深水高樁承臺(tái)基礎(chǔ)地震動(dòng)水效應(yīng)數(shù)值解析混合算法

魏 凱，袁萬(wàn)城

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

跨越江河、海峽和海灣深水橋梁的規(guī)劃與建設(shè)，給橋梁工程界帶來(lái)巨大的機(jī)遇和挑戰(zhàn).高樁承臺(tái)基礎(chǔ)因其造價(jià)低廉、施工方便在我國(guó)跨江海大跨度橋梁工程中得到了廣泛應(yīng)用.前人通過(guò)對(duì)海洋鉆井平臺(tái)的研究［1］發(fā)現(xiàn)，柱狀結(jié)構(gòu)與水的相互作用會(huì)改變結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)在地震作用下的受力情況.這一現(xiàn)象在深水橋梁高樁承臺(tái)基礎(chǔ)中同樣存在［2］，且因承臺(tái)（如蘇通大橋［3］、東海大橋［4］）整體或多半位于水線(xiàn)以下，更增加了地震動(dòng)水效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響.

Westergaard［5］在1933年首先提出了用“附 加質(zhì)量”的概念求解水平地震作用下在垂直壩面產(chǎn)生的動(dòng)水壓力問(wèn)題.這一方法為地震反應(yīng)中考慮結(jié)構(gòu)與水的相互作用提供了最便捷的手段，至今仍被各國(guó)規(guī)范廣泛采用.Morison［6］針對(duì)與波長(zhǎng)相比尺度較小的細(xì)長(zhǎng)柱體，以表面光滑的剛性圓柱體為模型，推導(dǎo)出了經(jīng)典的波浪力解析公式Morison方程.基于這一思想，文獻(xiàn)［7－9］對(duì)橋墩—水耦合系統(tǒng)的地震響應(yīng)進(jìn)行了大量卓有成效的研究，得出了很多有意義的結(jié)論及求解方法，但上述成果多為研究單一懸臂柱體側(cè)壁與水體的相互作用問(wèn)題.而深水群樁基礎(chǔ)包含群樁和承臺(tái)，群樁之間的相互耦合效應(yīng)不可忽略，且承臺(tái)作為懸浮柱體，其流固耦合邊界復(fù)雜，簡(jiǎn)單套用前述方法也會(huì)造成較大誤差.文獻(xiàn)［10］基于Morison方程提出了針對(duì)圓柱體承臺(tái)的動(dòng)水力簡(jiǎn)便分析方法，并結(jié)合振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；文獻(xiàn)［6，11］在動(dòng)水效應(yīng)計(jì)算中引入水中懸浮圓柱體橫蕩時(shí)的輻射、散射效應(yīng)解析式［12］，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行形狀修正，對(duì)矩形承臺(tái)的地震動(dòng)水問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值分析.近年來(lái)，基于有限元、邊界元理論的一系列結(jié)構(gòu)—水相互作用數(shù)值研究方法［13］，為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的流固耦合動(dòng)力問(wèn)題求解提供了有效手段，特別是基于勢(shì)流體理論的流固耦合分析方法的提出，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高樁承臺(tái)基礎(chǔ)—水耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的精確數(shù)值分析［2］，但是面對(duì)擁有數(shù)十根樁的巨型群樁基礎(chǔ)，三維實(shí)體建模及網(wǎng)格劃分將十分困難，難以在全橋分析中實(shí)現(xiàn).

鑒于研究對(duì)象的復(fù)雜性及解析、數(shù)值方法各自的優(yōu)勢(shì)，本文首先提出了深水高樁承臺(tái)簡(jiǎn)化分析模型，基于此模型分別對(duì)圓柱體樁—水耦合及承臺(tái)—水耦合系統(tǒng)的動(dòng)水效應(yīng)計(jì)算進(jìn)行了研究.最后，通過(guò)對(duì)比本文方法與高樁承臺(tái)模型水池試驗(yàn)、有限元、解析方法的模態(tài)、時(shí)程分析結(jié)果，對(duì)算法的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 高樁承臺(tái)簡(jiǎn)化分析模型

考慮到深水高樁承臺(tái)基礎(chǔ)與水體耦合動(dòng)力分析的復(fù)雜性，確定一個(gè)合理高效的有限元計(jì)算模型對(duì)考慮動(dòng)水效應(yīng)的地震分析非常重要.通過(guò)對(duì)本文第2節(jié)四樁試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒔Y(jié)構(gòu)全實(shí)體單元、全梁?jiǎn)卧ǔ信_(tái)簡(jiǎn)化為質(zhì)心處質(zhì)點(diǎn)）及圖1所示實(shí)體、梁?jiǎn)卧旌嫌邢拊Ｐ?，并將三種模型無(wú)水模態(tài)分析結(jié)果列于表1.圖中，Hw為水深，Hp為樁高，Hc為承臺(tái)厚度，ρc、ρp 分別為承臺(tái)、樁基材料密度為承臺(tái)、樁基動(dòng)水附加質(zhì)量密度.

