用光線追跡方法仿真菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)

董 鍵，崔秀芝

（曲阜師范大學(xué) 物理工程學(xué)院，山東 曲阜273165）

1 引 言

菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)是演示分波面干涉原理的基本實(shí)驗(yàn)之一，是傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目［1-6］.該實(shí)驗(yàn)測量光波波長的精度不高［7］，其原因主要是對(duì)該實(shí)驗(yàn)理論上認(rèn)識(shí)不完善，對(duì)于光線如何在光路內(nèi)傳播，沒有完整的理論公式表達(dá).因?yàn)樵搶?shí)驗(yàn)主要的關(guān)注對(duì)象是干涉現(xiàn)象并用該現(xiàn)象測量波長，因此，基本的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)該是光程和波振幅，本文在研究過程中發(fā)現(xiàn)，尋求光程和波振幅的答案，都可以用光線追跡的方法來解決，在此基礎(chǔ)上筆者提出了一種測量光波波長的方法，用來提高該實(shí)驗(yàn)的精度.

2 菲涅爾雙棱鏡實(shí)驗(yàn)的基本原理

菲涅爾雙棱鏡實(shí)驗(yàn)的基本裝置見圖1，激光器發(fā)出平行光，經(jīng)過擴(kuò)束鏡變成從坐標(biāo)系原點(diǎn)O發(fā)出的發(fā)散光束，透過光闌進(jìn)入菲涅爾雙棱鏡（以下簡稱“棱鏡”，它被x軸平分為上下兩對(duì)稱部分，這兩部分分別簡稱為“上棱鏡”和“下棱鏡”），光線經(jīng)棱鏡折射，到達(dá)測微目鏡的分劃板（光屏），來自上下棱鏡的折射光線在分劃板上疊加，形成干涉條紋，可以在目鏡中觀察，并能測量干涉平面上的有關(guān)長度.圖1為裝置俯視圖，棱鏡的棱脊垂直于紙面，棱鏡底面垂直于x軸，棱脊可以迎著入射光，也可以背著入射光（圖中顯示后者）.在目鏡分劃板上，干涉條紋垂直于紙面，并沿著y方向周期性擴(kuò)展.做好該實(shí)驗(yàn)需要調(diào)節(jié)各個(gè)光學(xué)器件在光具座上共軸、中心等高.

圖1 菲涅爾雙棱鏡實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理［8］，點(diǎn)光源O經(jīng)過棱鏡之后將形成2個(gè)虛像O1和O2（又稱為虛光源），相距為d，虛像面到目鏡分劃板的距離為L，若光波長為λ，干涉條紋的間距為δ，則

式（1）是討論該實(shí)驗(yàn)的基本依據(jù).

3 光線追跡基本原理

對(duì)于由若干界面分割的光學(xué)介質(zhì)系統(tǒng)，2個(gè)界面之間充滿了均勻介質(zhì)，對(duì)這樣的系統(tǒng)，光線追跡的基本依據(jù)是光的折射定律：

根據(jù)該定律，可以由入射光線的方向求出折射光線的方向，方法是將該定律矢量化［9］.令q是光線方向的單位矢量，n是光線所在均勻介質(zhì)的折射率，定義矢量k＝nq，再令相鄰2種介質(zhì)界面的單位法矢量為Ω，則可以證明：

這是光線從介質(zhì)1進(jìn)入介質(zhì)2時(shí)兩者傳播方向之間的關(guān)系.至于界面的法矢量Ω，則可以根據(jù)界面方程f（x，y，z）＝0用下式計(jì)算：

其中，▽f是函數(shù)f的梯度，｜▽f｜是梯度的模.

根據(jù)式（3）和（4），可以計(jì)算任何光線的傳播路徑，并計(jì)算它們?cè)诠馄辽系穆潼c(diǎn)，進(jìn)而依據(jù)下式求出光線的光程φ：

其中l(wèi)j是在介質(zhì)j內(nèi)光線路徑的長度.

另外，根據(jù)光源的性質(zhì)，可以計(jì)算光經(jīng)過介質(zhì)之后在光屏上振幅A（y）的分布（見后），然后根據(jù)相干疊加的公式計(jì)算2束光干涉強(qiáng)度分布I（y）：I（y）＝＋2A1A2cos［2π（φ1-φ2）／λ］，（6）其中光程φ1和φ2也是y的函數(shù).

