價格收斂于價值嗎——對價值規(guī)律作用形式的證明

□ 朱殊洋（中共廣州市委黨校 經(jīng)濟學(xué)教研部，廣東 廣州510070）

價值規(guī)律作為經(jīng)濟系統(tǒng)的基本規(guī)律，其作用形式如何？馬克思對于價值規(guī)律的作用形式給出了簡要的描述：“一般說來，一切商品的價值，只是由于不斷變化的市場價格趨于平衡才能實現(xiàn)，而這種趨于平衡又是供給和需求不斷變化的結(jié)果?！盵1]

對于上述觀點，馬克思只進行了描述性的分析，而沒有給出嚴格的證明。因此，學(xué)術(shù)界對于價值規(guī)律的作用形式，出現(xiàn)了兩種不同的觀點。一種觀點認為，價值規(guī)律作用形式是價格圍繞價值變動，但是價格并不收斂于價值；另一種觀點認為，價格圍繞價值變動，而且價格收斂于價值。兩種觀點都是基于馬克思的論斷而提出的。但無論哪一種觀點，都沒有對價值與價格的動態(tài)關(guān)系給予嚴格的數(shù)理描述和證明。本文嘗試運用規(guī)范的數(shù)理分析方法，對價格動態(tài)趨勢進行考察。

一、符號與假設(shè)

符號設(shè)定上，本文模型用D表示價格，d表示需求，s表示供給，D0表示均衡價格即價值。分析假設(shè)上，為了分析價格的收斂性，我們首先需要指出價格函數(shù)的性質(zhì)。首先，價格函數(shù)是短期價格函數(shù)累加，考慮長期函數(shù)是一種質(zhì)點分析，故而每個短期函數(shù)之間存在過渡函數(shù)，也就是長期函數(shù)是連續(xù)的，這樣根據(jù)文獻[2]，長期價格函數(shù)可以表示為初等函數(shù)。其次，馬克思將長期價格定義為供求差額的函數(shù)，即D=D（d-s），且它是這一差額的增函數(shù)[3]。于是做一個坐標系，縱軸為長期價格，橫軸為供給和需求。如果供給不變，則得到長期價格對需求的變化曲線，這一曲線向右上方傾斜；如果需求不變，則得到長期價格對供給的變化曲線，這一曲線向左下方傾斜。兩條曲線的交點為均衡點，在這一點，供求相等，且長期價格不受供求影響?，F(xiàn)在的問題是，馬克思長期價格曲線收斂于均衡點嗎？答案是肯定的。為了證明這一結(jié)論，我們需要給出一個引理。

二、長期價格函數(shù)的一個形式

引理：馬克思長期價格函數(shù)可以表示為ΔD=k（d-s），其中k為常數(shù)。

證明：對長期價格函數(shù)，我們假定該函數(shù)可微，這樣就可以借助于微元法將曲線近似化為直線從而導(dǎo)出結(jié)果。分為兩種情況，第一種初始點為均衡點，第二種初始點不在均衡點。

第一種情況：初始點在均衡點的情況。雖然這是一種特殊情況，但是卻是證明一般情況的基礎(chǔ)，也就是說，為了證明一般情況總是要設(shè)法將一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況。這就是我們證明的基本思路。

圖1 初始點為均衡點下D的變動

首先作圖1，即與S、d的關(guān)系圖。圖1中，D=D(S)為D隨S變化的長期曲線，D=D(d)為D隨d變化的長期曲線，相交處為均衡點M。M點的橫坐標D0為長期價格均衡點，M點的縱坐標是供求均衡S0=d0點。設(shè)t0在時刻供求開始變化，因而長期價格也發(fā)生了變化，由原來的D0上移到D1。令D1-D0=ΔD。D=D1與S、d曲線的交點分別是 S1、d1。過點S1、d1分別作垂直于D=D0的直線，交D=D0及其延長線 E1、E2兩點，則S1E1=d1E2=ΔD