圖1模型與全實(shí)體模型精度相當(dāng)，同時(shí)減少了運(yùn)算規(guī)模.雖然樁基簡(jiǎn)化增大了承臺(tái)—水豎向相互作用的面積，但考慮基礎(chǔ)豎向振型對(duì)橋梁地震響應(yīng)的貢獻(xiàn)較小，因此這種簡(jiǎn)化是可接受的.考慮到動(dòng)水附加阻尼項(xiàng)對(duì)于群樁基礎(chǔ)影響較小［7］，本文未計(jì)入其影響.當(dāng)假設(shè)水體為無(wú)黏、無(wú)旋、邊界小變形及無(wú)限水體，且忽略承臺(tái)與樁身動(dòng)水效應(yīng)間的影響，求解深水高樁承臺(tái)基礎(chǔ)地震作用下的動(dòng)水效應(yīng)即為分別確定考慮動(dòng)水附加質(zhì)量后水下樁基及承臺(tái)的密度變化問(wèn)題.

圖1 深水高樁承臺(tái)簡(jiǎn)化分析模型Fig.1 Simplified finite element model of elevated pile group foundation in deep water

表1 不同有限元模型模態(tài)分析結(jié)果Tab.1 Modal results of different finite element models

2 結(jié)構(gòu)動(dòng)水效應(yīng)混合求解方法

2.1 樁身動(dòng)水附加質(zhì)量解析求解

橋梁樁基多為圓柱體，相比有限元分析中復(fù)雜的網(wǎng)格劃分過(guò)程，解析方法更加簡(jiǎn)單實(shí)用.當(dāng)進(jìn)行地震作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)水效應(yīng)分析時(shí)，假設(shè)水體靜止、柱體對(duì)波浪運(yùn)動(dòng)無(wú)顯著影響，此時(shí)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率即為波浪的入射頻率，該波浪在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的效應(yīng)即被認(rèn)為是由地震產(chǎn)生的動(dòng)水效應(yīng).根據(jù)Morison 方程［6］，對(duì)直徑為D的圓柱單樁，作用在樁身距水底高度為z處的動(dòng)水附加質(zhì)量為

式中：ρw 為水體密度；D為樁經(jīng)；Ca為附加質(zhì)量系數(shù).Morison方程中，一般取為1.但是，對(duì)大跨橋梁的高樁承臺(tái)基礎(chǔ)來(lái)說(shuō)，某些時(shí)候其樁徑可達(dá)2.5 m以上［3］，這就帶來(lái)了大尺度圓柱體的附加質(zhì)量求解問(wèn)題.Chopra等［14］基于波浪方程精確推導(dǎo)了水中圓柱體的動(dòng)力方程，樁身動(dòng)水附加質(zhì)量精確解為

式中：Hw為水深，當(dāng)大于樁高Hp時(shí)，取Hw＝Hp；為第二類(lèi)n階修正貝

因此，本文給出了基于水下樁基尺度的動(dòng)水附加質(zhì)量計(jì)算方法，同時(shí)為根據(jù)我國(guó)的《海港水文規(guī)范》（JTJ213—1998），計(jì)入群樁效應(yīng)的影響，為便于有限元分析，用附加密度表達(dá)

表2 水下樁－階頻率隨樁基尺度變化情況Tab.2 The 1st frequencies as a function of the dimension of the immersed pile

當(dāng)D／Hw≤0.1時(shí)，將式（1）代入式（3），當(dāng)D／Hw＞0.1時(shí)，將式（2）代入式（3）.

式中，Kg為群樁系數(shù)，同樁列方向還有相鄰樁的間距S與樁徑D之比值有關(guān)，其取值見(jiàn)表3.

