基于最小均方誤差的認(rèn)知雷達(dá)估計(jì)波形設(shè)計(jì)方法

曹 磊，張劍云，王小平，張 鑫

（解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037）

0 引言

認(rèn)知雷達(dá)（Cognitive Radar，CR）［1］是針對(duì)復(fù)雜電磁環(huán)境下目標(biāo)探測提出來的一種新體制雷達(dá)，它與傳統(tǒng)雷達(dá)的不同主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1）雷達(dá)通過不斷地與環(huán)境的交互來實(shí)現(xiàn)對(duì)環(huán)境的學(xué)習(xí)并獲取環(huán)境的相關(guān)知識(shí)以及目標(biāo)的特性；2）發(fā)射機(jī)根據(jù)反饋信息和先驗(yàn)知識(shí)智能調(diào)整照射方式，以實(shí)現(xiàn)對(duì)環(huán)境可靠、有效和穩(wěn)健地探測；3）雷達(dá)所處環(huán)境、發(fā)射機(jī)以及接收機(jī)三者組成一個(gè)動(dòng)態(tài)、閉環(huán)反饋的雷達(dá)系統(tǒng)。因此，用一句話總結(jié)認(rèn)知雷達(dá)的本質(zhì)：通過與環(huán)境不斷的交互而理解環(huán)境并適應(yīng)環(huán)境的閉環(huán)雷達(dá)系統(tǒng)。

目前，關(guān)于認(rèn)知雷達(dá)的研究主要集中在最優(yōu)發(fā)射波形設(shè)計(jì)方面。大部分是針對(duì)目標(biāo)為確定信道，且假設(shè)雷達(dá)已經(jīng)獲得了準(zhǔn)確的目標(biāo)沖激響應(yīng)，進(jìn)而根據(jù)特定的某種準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出最優(yōu)檢測［2－3］、識(shí)別［4－5］、跟蹤［6］等波形。但許多目標(biāo)的散射特性可能是隨機(jī)分布的，且雷達(dá)剛開機(jī)時(shí)，往往并不具備目標(biāo)的相關(guān)信息。由此可見，提出一種針對(duì)隨機(jī)信道目標(biāo)的最優(yōu)估計(jì)波形設(shè)計(jì)方法是十分有意義的。

1 認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計(jì)和MMSE準(zhǔn)則

1.1 認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計(jì)基礎(chǔ)狀況

圖1所示為CR單次循環(huán)的離散信號(hào)模型。

圖1 信號(hào)模型Fig.1 The signal model

目標(biāo)和雜波被建模為沖激響應(yīng)為t∈CNt×1和c∈CNc×1的有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器［2－3］。其中Nt＝Nc。雷達(dá)接收回波可以表示為：

因此，式（1）可以表示為矩陣乘積形式：

關(guān)于認(rèn)知雷達(dá)波形設(shè)計(jì)，識(shí)別和檢測方面的研究較多，大部分是假設(shè)信號(hào)模型中的目標(biāo)沖激響應(yīng)t是已知的，然后設(shè)計(jì)相應(yīng)的最優(yōu)波形。文獻(xiàn)［4］假設(shè)系統(tǒng)已經(jīng)獲得關(guān)于目標(biāo)沖激響應(yīng)t的先驗(yàn)知識(shí)后，提出了一種基于遺傳算法和最大滑動(dòng)相關(guān)分類器的波形優(yōu)化方法。該方法定義目標(biāo)回波和同類模板之間的匹配系數(shù)與該目標(biāo)回波和異類模板之間匹配系數(shù)的差為匹配距離，以最大化各類目標(biāo)之間的匹配距離的最小值為優(yōu)化準(zhǔn)則，然后通過遺傳算法進(jìn)行求解，得到最優(yōu)識(shí)別波形。文獻(xiàn)［5］針對(duì)多個(gè)目標(biāo)的識(shí)別問題，基于互信息準(zhǔn)則，通過最大化接收到的信號(hào)與目標(biāo)沖激響應(yīng)線性加權(quán)和的互信息獲得了針對(duì)多個(gè)目標(biāo)識(shí)別的最優(yōu)波形。而文獻(xiàn)［2］中，則針對(duì)系統(tǒng)在未知的確定信道目標(biāo)情況下，提出了首先通過對(duì)目標(biāo)沖激響應(yīng)進(jìn)行t估計(jì)，然后根據(jù)估計(jì)得到的目標(biāo)先驗(yàn)知識(shí)設(shè)計(jì)了最優(yōu)檢測波形。

1.2 最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則

在尋找最佳估計(jì)量的時(shí)候，我們需要某些衡量標(biāo)準(zhǔn)，最常見的就是均方誤差（MSE），它度量了估計(jì)值偏離真實(shí)值的平方偏差的統(tǒng)計(jì)平均值。

當(dāng)估計(jì)子為高斯分布矢量x時(shí)，則估計(jì)子x和量測信息y聯(lián)合分布的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

