基于多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

李秀芳，景 珮

(南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津300071)

直接保險(xiǎn)人是經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的個(gè)體，風(fēng)險(xiǎn)聚合和風(fēng)險(xiǎn)分散是經(jīng)營(yíng)的核心所在。直接保險(xiǎn)人在承保某類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)業(yè)務(wù)時(shí)，由于資本的限制和償付能力要求，通常會(huì)將一部分業(yè)務(wù)轉(zhuǎn)給再保險(xiǎn)人。因此，再保險(xiǎn)是一種十分常用且重要的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移手段:一方面，保險(xiǎn)人分出業(yè)務(wù)過(guò)多會(huì)顯著地降低利潤(rùn)水平;另一方面，分出業(yè)務(wù)過(guò)少、承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)高可能導(dǎo)致償付能力不足甚至引發(fā)破產(chǎn)。因此，判斷合理的自留業(yè)務(wù)量，即最優(yōu)再保險(xiǎn)決策是十分重要并有意義的。

若要研究最優(yōu)再保險(xiǎn)決策，首先要判斷何為“最優(yōu)”，即“最優(yōu)”的標(biāo)準(zhǔn)是什么。出于再保險(xiǎn)決策的重要性，目前已有大量成熟的研究關(guān)注這一方面。如Manuel Guerra等［1］以盈余的期望效用準(zhǔn)則和破產(chǎn)概率準(zhǔn)則分別探討了再保決策的最優(yōu)自留額;Jun Cai等［2，3］以直接保險(xiǎn)人再保后的剩余風(fēng)險(xiǎn)(VaR和CTE)作為衡量標(biāo)準(zhǔn);周明等［4］將風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率引入再保決策，判斷最優(yōu)的再保比例。由此可見(jiàn)，盡管不同的研究成果選擇的指標(biāo)和判斷準(zhǔn)則不同，但大體上都反映了收益目標(biāo)或是風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)。然而，這些研究都是選擇的單一目標(biāo)，事實(shí)上，保險(xiǎn)人處在復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，同時(shí)追求收益最大和風(fēng)險(xiǎn)最小，不能忽視其中任一目標(biāo)。對(duì)于再保險(xiǎn)決策，保險(xiǎn)人的目標(biāo)首先是降低風(fēng)險(xiǎn)，但與此同時(shí)也不能因追求風(fēng)險(xiǎn)最小就放棄了利潤(rùn)目標(biāo)。單一目標(biāo)研究無(wú)法全面評(píng)判保險(xiǎn)人面臨的權(quán)衡取舍，這一問(wèn)題在多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題中得到了很好的解決。

多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題最早由意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Pareto在1896年提出，它是指系統(tǒng)方案的選擇取決于多個(gè)目標(biāo)的滿足程度。多目標(biāo)優(yōu)化和單目標(biāo)優(yōu)化的重要區(qū)別在于單目標(biāo)優(yōu)化通常只有一個(gè)最優(yōu)解，而多目標(biāo)優(yōu)化中，由于是對(duì)多個(gè)目標(biāo)同時(shí)優(yōu)化，目標(biāo)間往往相互沖突，因此最優(yōu)解集通常是一個(gè)集合，這個(gè)解集被稱為Pareto最優(yōu)解或非劣解。解決一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題通常包括兩個(gè)方面，即搜索和決策①。一些傳統(tǒng)的多目標(biāo)問(wèn)題的解法是在優(yōu)化過(guò)程中加入研究者(決策者)的偏好信息，求得折中方案，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步搜索，即在搜索前決策或邊搜索邊決策。這樣的求解過(guò)程類(lèi)似黑匣子，其他人無(wú)法看到不同的偏好信息對(duì)結(jié)果的影響。另一種求解方法是在沒(méi)有任何喜好信息的情況下優(yōu)化，給出Pareto最優(yōu)解集，最后由決策者做出選擇［5］。本文的研究采用的是第二種方法，即給出優(yōu)化問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集。

一、模型建立

假設(shè)保險(xiǎn)人承保了某類(lèi)業(yè)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)總額為X，X為非負(fù)的連續(xù)隨機(jī)變量，具有分布函數(shù)F，并且均值和方差有限。假設(shè)保險(xiǎn)人自留的風(fēng)險(xiǎn)總額為I(X)，保險(xiǎn)人收取了總保費(fèi)P，自留保費(fèi)PI，分出給再保險(xiǎn)人的保費(fèi)則為 P －PI，應(yīng)有

影響直保公司再保策略的因素主要包括:收益目標(biāo)、風(fēng)險(xiǎn)考慮和資本約束。首先是收益目標(biāo)，直接保險(xiǎn)人是經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)的個(gè)體，無(wú)論經(jīng)營(yíng)中進(jìn)行何種決策，利潤(rùn)目標(biāo)都是首先要關(guān)注的。在這里，采用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率(RORAC)作為衡量利潤(rùn)率的指標(biāo)，采用這一指標(biāo)的重要原因是保險(xiǎn)人在決策時(shí)不僅關(guān)注期望利潤(rùn)的絕對(duì)值大小，更關(guān)注投入的每一單位資本所能得到的期望資本回報(bào)率，資本收益率可以完美的表達(dá)這一概念。風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率的計(jì)算公式［6］為風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率=期望利潤(rùn)/風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本，其中風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本應(yīng)為保險(xiǎn)人在實(shí)際經(jīng)營(yíng)業(yè)務(wù)中為該項(xiàng)業(yè)務(wù)安排的實(shí)際資本，這樣計(jì)算得到的RORAC充分表達(dá)了公司投入的每單位資本得到的期望利潤(rùn)。令 TI(X)=I(X)－PI(X)，表示自留保費(fèi)不足以彌補(bǔ)自留風(fēng)險(xiǎn)總額的部分，根據(jù)巴塞爾協(xié)議Ⅱ，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本采用在險(xiǎn)價(jià)值(VaR)的方法計(jì)算，即在一定置信水平α下?lián)p失的最大可能的分位數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本U1可以表示為