表3 群樁系數(shù)KgTab.3 Coefficient Kgfor pile group effect

圖2 樁身附加質(zhì)量系數(shù)Ca 與樁基尺度D／Hw 的關(guān)系Fig.2 Relationship between Caand D／Hw

2.2 承臺(tái)動(dòng)水附加質(zhì)量數(shù)值求解

根據(jù)文獻(xiàn)［11－12］知，承臺(tái)的動(dòng)水附加質(zhì)量不僅與承臺(tái)迎水面積、水深有關(guān)，還與承臺(tái)振動(dòng)周期相關(guān).因此若想準(zhǔn)確計(jì)算動(dòng)水附加質(zhì)量，需滿(mǎn)足以下條件：①合理的流體動(dòng)力學(xué)表達(dá)；②符合真實(shí)承臺(tái)外形尺寸；③擁有相同的無(wú)水振動(dòng)周期.根據(jù)上述需求，結(jié)合勢(shì)流體單元在解決復(fù)雜流固耦合系統(tǒng)動(dòng)力問(wèn)題上的強(qiáng)大功能［2］，本文提出采用圖3 所示三維承臺(tái)—水耦合模型對(duì)承臺(tái)動(dòng)水附加質(zhì)量進(jìn)行計(jì)算，圖中B為水體寬度，mb為虛擬梁密度；承臺(tái)完全依照真實(shí)承臺(tái)進(jìn)行三維實(shí)體建模，避免了承臺(tái)邊界條件簡(jiǎn)化對(duì)結(jié)果造成的誤差；下部結(jié)構(gòu)采用與樁同長(zhǎng)虛擬梁?jiǎn)卧?，通過(guò)合理設(shè)置虛擬梁的剛度，能實(shí)現(xiàn)對(duì)承臺(tái)振動(dòng)特性的模擬.水體采用勢(shì)流體單元建模，通過(guò)在承臺(tái)與水體間設(shè)置流固耦合接觸，實(shí)現(xiàn)對(duì)該耦合系統(tǒng)的模態(tài)分析，在避開(kāi)復(fù)雜數(shù)學(xué)解析計(jì)算的同時(shí)，計(jì)算該模態(tài)下承臺(tái)的動(dòng)水附加質(zhì)量.對(duì)于水體寬度B，本文建議按文獻(xiàn)［13］取大于等于2倍水深以近似模擬無(wú)限水體.

圖3 承臺(tái)動(dòng)水附加質(zhì)量求解模型Fig.3 Analysis model for the added mass of the cap

（1）圖3簡(jiǎn)化模型參數(shù)確定

為使圖3無(wú)水模型具有與原高樁承臺(tái)基礎(chǔ)有相同的無(wú)水振動(dòng)周期Tn，需要首先確定虛擬梁剛度.鑒于虛擬梁與上部剛性承臺(tái)的運(yùn)動(dòng)會(huì)在虛擬梁頂同時(shí)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角和位移，二者同時(shí)具有彈性、慣性耦合的特性，試圖將其簡(jiǎn)化為單自由度體系進(jìn)行分析是行不通的，因此虛擬梁剛度按如下步驟確定：

當(dāng)虛擬梁密度為0時(shí)，無(wú)水模型自振周期可以寫(xiě)為

式中：Tn為第n階 周 期；an為 第n階 振 型 系 數(shù)；Mc為承臺(tái)總質(zhì)量；E為虛擬梁剛度；I為虛擬梁截面慣矩（對(duì)于三維梁?jiǎn)卧箯潙T矩Ixx，Iyy及抗扭慣矩Ixy三項(xiàng)）.假設(shè)虛擬梁截面的初始截面慣矩為1，可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到其無(wú)水狀態(tài)下不同陣型的自振周期T′n.根據(jù)式（4），當(dāng)簡(jiǎn)化模型在無(wú)水情況下目標(biāo)自振周期為T(mén)n時(shí)，虛擬梁截面慣矩I為

將所得截面慣矩定義在下一步有水模型的虛擬梁上，完成模型確定.

