，從而計算響應(yīng)的動態(tài)可靠度。

1 隨機(jī)過程的K－L分解

當(dāng)一個隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)已知時，通常使用Karhunen－Loève分解將其表示為隨機(jī)變量與確定性時間函數(shù)相組合的形式。設(shè)隨機(jī)過程f（t），其Karhunen－Love分解為

其中：ξj為獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量；f（0）（t）為隨機(jī)過程的均值。

其中：φj和λj由式（3）求得。

在滿足計算精度的前提下，將式（1）進(jìn)行截斷處理，截斷至N項，得到f（t）的近似值為

若將時間節(jié)點tk取為Legendre積分節(jié)點，計算出在各Legendre積分節(jié)點的載荷值，用于基于Legendre積分節(jié)點的精細(xì)時程積分。

2 隨機(jī)振動問題

2.1 復(fù)合隨機(jī)振動問題的統(tǒng)計矩

對于一個n自由度的線性隨機(jī)振動系統(tǒng)，可將系統(tǒng)表示為微分方程組

其中：f（t）為一隨機(jī)過程向量。

由于fi（t）可以分解為一系列確定性時間函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量ξ乘積的和的形式。設(shè)隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)向量為θ，則隨機(jī)響應(yīng)Y可表示為Y（ξ，θ，t），式（5）可寫為

對于線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)Y可以表示為

其中：Y（0）（t）和Y（j）（t）分別為系統(tǒng)在確定性載荷f（0）（t），f（j）（t）和隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)θ下的響應(yīng)，為一系列的隨機(jī)過程。

于是原隨機(jī)振動系統(tǒng)響應(yīng)的求解可以轉(zhuǎn)化為隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在一系列確定性載荷下的隨機(jī)響應(yīng)的隨機(jī)組合。

由于隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)θ與表示隨機(jī)載荷過程的隨機(jī)變量ξ之間為相互獨立的關(guān)系，定義僅考慮結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性，確定時間函數(shù)激勵下的各響應(yīng)分量的第l階原點矩為

考慮隨機(jī)載荷過程的隨機(jī)變量ξ，隨機(jī)響應(yīng)的各階中心矩分別為

經(jīng)過公式推導(dǎo)，將表示隨機(jī)激勵的隨機(jī)變量與隨機(jī)結(jié)構(gòu)變量分離開來。經(jīng)過化簡，只需求出各隨機(jī)響應(yīng)Y（j）（t）的響應(yīng)的各階統(tǒng)計矩，便可求得總體響應(yīng)的各階統(tǒng)計矩，而Y（j）（t）的響應(yīng)的各階統(tǒng)計矩只與結(jié)構(gòu)的隨機(jī)參數(shù)有關(guān)，因此可以利用隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性計算方法進(jìn)行下一步計算。

2.2 Legendre積分節(jié)點精細(xì)時程積分

將隨機(jī)微分方程寫成狀態(tài)函數(shù)形式

在求解狀態(tài)方程時，將時間t離散為間隔Δt的時間點，ti＝iΔt（i＝0，1，2，…），根據(jù)常微分方程理論得到狀態(tài)方程的一般解為

其中：T＝eHΔt，根據(jù)文獻(xiàn)［3］計算。

將K－L分解帶入式（11）右邊第2項，得到

由于f（j）（τ）的Legendre積分節(jié)點的值已知，很容易用Gauss－Legendre積分求得式（11）右邊第2項的值，從而得到微分方程組的解。

2.3 降維－點估計法

對于多結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)系統(tǒng)，每一時刻的v（j）i由隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)向量θ決定，將其進(jìn)行降維分解得到

點估計法是一種較精確且簡便的用于估算響應(yīng)函數(shù)統(tǒng)計矩的方法，具體算法見文獻(xiàn)［15］。將隨機(jī)變量在相應(yīng)抽樣點取值，在每個時間節(jié)點計算響應(yīng)的各階統(tǒng)計矩，求得隨時間變化的統(tǒng)計矩。

3 隨機(jī)振動系統(tǒng)的可靠性

超越破壞問題的極限狀態(tài)方程為

其中：G為門檻值；Y為系統(tǒng)的響應(yīng)變量。

當(dāng)響應(yīng)值超越門檻值時，系統(tǒng)失效，即為超越破壞問題。極限狀態(tài)方程的前4階中心矩如式（13）～（16）所示

其中：E［］為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；σ2［］為隨機(jī)變量的方差；V3［］為隨機(jī)變量的三階中心矩；V4［］為隨機(jī)變量的四階中心矩。

可靠度表示為

其中：F（）為正態(tài)分布隨機(jī)變量的累積概率密度函數(shù)。

求得系統(tǒng)隨時間變化的瞬態(tài)可靠性，可以反映系統(tǒng)在某一時刻超越門檻值的概率，反映了系統(tǒng)的時危險點。在實際的工程應(yīng)用中，動態(tài)系統(tǒng)的可靠度受其之前時刻的影響，整體來說，是一個單調(diào)下降過程，引入平均累積可靠度［16］，可用式（19）求得