4 用光線追跡法仿真光線分布

首先計(jì)算從點(diǎn)光源O發(fā)出的光經(jīng)棱鏡折射后的分布，以便為后續(xù)討論奠定基礎(chǔ).

模擬計(jì)算使用軟件Mathematica，計(jì)算中的棱鏡參量如下：折射率n＝1.52，楔角α＝1°，棱鏡厚度L2＝3mm.其他參量是：原點(diǎn)O到棱鏡底面的距離L1＝50mm，棱脊到分劃板的距離L3＝300mm.

圖2是用光線追跡方法計(jì)算出的不同發(fā)散角的光線到達(dá)分劃板的光路情況，從O點(diǎn)以發(fā)散角φ＝0（極限意義）出射的光線經(jīng)折射后在分劃板上被照亮的位置，經(jīng)過上下棱鏡后分別向?qū)Ψ絽^(qū)域偏折（偏折都是從棱鏡的棱脊開始的），因而合成區(qū)域有交疊，形成干涉區(qū)，這個(gè)區(qū)域是可以計(jì)算的；在交疊區(qū)之外，是未交疊區(qū)，不形成干涉.計(jì)算該圖所對(duì)應(yīng)的發(fā)散角φ＝-2°～2°，可見，形成干涉只需要很小的發(fā)散角.

圖2 棱鏡對(duì)光的折射仿真圖

5 光線在分劃板上的光程分布

在光線追跡的基礎(chǔ)上，很容易計(jì)算來自上下棱鏡的光線在分劃板上的光程分布，見圖3（a），其中曲線φ1表示來自上棱鏡的光程分布，曲線φ2表示來自下棱鏡的光程分布.可見，無論來自棱鏡哪一部分的光線，其光程都不是常量，除了在y＝0處2條光線的光程相等，其他處的光程都不相等，因而有了光程差Δφ＝φ1-φ2，光程差的分布見圖3（b），該圖顯示，光程差是線性分布的.光程差的存在，是形成干涉的必要條件.

圖3 來自棱鏡上下部分的光線在分劃板上的光程分布及光程差

6 關(guān)于虛光源

“虛光源”是菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)的重要概念，其含義是：從光源O發(fā)出的光線被上棱鏡折射之后，光線的反向延長線將交于點(diǎn)O1，形成上虛像；光線被下棱鏡折射后形成下虛像O2.這樣從O點(diǎn)發(fā)出的所有光線，就等效于從這2個(gè)虛像發(fā)出，好像棱鏡并不存在［10］.基于該認(rèn)識(shí)，菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)被等效于2個(gè)相干點(diǎn)光源O1和O2所發(fā)出光的干涉，就可以套用楊氏雙光源干涉實(shí)驗(yàn)的計(jì)算公式［式（1）］.

用光線追跡方法計(jì)算被棱鏡所折射光線的反向延長線，見圖4（a），來自上下棱鏡的反向延長線分別匯聚于位置O1和O2，這2個(gè)位置在點(diǎn)光源O的右側(cè)，與y軸相距δL.粗略看，延長線似乎分別相交于一點(diǎn)，但如果把O1附近區(qū)域放大，則如圖4（b）所示，延長線并不相交于一點(diǎn)，而是形成有一定寬度的“細(xì)腰”.因此，嚴(yán)格來講，虛光源O1和O2并非點(diǎn)光源，使用點(diǎn)光源概念來進(jìn)行干涉計(jì)算會(huì)對(duì)式（1）造成一定的誤差.對(duì)“細(xì)腰”的寬度進(jìn)行考察，以判斷其具體粗細(xì).方法是尋找“細(xì)腰”最細(xì)的位置界面，計(jì)算每條延長線與該界面交點(diǎn)的y值并乘以2，作為兩虛光源的間距d，這樣可以得到d的分布曲線，見圖5（a），從該曲線上可大致得出d＝0.943 2～0.943 9mm，“細(xì)腰”的寬度為0.7μm，遠(yuǎn)小于人眼的分辨能力，對(duì)于該實(shí)驗(yàn)的測量精度，可以將O1和O2當(dāng)做點(diǎn)光源來看待.

