時(shí)頻域分析中幾種傅里葉變換的比較

王益艷

(四川文理學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

時(shí)頻域分析中幾種傅里葉變換的比較

王益艷

(四川文理學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，四川 達(dá)州 635000)

在時(shí)頻域分析中，傅里葉變換是一種非常重要的工具，尤其是在快速傅里葉算法FFT出現(xiàn)以后，它在信號(hào)分析和處理中得到了廣泛的應(yīng)用.從頻譜分析的角度，對(duì)常見的四種傅里葉變換進(jìn)行了對(duì)比研究，厘清了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，以使人們加深對(duì)傅里葉變換本質(zhì)的理解.

時(shí)頻域分析；傅里葉變換；頻譜分析；采樣；周期延拓

0 引言

在時(shí)頻域分析課程(如《信號(hào)與系統(tǒng)》，《數(shù)字信號(hào)處理》)中，[1-8]涉及到的傅里葉變換大致包括：連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(CTFS)、連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換(CTFT)、離散時(shí)間序列的傅里葉變換(DTFT)和離散傅里葉變換/級(jí)數(shù) (DFT/DFS)等.現(xiàn)有的教材討論這些傅里葉變換時(shí)，都是由CTFS推出CTFT，由線性差分方程推出DTFT，由DTFT推出DFT/DFS.四種形式的傅里葉變換各有不同的理論依據(jù)和不同的推導(dǎo)基礎(chǔ)，盡管它們的物理意義明確，但是公式繁多、過程冗長(zhǎng)，使得它們的關(guān)系復(fù)雜，給初學(xué)者帶來了很大難度，不利于傅里葉變換的實(shí)際應(yīng)用.即使學(xué)過《信號(hào)與系統(tǒng)》和《數(shù)字信號(hào)處理》的人，面對(duì)傅里葉變換的多種形式，還是弄不懂它們之間的聯(lián)系.本文從頻譜分析的角度，探討了這四種傅里葉變換之間的關(guān)系，可使人們對(duì)其本質(zhì)有更深刻的理解.

1 四種傅里葉變換的內(nèi)在聯(lián)系

為了便于比較，本文首先給出幾種傅里葉變換對(duì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(CTFS)公式如下：

(1)

連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換(CTFT)公式如下：

(2)

離散時(shí)間序列的傅里葉變換(DTFT)公式如下：

(3)

離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)公式如下：

(4)

離散傅里葉變換(DFT)公式如下：

(5)

1.1 CTFS和DFT/DFS的關(guān)系

(6)

將t=nT代入上式，得

(7)

注意到當(dāng)且僅當(dāng)n是模N時(shí)，ej2kπn/N才是唯一的.式(7)可進(jìn)一步改寫為:

(8)

(9)

(10)

1.2 CTFT和DTFT的關(guān)系

假定連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)，其離散時(shí)間形式x[n]=x(nT).作為聯(lián)系x(t)和x[n]的橋梁，考慮x(t)的采樣間隔或者周期為T.

xa(t)=x(t)δT(t)，

(11)

(12)

這表明Xd(Ω)=DTFT{x[n]}和Xa(ω)=CTFT{xa(t)} 本質(zhì)上是一樣的，通過變量代換ω=Ω/T即可由Xa(ω)得到Xd(Ω).另一方面，Xa(ω)=CTFT{xa(t)} 是以X(ω)=CTFT{x(t)}形式表示的，即

(13)

Xd(Ω)=Xa(ω)|ω=Ω/T

(14)

其中ω和Ω分別稱為模擬頻率和數(shù)字頻率.

這意味著，x[n]=x(nT)的DTFT本質(zhì)上就是x(t)的CTFT的周期延拓(模擬頻率ω周期為2π/T，數(shù)字頻率Ω周期為2π)，或者說是無窮多的CTFT平移之后的和.這也可解釋由于頻率混疊，導(dǎo)致了從CTFT求出的DTFT會(huì)有所偏差，除非CTFT頻譜X(ω)在低頻帶(-π/T,π/T)是嚴(yán)格帶限的，其中T是x[n]=x(nT) 時(shí)的采樣間隔.

1.3 CTFT和CTFS以及DTFT和DFT/DFS的關(guān)系

Xk=X(ω)|ω=kω0=2πk/P.

(15)

X(k)=Xd(Ω)|Ω=κΩ0=2πk/N.

(16)

2 四種傅里葉變換的轉(zhuǎn)化關(guān)系和比較

下圖1給出了CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS之間的全部轉(zhuǎn)化關(guān)系圖.

圖1 CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS的轉(zhuǎn)化關(guān)系圖

圖2通過舉例說明，給出了一個(gè)連續(xù)時(shí)間(離散時(shí)間)矩形脈沖(波)的CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS頻譜圖.

圖2 CTFT、CTFS、DTFT和DFT/DFS的頻譜對(duì)應(yīng)關(guān)系舉例

從圖1和圖2觀察可知，在四種傅里葉頻譜中，CTFT和CTFS比DTFT和DFT/DFS更有用，因?yàn)樗械奈锢硇盘?hào)都是連續(xù)時(shí)間信號(hào).在CTFT和CTFS中，一般更希望用CTFT，因?yàn)榧俣–TFS包含CTFT的采樣值，那么CTFT具有CTFS的全部信息(見式(15)，圖2(b1)和圖2(b4)).另外，CTFS不是很實(shí)用，因?yàn)樵肼暤挠绊懯沟谜业街芷谛盘?hào)的周期很難，甚至找不到周期信號(hào).因此，當(dāng)需要比較頻譜(描述給定信號(hào)的頻率內(nèi)容)的準(zhǔn)確性時(shí)，一般以CTFT作為標(biāo)準(zhǔn).