其中：R（t）為在時刻t系統(tǒng)的平均可靠度；N為時間離散總樣本點數(shù)；Ri（t）為式（18）求得的系統(tǒng)瞬態(tài)可靠度。

計算隨機(jī)激勵下隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠性問題可以通過以下步驟求得。

1）將隨機(jī)激勵在Gauss－Legendre積分節(jié)點處進(jìn)行Karhunen－Loève分解，得到一系列確定性時間函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量相組合的形式。

2）建立基于降維法點估計的樣本。每一個結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)分別在估計點處取值，此參數(shù)之外的其他參數(shù)在均值處取值，形成一個樣本｛μ1，…，μm－1，θmq，μm＋1，…，μn｝，若結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有n個隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)，并且估計點q為7個，就有7×n個計算樣本。

3）利用精細(xì)積分算法計算每一個樣本在各階確定性時間載荷下的響應(yīng)，并利用點估計法求各階響應(yīng)的統(tǒng)計矩

5）利用式（13）～（18）計算響應(yīng)的動態(tài)可靠度。

6）利用式（19）計算系統(tǒng)累積平均可靠度。

4 數(shù)值算例

4.1 單自由度系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)激勵下的可靠性

對于如圖1所示的單自由度隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其運動微分方程為

其中：m，c，k的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為［100kg，240N·s／m，400N／m］，［5，12，20］；檻值為正態(tài)分布的隨機(jī)變量；激勵F（t）為一平穩(wěn)隨機(jī)激勵，均值為1kN；（t）＝F（t）－E［F（t）］均值為零，具有與F（t）相同自相關(guān)函數(shù)

使用本研究方法對此振動系統(tǒng)進(jìn)行求解，將隨機(jī)載荷進(jìn)行Karhunen－Loève分解，得到各確定性時間函數(shù)的響應(yīng)。圖2列出了當(dāng)j＝80，75，70，65時的確定響應(yīng)，可以看出系統(tǒng)對各階確定性時間函數(shù)的響應(yīng)隨j的增大而增大；因此當(dāng)分解得到的確定性時間函數(shù)較多時，可以忽略較低階的響應(yīng)以簡化運算。

圖1 單自由度振動模型

求得瞬態(tài)可靠度及累積可靠度曲線并與Monte Carlo模擬10 000次的對比如圖3，4所示?？梢姡狙芯糠椒ň哂休^高的計算效率和計算精度。

圖2 j＝80，75，70，65時系統(tǒng)響應(yīng)

圖3 響應(yīng)可靠度隨時間瞬態(tài)變化曲線及與Monte Carlo方法對比

圖4 響應(yīng)可靠度隨時間累積曲線及與Monte Carlo方法對比

4.2 多自由度系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)激勵的動態(tài)可靠性

圖5為簡化的多層剪切結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。考察其在基礎(chǔ)運動激勵狀態(tài)下的動態(tài)響應(yīng)可靠性問題，當(dāng)位移響應(yīng)x1（t），x2（t），x3（t）中最大響應(yīng)超越極限值時，系統(tǒng)不可靠。

結(jié)構(gòu)隨機(jī)參數(shù)向量為［m1，m2，m3，k1，k2，k3，c1，c2，c3］，均服從變異系數(shù)為0.05的正態(tài)分布，均值分別為［200kg，200kg，200kg，6×104N／m，6×104N／m，6×104N／m，1.5×103N·s／m，1.5×103N·s／m，1.5×103N·s／m］。隨機(jī)激勵ag（t）的均值為零，相關(guān)函數(shù)與上例相同，ωg＝5rad／s，ηg＝0.06，S0＝100m2／s3。

通過編程求解結(jié)果與Monte Carlo方法模擬10 000次的結(jié)果對比如圖6～7所示?？梢钥闯觯狙芯糠椒ň哂休^高的計算精度。

圖5 多層剪切結(jié)構(gòu)模型

圖6 響應(yīng)可靠度隨時間瞬態(tài)變化曲線及與Monte Carlo方法的對比

圖7 響應(yīng)可靠度隨時間累積曲線及與Monte Carlo方法對比

5 結(jié)束語

針對隨機(jī)過程激勵下的隨機(jī)結(jié)構(gòu)的動態(tài)可靠度的求解計算過程復(fù)雜、消耗成本較大的問題，提出了將隨機(jī)過程的Karhunen－Love分解與基于Gauss－Legendre積分公式的精細(xì)時程積分相結(jié)合的方法。利用點估計方法，考慮隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)與隨機(jī)載荷相互獨立的關(guān)系，求得總響應(yīng)的統(tǒng)計矩。用可靠性分析的高階標(biāo)準(zhǔn)化方法求得系統(tǒng)的動態(tài)可靠度。系統(tǒng)動態(tài)可靠度的求解不再局限于首次超越的失效問題，而是能夠顯示具體的失效時刻，從而在工程實際中加以避免。具體實例的分析和與Monte Carlo方法的比較表明，本研究方法能有效解決復(fù)合隨機(jī)振動系統(tǒng)的動態(tài)可靠性分析問題。

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