（2）動(dòng)水附加質(zhì)量數(shù)值計(jì)算

將承臺(tái)有水狀態(tài)下第n階振型的自振周期記為T(mén)nw.圍繞上述模型建立水體，通過(guò)對(duì)有水模型進(jìn)行模態(tài)分析，可得到承臺(tái)簡(jiǎn)化模型有水狀態(tài)下各振型的自振周期Tnw，此時(shí)，承臺(tái)的實(shí)際質(zhì)量為Mc＋Ma.根據(jù)文獻(xiàn)［7］的試驗(yàn)驗(yàn)證，水中與空氣中結(jié)構(gòu)一階陣型基本保持不變，即近似認(rèn)為振型系數(shù)an在空氣中及水中保持不變，故有從而，可得承臺(tái)水面以下部分的（承臺(tái)水下部分體積為V′c）附加密度

以上即為利用本算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)—水體耦合系統(tǒng)模態(tài)分析的基本流程.當(dāng)進(jìn)行考慮承臺(tái)動(dòng)水效應(yīng)的地震時(shí)程反應(yīng)分析時(shí)，可按以下步驟計(jì)算：①首先對(duì)無(wú)水結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析；②取承臺(tái)迎水面中點(diǎn)的加速度時(shí)程進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)頻域分析結(jié)果確定承臺(tái)在該地震波下的峰值周期；③以此作為簡(jiǎn)化模型的目標(biāo)自振周期，按照式（4）—（7）求得此時(shí)的承臺(tái)動(dòng)水附加質(zhì)量；④根據(jù)附加密度，修正結(jié)構(gòu)模型，重新進(jìn)行時(shí)程分析即得到結(jié)構(gòu)在考慮動(dòng)水效應(yīng)時(shí)的地震響應(yīng).

3 方法驗(yàn)證

3.1 水池試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法的正確性，作者在一座3m ×3m×2.5m（長(zhǎng)、寬、高）磚混水池中對(duì)如圖4所示高樁承臺(tái)模型進(jìn)行了水深為0.30、0.75、1.15、1.55、1.75、1.90和2.05m 時(shí)的模態(tài)試驗(yàn).模型由4根鋼管樁、混凝土承臺(tái)（為便于焊接，外圍及下側(cè)采用1 cm 厚鋼板）以及鋼筋混凝土橋墩三部分組成，結(jié)構(gòu)尺寸詳見(jiàn)圖4.混凝土密度為2 300kg·m－3，彈性模量為22GPa；鋼材密度為7 830kg·m－3，彈性模量為210GPa；水體密度為1 000kg·m－3，壓縮模量為2.07GPa.為測(cè)得結(jié)構(gòu)沿圖4a所示x、y向一階側(cè)彎及一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，分別在模型x、y面布置6（共計(jì)12）處加速度傳感器，分別位于樁身1／2、3／4處，承臺(tái)中央、邊沿處，墩頂及其中央位置.水下拾振采取普通傳感器外包硅膠防水套實(shí)現(xiàn).使用單點(diǎn)激勵(lì)，多點(diǎn)拾振，基于數(shù)據(jù)采集和信號(hào)處理（DASP）系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)采集與分析，采樣頻率400Hz，采樣時(shí)間20s.

圖4 四樁高樁承臺(tái)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停▎挝唬簃）Fig.4 4－pile specimen of elevated pile group foundation（unit：m）

3.2 模態(tài)結(jié)果對(duì)比分析

建立圖5a所示簡(jiǎn)化分析模型，根據(jù)本文算法，計(jì)算了不同水深情況下結(jié)構(gòu)的x向側(cè)彎、y向側(cè)彎、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)周期.因?yàn)槟Ｐ蜆痘叽纾琒／D＝5＞4，群樁系數(shù)取1；當(dāng)水深為0.30m，水下樁基尺度為0.2，樁基附加質(zhì)量用式（2）計(jì)算，此時(shí)，需要細(xì)化梁?jiǎn)卧?，根?jù)各單元中點(diǎn)處的附加密度分別進(jìn)行模型定義；對(duì)其他水深則用式（1）計(jì)算.作為驗(yàn)證，利用ADINA軟件建立了試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮诓煌钕碌膭?shì)流體單元完全數(shù)值模型（圖5b）并進(jìn)行頻率分析；基于文獻(xiàn)［11］方法建立圖5c所示簡(jiǎn)化模型得到了模型x、y向側(cè)彎頻率.為消除各方法無(wú)水模態(tài)的誤差，使用結(jié)構(gòu)考慮水體的周期T水與無(wú)水周期T無(wú)水的比值表征周期隨水深的變化情況，并將試驗(yàn)、本文方法、完全數(shù)值方法和文獻(xiàn)［11］方法得到的結(jié)構(gòu)x向一階側(cè)彎、y向一階側(cè)彎、扭轉(zhuǎn)振型的結(jié)果繪于圖6.

