邁克耳孫干涉實驗條紋計數方法的改進

黃 麗，方光宇，宋云飛，辛 麗，趙海發(fā)

（哈爾濱工業(yè)大學 物理系，黑龍江 哈爾濱150001）

1 引 言

邁克耳孫干涉實驗是大學物理實驗中一個重要的教學題目［1］.在該實驗的教學過程中，學生不但可以對非定域干涉有進一步的理解和掌握，而且可以對等厚和等傾干涉現象分別進行觀測研究.通過對非定域干涉條紋移動情況（“縮進”或者“冒出”）進行實驗測量，可以對激光波長、介質折射率等物理參量進行精確標定［2-6］.在目前的邁克耳孫干涉實驗教學中，普遍采用玻璃屏接收干涉條紋，通過目測干涉條紋中心光斑亮度的變化情況來測量干涉條紋的變化數目.當干涉圓環(huán)中心由1個亮斑剛好變化到下1個光強相同的亮斑，即認為邁克耳孫干涉條紋剛好變化了1個級次.學生在實驗過程中，經常會因為缺乏實驗經驗或者視覺疲勞而出現計數錯誤，給實驗測量帶來誤差.為此，實驗教學中往往需要學生進行大量（對幾十級至幾百級干涉條紋的變化級次進行計數）重復性的測量.大量的重復性測量降低了學生們對“精準的”邁克耳孫干涉實驗的學習興趣和求知欲望.

近年來，人們一直在試圖利用光電傳感器和模-數信號轉換、采集及濾波技術來精確記錄邁克耳孫干涉條紋的快速變化過程［7-10］.本文提出了可以精確測量邁克耳孫干涉條紋變化數目的實驗方法，即采用與示波器連接的快速響應光電二極管來測量并記錄邁克耳孫干涉條紋的快速變化過程.利用這種方法，測量研究空氣折射率，結果表明這種方法可以使得干涉條紋變化數目的實驗測量精度達到0.1級條紋.實踐證明，這種方法不但可以很好地消除邁克耳孫干涉條紋人工計數中存在的誤差，而且普遍適用于目前的大學物理實驗課堂教學.

2 實驗裝置及原理

圖1 邁克耳孫干涉法測量空氣折射率的實驗裝置及光路示意圖

如圖1所示，實驗采用雙光束分振幅邁克耳孫干涉光路.He-Ne激光器的輸出光經過短焦透鏡L1（焦距為5cm）和長焦透鏡L2（焦距為175cm）擴束后，被分光板S的后表面分為透射光和反射光2部分.在透射光路中，放置用于補償光程的補償板C；在反射光路中，放置一長度為8cm的空氣室.空氣室中空氣的壓強在大氣壓的基礎上可以從0連續(xù)增加到4.0×104Pa，具體的壓強差值可以從空氣室連接的壓強表頭讀出.反射光和透射光分別經平面反射鏡R1和R2反射后，再經分光板S合并.精調光路，使得2束光在空間上重合，并得到清晰且適合于實驗測量的干涉圓環(huán)，然后將光電二極管（型號：PDA36AEC；生產公司：Thorlab，USA）放置在干涉圓環(huán)的中心，并用同軸電纜將光電二極管連接到可存儲數字示波器.

實驗過程中，首先將空氣室中空氣的壓強增加Δp（取值范圍為1.3×104～4.0×104Pa），然后將放氣針孔稍微打開，讓空氣室內壓強緩慢降低至大氣壓.在此過程中，干涉圓環(huán)隨著空氣室內壓強的下降而逐漸向內“縮進”或者向外“涌出”直至穩(wěn)定不變.相應地，干涉圓環(huán)中心位置處的光電二極管感應該位置光強的變化，示波器實時地記錄并顯示光電二極管轉換輸出電壓大小隨時間變化的曲線.由此，測量得到干涉條紋總的變化數目m，則Δp所引起的空氣折射率改變量Δn可以寫作［11］：

進而，在壓強Δp不太大的情況下，常溫常壓狀態(tài)下空氣的折射率為［9］：

在（1）～（2）式中，l為空氣室長度，λ為 He-Ne激光器輸出激光波長，pamb為大氣壓.