當(dāng)R和Ryy非奇異時(shí)，那么在給定量測信息y，對(duì)估計(jì)誤差的任意容許損失函數(shù)，參數(shù)x最小后驗(yàn)期望損失估計(jì)［7］公式為：

進(jìn)一步得到估計(jì)子的 MSE［8－12］為：

為了得到估計(jì)子的最優(yōu)估計(jì)值，常常采用使MSE最小作為標(biāo)準(zhǔn)，即最小均方誤差準(zhǔn)則。

2 基于MMSE的波形優(yōu)化方法

2.1 原理

本文考慮的是隨機(jī)信道目標(biāo)的最優(yōu)估計(jì)波形設(shè)計(jì)問題，即設(shè)計(jì)一種波形，使得在該發(fā)射波形下雷達(dá)能夠更快更準(zhǔn)確地完成對(duì)目標(biāo)的估計(jì)。隨機(jī)信道目標(biāo)，即雷達(dá)每次照射時(shí)，目標(biāo)沖激響應(yīng)為隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)，即t～CN（0 ，Rt）。

假設(shè)雜波也服從高斯分布，c～CN（0 ，Rc），因此，估計(jì)子t和量測信息x是服從聯(lián)合高斯分布的，即，且y～CN （μy，Ry）。因此，根據(jù)式（4）和（5）可求得聯(lián)合分布的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

接著通過（6）的最小后驗(yàn)期望損失估計(jì)公式求取目標(biāo)沖激響應(yīng)的估計(jì)值：

然后通過估計(jì)值進(jìn)一步根據(jù)式（7）得到目標(biāo)沖激響應(yīng)估計(jì)值的MSE為：

由于MSE是發(fā)射波形S的函數(shù)，因此可以將基于MMSE的認(rèn)知雷達(dá)估計(jì)波形設(shè)計(jì)問題描述為如下優(yōu)化問題：

通過目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化便可求得認(rèn)知雷達(dá)的最優(yōu)估計(jì)波形。

2.2 步驟

結(jié)合上述分析將具體步驟描述如下：

第一步：構(gòu)造聯(lián)合矩陣，求取相應(yīng)的均值和協(xié)方差矩陣。通過式（8）和（9）分別求取目標(biāo)沖激響應(yīng)和接收數(shù)據(jù)聯(lián)合分布的均值μy和協(xié)方差矩陣Ry。

第二步：計(jì)算估計(jì)子的估計(jì)值。通過式（10）求得對(duì)估計(jì)誤差的任意容許損失函數(shù)，目標(biāo)沖激響應(yīng)t的最小后驗(yàn)期望損失估計(jì)值t＾。

第三步：計(jì)算估計(jì)值的MSE。通過估計(jì)值t＾進(jìn)一步根據(jù)式（11）得到目標(biāo)沖激響應(yīng)估計(jì)值的MSE。

第四步：基于最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則優(yōu)化波形。根據(jù)矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)知識(shí)［13］進(jìn)一步將式（12）的優(yōu)化問題化簡求解便可求得認(rèn)知雷達(dá)的最優(yōu)估計(jì)波形。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

對(duì)優(yōu)化問題分析求解可知，白噪聲背景中，偽隨機(jī)信號(hào)為最優(yōu)估計(jì)波形，色噪聲背景中，根據(jù)矩陣跡不等式和拉格朗日乘子法可求解得到的最優(yōu)波形及還原Toeplitz結(jié)構(gòu)的逼近信號(hào)。

下面對(duì)本文算法進(jìn)行仿真分析，仿真條件：目標(biāo)沖激響應(yīng)和雜波沖激響應(yīng)長度Nt＝Nc＝30，離散信號(hào)長度Ns＝40，所以接收數(shù)據(jù)和噪聲長度Nx＝Nn＝Nt＋Nc－1＝69，假設(shè)信號(hào)的載頻、帶寬、脈沖重頻等發(fā)射波形的其他參數(shù)都滿足雷達(dá)要求。功率P與噪聲和雜波PSD取同一量級(jí)單位（kW），目標(biāo)和雜波PSD采用隨機(jī)產(chǎn)生。

實(shí)驗(yàn)一：白噪聲背景，Rn＝＝0.5。圖2為隨機(jī)產(chǎn)生的目標(biāo)和雜波PSD采樣值；圖3顯示了MSE與功率P的關(guān)系；圖4為發(fā)射功率等于5 kW時(shí)，MSE隨發(fā)射信號(hào)長度Ns變化曲線圖。