圖5 四樁高樁承臺(tái)試驗(yàn)數(shù)值分析模型Fig.5 Numerical models for the 4－pile specimen

圖6 模型周期比T水／T無(wú)水隨水深變化情況Fig.6 The periods of the model as a function of the water levels

由圖6知，結(jié)構(gòu)各階周期隨水深增大而增加，且承臺(tái)與水體相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)周期的變化貢獻(xiàn)最大.本文方法與試驗(yàn)及完全數(shù)值解在三階振型的周期變化上完全吻合，計(jì)算精度較高，這也說(shuō)明第1節(jié)提出的高樁承臺(tái)基礎(chǔ)簡(jiǎn)化模型及其假設(shè)是合理可靠的.而文獻(xiàn)［11］方法在承臺(tái)—水體耦合作用的計(jì)算上與試驗(yàn)值出入較大，僅僅基于輻射和散射計(jì)算承臺(tái)附加質(zhì)量低估了水體對(duì)承臺(tái)的影響.

3.3 時(shí)程分析結(jié)果比較

以水深為1.90m 時(shí)的四樁試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閷?duì)象，沿y向輸入Elcentro波，峰值加速度0.26g（g為重力加速度），利用圖5a簡(jiǎn)化模型與圖5b完全數(shù)值模型分別進(jìn)行地震反應(yīng)時(shí)程分析，兩模型均采用5%的瑞利阻尼.圖7所示為兩方法得到的墩頂及承臺(tái)中心位移及加速度時(shí)程曲線(xiàn).通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文算法與完全數(shù)值模型計(jì)算得到的位移、加速度結(jié)果吻合良好，方法在時(shí)程分析中同樣具有較高精度.此外在計(jì)算效率方面，使用一臺(tái)配置四核2.5GHz處理器、8 G 內(nèi)存的計(jì)算機(jī)，基于完全數(shù)值模型進(jìn)行時(shí)程計(jì)算約耗時(shí)1 820s，而本文算法基于同樣網(wǎng)格劃分的簡(jiǎn)化模型從首次時(shí)程分析求解附加質(zhì)量到得到二次時(shí)程分析得到結(jié)果，僅耗時(shí)830s，在相同精度的情況下，計(jì)算效率提高一倍還多.且隨著分析模型的單元增多，性能提升越明顯.

圖7 時(shí)程分析結(jié)果比較Fig.7 Comparison of the time－h(huán)istory results

4 結(jié)論

本文在提出深水群樁基礎(chǔ)考慮動(dòng)水效應(yīng)時(shí)的簡(jiǎn)化地震分析模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合解析及有限元數(shù)值方法各自的優(yōu)勢(shì)，給出了深水高樁承臺(tái)基礎(chǔ)地震動(dòng)水效應(yīng)數(shù)值解析混合算法.算法即考慮了樁基尺度、承臺(tái)真實(shí)幾何尺寸，又兼顧了結(jié)構(gòu)振動(dòng)對(duì)地震動(dòng)水效應(yīng)的影響.通過(guò)利用本文方法對(duì)四樁試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行模態(tài)及時(shí)程分析，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)及其他數(shù)值、解析結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，算法很好地消除了傳統(tǒng)高樁承臺(tái)基礎(chǔ)動(dòng)水解析方法［11］的誤差，同時(shí)，大大縮減了有限元數(shù)值方法的工作量，從而能夠高效精準(zhǔn)地對(duì)地震作用下深水橋梁高樁承臺(tái)—水耦合系統(tǒng)的動(dòng)水效應(yīng)進(jìn)行計(jì)算.此外，該算法可以方便地與基于梁?jiǎn)卧臉蛄嚎拐鸱治龇椒ㄏ嘟Y(jié)合，既能考慮復(fù)雜的上部結(jié)構(gòu)，又能計(jì)入樁土相互作用的影響，從而可以對(duì)深水橋梁全橋的多相耦合地震響應(yīng)進(jìn)行快速而準(zhǔn)確的分析.考慮到由于目前水下地震模擬振動(dòng)臺(tái)的試驗(yàn)結(jié)果非常匱乏，本文研究成果對(duì)于理解橋梁深水高樁承臺(tái)基礎(chǔ)的地震響應(yīng)及其抗震設(shè)計(jì)都具有較大參考及應(yīng)用價(jià)值.

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