3 實驗研究結果和分析

空氣壓強 Δp 分別從1.9×104，2.5×104，3.2×104，3.9×104Pa緩慢恢復至大氣壓狀態(tài)的過程中，實驗測量得到的干涉條紋中心位置處光強隨時間的變化過程如圖2所示，圖2中縱軸代表干涉圓環(huán)中心處光電二極管轉換輸出的電壓.從圖2可以看出，干涉條紋數目的變化量隨著空氣壓強的減小而減少；對于某一空氣壓強Δp，干涉條紋數目變化速度隨著壓強降低而逐漸降低，且干涉條紋中心光強相應轉換電壓的變化規(guī)律可以用三角函數表示：

其中，ˉU為輸出電壓平均值，則輸出電壓最大值、最小值可分別寫作Umax＝ˉU＋UA，Umin＝ˉU-UA；ΔL為光程差的改變量，對應的條紋變化數目記作m，則ΔL＝mλ；φ0為初始相位.目測干涉條紋變化數目時，通常將干涉條紋中心調節(jié)成“亮斑”（初始相位為零）.本實驗中，同樣也將目測的“中心亮斑”作為初始狀態(tài).從圖2可以看出，目測“亮斑”對應光強的轉換輸出電壓并不一定是輸出電壓的最大值.可見，用目測光斑亮度變化來進行干涉條紋計數確實存在一定的誤差.

圖2 空氣從不同壓強Δp恢復到大氣壓狀態(tài)過程中，干涉條紋中心光強變化曲線

以圖2（d）所示的邁克耳孫干涉條紋中心光強變化曲線為例，利用（3）式計算得到干涉條紋變化的總數目m：

其中，m0為初始時刻輸出電壓U0與相鄰輸出電壓平均值A點之間的干涉條紋變化數目；mAB為輸出電壓平均值A點和B點之間的干涉條紋變化數目，其值為正整數或者半正整數；mt為終止時刻（氣壓平衡狀態(tài)）輸出電壓Ut與相鄰輸出電壓平均值B點之間的干涉條紋變化數目.m0和mt可以分別利用下面2個公式計算得到：

將實驗測量得到的m及相應的空氣壓強值Δp分別代入式（2），可以計算得出空氣折射率.其中，He-Ne激光輸出波長λ取值632.8nm，大氣壓pamb取值1.013×105Pa，空氣室長度l取值8.00×10-2m.表1列出了在不同空氣壓強情況下，本文方法和目測方法分別測量得到的干涉條紋變化總數m，m′及計算得到的空氣折射率n，n′.常溫常壓狀態(tài)下，對于可見光波長范圍的光，由經驗公式計算得到的空氣折射率的標準值為n0≈1.000 27［12］.

表1 實驗測量得到的空氣壓強、干涉條紋變化總數及空氣折射率

在空氣折射率的計算公式（2）中，如果把激光波長λ、大氣壓pamb和空氣室長度l均看作常量，那么空氣折射率的測量誤差就來源于干涉條紋變化總數m和空氣壓強Δp的測量.從表1中列出的數據可以看出，本文根據光強變化曲線確定相位變化情況，進而測量得到干涉條紋變化總數的方法可以使條紋計數精度達到0.1級條紋.根據式（1），對于某一確定的空氣壓強（如 Δp＝2.5×104Pa），由此引起的測量誤差可以表示為：

由于初始時刻與終止時刻干涉條紋中心處所對應的光強變化在目測情況下是難以分辨的，所以目測干涉條紋變化總數的精度通常為0.5級條紋.為了便于比較，仍以Δp＝2.5×104Pa為例，相應的測量誤差則為

從（7）式的計算結果可以看出，同傳統(tǒng)的目測方法相比，本文提出的測量方法可以將干涉條紋變化總數的測量精度提高1個數量級.需要指出的是，本實驗研究中空氣壓強Δp采用普通的指針式氣壓計測量得到，其最小分度值為5.3×102Pa，相應的儀器誤差Δ儀＝3.1×102Pa.此外，放氣過程中空氣室兩端玻璃片的微小形變會造成空氣室長度l的變化，也會給研究結果帶來一定的誤差.

4 結束語

本文采用與數字存儲示波器相連接的快速響應光電二極管作為探測器，測量邁克耳孫干涉圓環(huán)中心條紋變化數目.根據示波器記錄的光電二極管轉換電壓隨時間變化曲線，可以得到相位變化情況并精確測量得到空氣壓強變化過程所造成的干涉條紋數目變化量，進而精確確定空氣的折射率.本測量方法所需主要實驗儀器均為實驗室通用儀器設備，因而普遍適用于大學物理實驗的實際教學.更為重要的是，這種方法將學生從“繁瑣”且“粗糙”的目測干涉條紋變化數目中解放出來，有助于學生對邁克耳孫干涉物理思想和精密測量方法的研究性學習，從而更好地激發(fā)學生對物理實驗的學習興趣和創(chuàng)新意識.

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