圖4 虛光源及局部放大圖

因?yàn)椤凹?xì)腰”可以當(dāng)做點(diǎn)光源，所以，通過“細(xì)腰”O(jiān)1和O2的任何2條光線反向延長線之間的距離都可以作為2個(gè)虛光源的間距d.選擇2條水平延長線之間的距離作為d，確定d的具體做法見圖5（b），該圖是經(jīng)過上棱鏡折射光線的斜率k與光線在分劃板上位置y的關(guān)系曲線，是直線，該直線與y軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)k＝0，相應(yīng)的y值乘以2作為d.

圖5 虛光源間距d隨著發(fā)散角φ的分布和確定虛光源間距的方法

關(guān)于虛光源的性質(zhì)，還可以考察其間距d和虛像所在平面的位置δL隨棱鏡位置L1的變化關(guān)系，見圖6，可見兩者的關(guān)系都是線性的.要注意的是，δL隨L1變化很小，可以近似認(rèn)為虛像面的位置是不變的.

圖6 虛光源間距d和虛像面的位置δL隨棱鏡位置L1的變化

7 式（1）的模擬證明

有了圖3光程差的結(jié)果，可以計(jì)算分劃板上干涉光的強(qiáng)度分布，因?yàn)楣獬滩钍蔷€性的，所以光強(qiáng)隨y的分布是周期性的（見后），其周期就是干涉條紋的間距δ.根據(jù)式（1），在光的波長λ已知和虛像面到分劃板的距離L固定的情況下，δ與d成反比，二者的乘積等于λL.模擬計(jì)算λ＝0.6μm和L＋δL＝300mm情況下δ與d的關(guān)系，見圖7，經(jīng)過擬合，證明二者符合反比關(guān)系，比例系數(shù)為0.179 373，容易驗(yàn)證，該數(shù)值非常接近λL，證明式（1）的近似程度很好，也證明虛光源概念的引入是合理的.

圖7 虛光源間距與條紋間距的模擬關(guān)系

8 凸透鏡使虛光源成像

二次成像法要在棱鏡與分劃板之間加1個(gè)凸透鏡，使2個(gè)虛光源成像于分劃板.圖8模擬了該過程，所使用的凸透鏡焦距為64.5mm，左極點(diǎn)與棱鏡的棱脊相距30mm.圖8（a）表明，上下棱鏡的折射光經(jīng)過凸透鏡后匯聚的位置是顛倒的，其位置用箭頭指示；將該位置附近區(qū)域放大，即為圖8（b），它表明光線也并非匯聚成一個(gè)點(diǎn)，而是匯聚成“細(xì)腰”，這在透鏡有球差的情況下是可以預(yù)料的.不過，該圖真正的含義在于：“細(xì)腰”在x方向擴(kuò)展范圍很大，在此范圍內(nèi)，像寬都差不多，因而很難準(zhǔn)確判定像的位置，這正是二次成像法測量光波波長誤差大的原因所在.

圖8 加凸透鏡所成虛光源的像及其局部放大圖

9 測量光波波長的方法

通過光線追跡清楚該實(shí)驗(yàn)的細(xì)節(jié)后，作者提出了測量光波波長的方法，該方法可以提高波長測量的精度，而且不需要知道棱鏡的具體參量.下面是該方法的原理.

根據(jù)虛光源的性質(zhì)，可以得到

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，式（7）中右邊的長度量很難測定，直接測量會(huì)引起L較大的誤差，尤其是在使用激光光源的情況下，O點(diǎn)的位置難以確定.把式（1）和（7）結(jié)合起來，得到

虛光源的間距d只與L1有關(guān)，在固定L1的情況下，改變L3，就可以測量出不同的δ，從而構(gòu)成δ-L3的線性關(guān)系，通過擬合得到系數(shù)b，

這樣得到的b具有L3的測量精度，因?yàn)楣饩咦系暮撩卓潭瘸呖梢詼y量出4位有效數(shù)字.雖然L3并不能代表分劃板的位置，但因?yàn)榭梢园堰@一固定的偏差歸于截距a中，所以測量精度得以保證.于是對(duì)應(yīng)某個(gè)L1的距離L就以較高的精度被計(jì)算出來，