圖2 目標(biāo)、雜波PSDFig.2 The PSD of target and clutter

圖3 MSE與發(fā)射信號(hào)功率的關(guān)系Fig.3 The MSE versus the power P

圖4 MSE與發(fā)射信號(hào)長度的關(guān)系Fig.4 The MSE versus the length of waveform

由仿真結(jié)果可以看出：1）隨著發(fā)射功率的增加，各個(gè)發(fā)射波形對(duì)應(yīng)的MSE都逐漸減小，且偽隨機(jī)信號(hào)對(duì)應(yīng)的始終低于常規(guī)的LFM信號(hào)對(duì)應(yīng)的，這說明偽隨機(jī)信號(hào)的估計(jì)性能明顯優(yōu)于LFM信號(hào)。2）隨著發(fā)射信號(hào)長度的增加，LFM 信號(hào)對(duì)應(yīng)的MSE不斷增大，這是由發(fā)射功率一定的限制條件引起的。3）當(dāng)發(fā)射信號(hào)長度小于40時(shí)，偽隨機(jī)信號(hào)對(duì)應(yīng)的MSE存在波動(dòng)，而大于40以后，基本處于平穩(wěn)狀態(tài)。這是由于偽隨機(jī)信號(hào)本身的限制引起的，使得矩陣SHS與PINt的相似度隨著發(fā)射波形長度的變化而變化?？梢姡?dāng)發(fā)射信號(hào)長度大于40以后，可以認(rèn)為此時(shí)與發(fā)射波形長度無關(guān)，且其MSE始終處于LFM下方，這說明偽隨機(jī)信號(hào)在估計(jì)性能上遠(yuǎn)遠(yuǎn)由于LFM信號(hào)。與理論分析一致。

實(shí)驗(yàn)二：色噪聲背景。圖5顯示了隨機(jī)產(chǎn)生的目標(biāo)、雜波、噪聲PSD 采樣值σt，i、σc，i、σn，i以及發(fā)射信號(hào)功率為1kW時(shí)求解的信號(hào)奇異值σs，i。圖6（a）為雜波PSD、噪聲PSD之和與目標(biāo)PSD的比值，圖6（b）為信號(hào)奇異值的條形圖。

圖5 目標(biāo)、雜波、噪聲PSDFig.5 The PSD of target，clutter and noise

由圖5和圖6可知，本文算法求解的信號(hào)奇異值始終與目標(biāo)PSD呈現(xiàn)相同趨勢，與雜波和噪聲PSD之和與目標(biāo)PSD的比值呈現(xiàn)相反趨勢，滿足了注水原理［8］。這說明優(yōu)化的發(fā)射波形是選擇在目標(biāo)特征較明顯的頻率分配較多功率，而在雜波、噪聲特征較明顯的頻率分配較少功率，這樣，便使得雷達(dá)的接收回波能攜帶更多的目標(biāo)特征信息。以上結(jié)論是經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到的。

圖7顯示了LFM信號(hào)、上述優(yōu)化信號(hào)Sopt以及逼近信號(hào)分別對(duì)應(yīng)的MSE與發(fā)射信號(hào)功率的關(guān)系。

圖6 注水原理圖解Fig.6 The principle of injection

圖7 MSE與發(fā)射信號(hào)功率的關(guān)系Fig.7 The MSE versus the power P

由圖7仿真結(jié)果可知：1）各個(gè)發(fā)射信號(hào)對(duì)應(yīng)的MSE都隨發(fā)射信號(hào)功率的增加而逐漸減小，且本文優(yōu)化信號(hào)對(duì)應(yīng)的始終明顯遠(yuǎn)小于LSM信號(hào)；2）逼近信號(hào)雖然在性能上略差于最優(yōu)信號(hào)，但相對(duì)于常規(guī)的LFM信號(hào)仍有較大的優(yōu)勢，這說明了逼近方法的可行性。同時(shí)逼近信號(hào)恢復(fù)了信號(hào)卷積矩陣的固有Toeplitz結(jié)構(gòu)，因此比最優(yōu)信號(hào)更有實(shí)用價(jià)值；4）隨著發(fā)射功率的增加，逼近信號(hào)的MSE越來越靠近最優(yōu)信號(hào)，說明逼近程度直接受發(fā)射功率影響。發(fā)射功率越大，逼近效果越好。

4 結(jié)論

本文基于最小均方誤差準(zhǔn)則提出了一種針對(duì)隨機(jī)信道目標(biāo)的認(rèn)知雷達(dá)估計(jì)波形設(shè)計(jì)方法。該方法首先聯(lián)合觀測數(shù)據(jù)和估計(jì)子構(gòu)造一個(gè)新的聯(lián)合矩陣，接著通過貝葉斯方法在該向量的基礎(chǔ)上求取估計(jì)子的估計(jì)值，然后計(jì)算估計(jì)值的 MSE，最后基于MMSE準(zhǔn)則對(duì)發(fā)射波形進(jìn)行優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，通過該方法優(yōu)化的波形，在估計(jì)性能上相對(duì)于傳統(tǒng)的LFM信號(hào)具有明顯的優(yōu)勢，且證明了白噪聲背景中，偽隨機(jī)信號(hào)是最優(yōu)估計(jì)波形；色噪聲背景中，根據(jù)拉格朗日乘子法和矩陣跡不等式求解得到的最優(yōu)波形，滿足注水原理。

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