在概率計算中容易忽略的“等可能”

摘 要：在中學(xué)的概率計算中，主要涉及古典概率模型和幾何概率模型，而這兩類概率模型，都屬于等可能概型，都要求所有基本事件發(fā)生的可能性是相等的，而我們在解決這類問題時經(jīng)常忽略這個“等可能性”，給解題帶來不必要的錯誤.

關(guān)鍵詞：古典概型；幾何概型；等可能性

我們首先來看這樣一個題目：

某人衣袋中裝有甲、乙兩盒火柴，每盒中各裝有10根火柴，此人每次隨機(jī)取出一盒，并使用其中一根火柴，求他某次取出甲盒火柴發(fā)現(xiàn)只余最后一根，而此時乙盒火柴恰余三根的概率.

有人作出了這樣的解答：

此解答正確嗎？解答中運用了古典概率模型公式，那讓我們先來看一下古典概率的定義，見湘教版高中數(shù)學(xué)教材必修五第121頁：設(shè)試驗的全集Ω有n個元素，且每個元素發(fā)生的可能性相同. 當(dāng)Ω的事件A包含了m個元素時，稱P（A）=為事件A發(fā)生的概率，簡稱為A的概率”. 粗略看一下，上面的解答正是在計算m和n，然后由得出最后的結(jié)果. 但是，此解答忽略了定義中一個重要的前提條件：“且每個元素發(fā)生的可能性相同”，我們來考察一下，這20根火柴的C種排法是等可能的嗎？題目中強調(diào)了取兩盒火柴的隨機(jī)性，但是當(dāng)其中一盒火柴用完之后，接下來就每次都只能使用另一盒火柴，此時的隨機(jī)性就失去了意義，所以這C種排法并不是等可能的，所以上面的解答是錯誤的.

在運用古典概率模型求概率時，許多同學(xué)容易忽略“等可能性”這一前提條件，比如在求解“連續(xù)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，出現(xiàn)正反不同的概率”時，有人就認(rèn)為連續(xù)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，會出現(xiàn)“同正”、“同反”、“正反不同”三個不同結(jié)果，得出概率是的這一錯誤結(jié)論. 出錯的原因也是因為忽略了“等可能性”這一前提條件.

這兩種解法哪個正確哪個錯誤呢？

實際上這兩種解法依據(jù)的“等可能性”是不同的，第一種解法認(rèn)為選擇每條路徑的可能性是相等的，而第二種解法認(rèn)為每次選擇向“上”還是向“右”是等可能的，而題目中并沒有明確說明哪種情況是等可能的，所以這兩種解法無法分出對錯，因為題目本身欠缺條件.

以上兩種解法中，解法2是正確的，解法1直接考察的是圓弧上點的橫坐標(biāo)，題目中強調(diào)的是在圓弧上隨機(jī)的取點，這并不能保證其橫坐標(biāo)的隨機(jī)性，所以失去了“等可能性”這一大前提，這一解法是錯誤的.

在概率計算中，我們會大量的遇見古典概型和幾何概型，在計算過程中，我們要特別關(guān)注“等可能性”這一大前提，避免出現(xiàn)不必要的錯誤.