為了測量2個(gè)虛光源的間距d，需要測量分劃板上干涉區(qū)的y向?qū)挾葁，這在使用激光光源的情況下可以得到較高的精度.因?yàn)榉抡嫜芯勘砻鳎缮鏃l紋的間距δ與L1有關(guān)，L1越大，δ越小，二者是反比關(guān)系.因此，實(shí)驗(yàn)時(shí)取較大的L1，讓?duì)谋M可能地小，干涉條紋盡可能地細(xì)，這樣，干涉區(qū)內(nèi)就容納了足夠多的條紋，其邊界比較容易確定.在此條件下，可以測量光線經(jīng)過棱鏡的最大偏折角tanβ，原理見圖9.圖中，保持光屏位置不變，棱脊的位置為x1，相應(yīng)干涉區(qū)寬度為w1；移動(dòng)棱鏡，使棱脊的位置變?yōu)閤2，干涉區(qū)寬度相應(yīng)變?yōu)閣2，則有如下關(guān)系：

雖然棱脊的絕對(duì)位置很難測定，但位置的差值x2-x1卻具有光具座刻度尺的測量精度，而w2-w1具有測微目鏡的測量精度，所以tanβ的測量精度得到提高，

圖9 測量光線最大偏折角tanβ

在測量了tanβ之后，根據(jù)如下關(guān)系計(jì)算虛光源的間距d，

于是，光波的波長為

為了充分利用分劃板的有效寬度（通常為8mm），適當(dāng)?shù)卣{(diào)整L3，使干涉區(qū)寬度接近有效寬度.

10 關(guān)于折射光在分劃板上的振幅分布

根據(jù)式（6），要計(jì)算干涉光強(qiáng)，就需要知道來自2條光線的振幅A1（y）和A2（y），這在光源性質(zhì)已知的情況下是可以計(jì)算出來的.假定激光器輸出的光束橫截面上光強(qiáng)分布均勻，則通過光線追跡可以證明兩點(diǎn)（證明過程從略）：

1）激光經(jīng)過球面擴(kuò)束鏡之后光能是各向同性發(fā)散的；

2）經(jīng)過棱鏡之后光線在分劃板上的位置y與光線的發(fā)散角φ成線性關(guān)系.

這2點(diǎn)結(jié)合起來，就得到如下結(jié)論：

在忽略光線與分劃板之間的夾角與直角有微小偏離的條件下，折射光的振幅和強(qiáng)度都是均勻分布的，即A1（y）＝A2（y）＝A0.于是，

相位差Δφ的分布見圖3（b），它是線性分布的，因而強(qiáng)度I（y）在分劃板上是周期性分布的，相鄰2條亮紋之間的間距δ相同.

11 結(jié)束語

菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴霉饩€追跡方法進(jìn)行全面仿真，由此可以深入全面地了解該實(shí)驗(yàn)的細(xì)節(jié)，結(jié)論直觀可靠，并在此基礎(chǔ)上提出了光波波長測量的方法，提高了測量精度，而且不需要知道棱鏡的具體參量（例如折射率、楔角和厚度），對(duì)做好該實(shí)驗(yàn)很有啟發(fā)性.

［1］金重.費(fèi)涅耳雙棱鏡實(shí)驗(yàn)精度的提高［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)，1981（1）：89-90.

［2］秦庚生，侯永忠.菲涅爾雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)［J］.物理實(shí)驗(yàn)，1987，17（2）：67-69.

［3］張國英，徐克耀.用雙棱鏡“等位移法”測光波波長［J］.首都師大學(xué)報(bào)，1997，18（1）：45-48.

［4］周亞俊，王秦鏡，馬秀芳，等.關(guān)于“雙棱鏡必須均勻照亮”的深入探討［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2003，23（7）：46-48.

［5］廖立新，劉生長，米賢武.用雙棱鏡測激光波長的簡單方法［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2007，27（7）：34-35.

［6］葛松華，唐亞明.菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中距離參數(shù)的研究［J］.大學(xué)物理，2010，29（4）：43-45.

［7］王明吉，張利巍，王曉莉.雙棱鏡干涉4種實(shí)驗(yàn)方法的研究與探討［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2008，28（4）：25-27.

［8］周殿清.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社 ，2005：260-265.

［9］張以謨.應(yīng)用光學(xué)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1982：6-7.

［10］袁成衛(wèi)，劉廷賢，張海新.費(fèi)涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中的“虛光源”［J］.物理實(shí)驗(yàn)，1999，19（3）：48-49.