由圖1可知

因為兩個角不變，所以其正切為常數(shù)，令tan（∠S1ME1）=λ1，tan（∠S2ME2）=λ2，將其代入（1）得

即

上兩式兩邊相加得

因為E1M+ME2=d-S，S1E1=d1E2=ΔD，所以上式為

取 k=(λ2λ1)/(λ1+λ2)，則得到ΔD=k（d-S）。這就是第一種情況下長期價格隨供求變化的規(guī)律。

考察第二種情況：初始點不在均衡點的一般情況。作圖2。圖2中，假設(shè)初始點位于均衡點之上的D1處，從某一時點開始因為供求變化，價格D1向上移動到D2的位置，這一位置高于均衡點。設(shè) D=D1與 D=D(S)、D=D(d)曲線分別交于S1、d1，D=D2與S、d曲線分別交于S2、d2，均衡價格為 D0。令 D1-D0=ΔD1，D2-D1=ΔD2。過S1點作垂直于D=D1的直線，分別交D=D2、D=D0于 F1、E1；過 d1點作垂直于 D=D1的直線，分別交 D=D2、D=D0延長線于F2、E2。

圖2 初始點不是均衡點下D的變動

根據(jù)平行線比例線段定理，得

又因為三線平行，即D=D0PD=D1PD=D2，所以Δ d2MS2∽Δd1MS1，因此有

結(jié)合（6）、（7）得

由上式得

由第一種情況的證明可知，ΔD1/（d1-S1）=λ，所以

由此得

又因為ΔS2F1S1∽ΔME1S1，Δd2F2d1∽ΔME2d1，所以

其中β為比例常數(shù)。由（12）得

上兩式兩邊相加得

由圖2可知

將（15）代入（14）得

即

將上式代入（11）得

取k=λ/β，則得到ΔD2=k（d2-S2）。

結(jié)合兩種情況得到長期價格函數(shù)的微元形式ΔD=k（d-S）。證畢。

三、收斂性分析

定理：長期價格函數(shù)是大范圍穩(wěn)定的。在其均衡點處供求相等，因而長期均衡價格不受需求的影響。也就是說，價格圍繞價值變動且最終收斂于價值。

證明：做李雅普諾夫能量函數(shù)

其中ρ為大于零的常數(shù)，供給S也是常數(shù)。由（19）可見能量函數(shù)大于等于零，因而只在零點處平衡。對能量函數(shù)（19）求時間的導(dǎo)數(shù)得

由引理的結(jié)果ΔD=k（d-S）代入上式得

由引理?d/?D＜0知，所以有

對于（22），只有當d-S=0時，V&(t)=0，否則均有V&(t)＜0。這意味著，盡管價格不在均衡點，但是由于能量函數(shù)會逐漸變小進而趨于零，從而導(dǎo)致價格一定會大范圍收斂于均衡點，且在均衡點處供求是相等的,因此在均衡點處價格不受需求的影響。證畢。

做圖3以便形象地說明收斂過程。設(shè)D的初始點位于D1的位置，這時有d1＜S1，由此導(dǎo)致生產(chǎn)者減少產(chǎn)量，需求者擴大需求，于是D曲線上移至D2，這時 d2＞S2，于是又出現(xiàn)生產(chǎn)者增加產(chǎn)量、需求者減少需求的調(diào)整，于是價格下移。如此下去最終D曲線趨于D0。D=D0就是長期價格均衡軌線，在D0點處，d=S。

圖3 長期D曲線的收斂

四、小結(jié)

本文通過規(guī)范的數(shù)理分析和證明，盡管價格與價值的瞬時相等是偶然的，而且價格總是圍繞價值進行波動，但是從長期看，這一波動是收斂的，即價格圍繞價值變動，而且從長期看價格收斂于價值。因此，價格圍繞價值變動且收斂于價值恰恰是價值規(guī)律作用的表現(xiàn)形式。本文模型為馬克思關(guān)于價值規(guī)律作用形式的觀點提供了一個數(shù)理闡釋。

[注 釋]

[1]馬克思恩格斯全集，第16卷（中譯本）[M].北京：人民出版社，1964.162.

[2]龍洪波、伍毅.用初等函數(shù)表示一類分段函數(shù)的方法[J].數(shù)學(xué)通訊，1994，(11).12—14.

[3]馬克思.資本論，第三卷（中譯本）[M].北京：人民出版社，2008.211.

[1]朱殊洋.單位商品價值量與勞動生產(chǎn)率的關(guān)系[J].馬克思主義研究，2011，（5）.

[2]朱殊洋.社會必要勞動時間是怎樣形成的[J].海派經(jīng)濟學(xué)，2011，（2）.

[3]鄭志國.勞動力價值新探[J].嶺南學(xué)刊，1995，（3）.