CTFT和CTFS的問題是由于要積分，計(jì)算很困難.相比而言，DTFT更容易計(jì)算，因?yàn)樗挥谐朔ê图臃ㄟ\(yùn)算.但是對(duì)x(t)的采樣(采樣間隔為T)會(huì)使x[n]=x(nT)的CTFT頻譜X(ω)產(chǎn)生周期延拓，周期為2π/T，如果在主瓣模擬頻率帶[-π/T,π/T]之外有非零頻率成分，就會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象.這就是計(jì)算DTFT的方便性所要付出的代價(jià).通過減少采樣間隔T，[-π/T,π/T]將包含更多的頻率分量，這樣就可以降低頻譜混疊(對(duì)比圖2(b2)(T=1)和圖2(b5)(T=0.5)的DTFT頻譜和虛線畫的CTFT).

x[n]的DTFT頻譜Xd(Ω)在計(jì)算性能上優(yōu)于CTFT或CTFS，但是由于頻率Ω是連續(xù)的，并且在求IDTFT(DTFT逆運(yùn)算)還是需要積分運(yùn)算，所以仍不方便.為了計(jì)算的高效性，要在DTFT頻域kΩ0=2πk/N，k=0:N-1處采樣得到N點(diǎn)DFT系數(shù)X(k) .但是，這也使得不論原始x[n]是否是周期的，亦或x[n]是周期的，其原始周期是多少，x[n]都將以周期N(DFT的長(zhǎng)度)進(jìn)行周期延拓.如果在整個(gè)時(shí)間[0,N-1]不能充分地包含原始信號(hào)，那么就會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊，當(dāng)DFT長(zhǎng)度不符合信號(hào)的真實(shí)周期時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)頻譜泄漏問題.

通過增加整個(gè)時(shí)間間隔P=NT，可以提高模擬分辨頻率ω0=Ω/T=2π/NT=2π/P.增大DFT長(zhǎng)度(如補(bǔ)零)，可使DFT頻譜更接近DTFT頻譜.減少采樣間隔T，可使CTFT頻譜周期延拓后的周期2π/T變大(見式(14))，同樣地，擴(kuò)大模擬主瓣頻帶[-π/T,π/T]，頻率混疊的程度和幾率就會(huì)減少.

一般而言，實(shí)際中可以選擇DFT長(zhǎng)度N和采樣間隔T，那么信號(hào)測(cè)量、采樣和一系列N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的采集時(shí)間P=NT就確定了.因此，很難保證NT正好等于信號(hào)的真實(shí)周期.由于這個(gè)原因，將P=NT稱為整個(gè)時(shí)間區(qū)間比根據(jù)CTFS定義所說的周期更合理一些.

3 總結(jié)

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換是一種積分變換，而離散傅里葉變換只是為了適應(yīng)利用計(jì)算機(jī)分析而規(guī)定的一種專門運(yùn)算，它可看成是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻譜分析的逼近.周期信號(hào)的傅里葉變換的頻譜呈離散分布，非周期信號(hào)的傅里葉變換的頻譜呈連續(xù)分布，連續(xù)變量信號(hào)的頻譜呈非周期分布，離散變量信號(hào)的頻譜呈周期分布.從頻譜分析的角度出發(fā)，本文重點(diǎn)探討了四種傅里葉變換的相互聯(lián)系，旨在幫助人們理解對(duì)各種傅里葉變換的模糊認(rèn)識(shí)，從而對(duì)其本質(zhì)有更深入的理解，以利于后續(xù)課程的學(xué)習(xí).

[1] Alan V Oppenheim, Alan S Willsky,Nawab S Hamid.信號(hào)與系統(tǒng)[M].劉樹棠，譯.西安：西安交通大學(xué)出版社,1998:2-3.

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[3] 余成波,張 蓮,鄧 力. 信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2004:12-13.

[4] Won Y Yang.SignalsandSystemswithMATLAB[M].北京:電子工業(yè)出版社，2012:163.

[5] Vinary K Ingle.DigitalSignalProcessingUsingMatlab[M].北京:科學(xué)出版社，2003:140-141.

[6] 胡廣書.數(shù)字信號(hào)處理理論、算法與實(shí)現(xiàn)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003:133-135.

[7] 程佩青.數(shù)字信號(hào)處理教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007:117-118.

[8] 高西全,丁玉美.數(shù)字信號(hào)處理教程[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2008:101-102.

[責(zé)任編輯鄧杰]

AComparisonofFourierTransformsinTime-frequencyDomainAnalysis

WANG Yi-yan

(Physics and Electronic Engineering Department of Sichuan University of Arts and Science，Dazhou Sichuan 635000,China)

In the field of time-frequency domain analysis, the Fourier transform plays an important role. Especially, when its fast and efficient algorithm FFT is given, it is widely used for signal analysis and processing. The comparison is made of the four common Fourier transforms and the relationship is analyzed by an example in order to understand the essence of four kinds of Fourier transform deeply.

time-frequency domain analysis;fourier transform;spectral analysis;sampling;periodic extension

2013-03-08

四川省教育廳一般科研項(xiàng)目(13ZB0098);四川文理學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目(2012Z002Z)

王益艷(1982—)，男，湖北咸寧人.講師，博士研究生，主要從事信號(hào)與圖像處理研究.

O59

A

1674-5248(2013)05-0028-05