因此，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率可以表示為

在考慮了收益目標(biāo)后，還要考慮風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)。直接保險(xiǎn)人在進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)將業(yè)務(wù)、保費(fèi)、利潤(rùn)的一部分轉(zhuǎn)讓給再保險(xiǎn)人，主要的目的是控制風(fēng)險(xiǎn)。盡管直接保險(xiǎn)人在承保業(yè)務(wù)時(shí)收取了充分且合理的保費(fèi)，并且按照一定概率下最大可能損失的估計(jì)安排了相應(yīng)的資本，但是保險(xiǎn)人仍然可能出現(xiàn)償付能力不足的情況，即資本加上保費(fèi)仍然不足以彌補(bǔ)損失賠付的情況。因此，在考慮再保決策時(shí)，應(yīng)該最小化償付能力不足的風(fēng)險(xiǎn)，采用償付能力不足的條件期望損失作為衡量標(biāo)準(zhǔn)［7］。償付能力不足的條件期望損失衡量了當(dāng)保險(xiǎn)人按風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本U1安排資本時(shí)，若資本仍不足以彌補(bǔ)損失賠付與保費(fèi)之間差額TI(x)，這部分差值的平均水平，可以表示為

除了收益目標(biāo)、風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)，直保公司還需考慮資本約束。當(dāng)直接保險(xiǎn)人的資本充足，即資本水平足以支撐現(xiàn)有業(yè)務(wù)時(shí)，可以利用之前設(shè)定的收益、風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)函數(shù)選擇最優(yōu)的自留比例。但是當(dāng)資本不充裕時(shí)，直接保險(xiǎn)人出于公司內(nèi)部風(fēng)險(xiǎn)管理及監(jiān)管機(jī)構(gòu)的償付能力監(jiān)管要求必須分出一定比例的業(yè)務(wù)。事實(shí)上，我們認(rèn)為直接保險(xiǎn)人的資本可以分為3個(gè)層次［8］:一是公司的實(shí)際資本，即對(duì)于該項(xiàng)業(yè)務(wù)現(xiàn)有可用的資本總額U0;二是公司出于內(nèi)部風(fēng)險(xiǎn)管理，針對(duì)業(yè)務(wù)計(jì)算得到的要求資本總額，可以用前文提出的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本U1表示;三是監(jiān)管機(jī)構(gòu)針對(duì)償付能力監(jiān)管為保險(xiǎn)人提出的最低資本要求U2。因?yàn)楣緝?nèi)部的要求資本和法定最低資本都與自留業(yè)務(wù)比例相關(guān)，因此可以建立自留業(yè)務(wù)比例需滿足的資本約束不等式:max{U1，U2}≤U0。它表示直接保險(xiǎn)人允許的自留業(yè)務(wù)額受當(dāng)前的資本水平制約。事實(shí)上，公司出于風(fēng)險(xiǎn)管理計(jì)算得到的要求資本U1通常會(huì)大于法定最低資本要求U2，因此，上式可以轉(zhuǎn)化為

綜上所述，可以建立最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的模型為

二、最優(yōu)再保險(xiǎn)策略

理論上存在多種多樣的再保險(xiǎn)形式，只要滿足式(1)就可成為一種再保險(xiǎn)策略。但是在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，再保險(xiǎn)主要包括比例再保險(xiǎn)和非比例再保險(xiǎn)。成數(shù)再保險(xiǎn)是比例再保險(xiǎn)中常用的形式，它是指直接保險(xiǎn)人選擇一個(gè)自留比例，并按此比例在保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人之間分配業(yè)務(wù)。而在非比例再保險(xiǎn)中，停止損失再保險(xiǎn)十分常見(jiàn)，它是以原保險(xiǎn)人一段時(shí)間的總損失金額為基礎(chǔ)，原保險(xiǎn)人選擇一定數(shù)額的自留業(yè)務(wù)，并將超過(guò)此額度的損失轉(zhuǎn)嫁給再保險(xiǎn)人。

1．最優(yōu)成數(shù)再保險(xiǎn)策略

假設(shè)直接保險(xiǎn)人承保了風(fēng)險(xiǎn)總額為X的業(yè)務(wù)，自留比例為a，有I(X)=aX，因此分出給再保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)總額為(1－a)X。直接保險(xiǎn)人共收取保費(fèi)P，再保險(xiǎn)人收取的再保險(xiǎn)費(fèi)采用期望準(zhǔn)則②，PR=(1+η)E(1－a)X，則直接保險(xiǎn)人的自留保費(fèi)為P－PR。此外，對(duì)于成數(shù)再保險(xiǎn)，有U1=a VaRX(α)+PR－P。

推論1:當(dāng)資本U0＜VaRX(α)－P時(shí)，最優(yōu)自留比例的上限隨資本的增加而提高，當(dāng)U0≥VaRX(α)－P時(shí)，最優(yōu)自留比例的上限為1(見(jiàn)圖1)。

圖1 自留比例最優(yōu)解集的上限隨資本變化

2．最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略

當(dāng)直接保險(xiǎn)人采用停止損失再保險(xiǎn)時(shí)，假設(shè)自留額為b，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)總額小于b時(shí)保險(xiǎn)人自留全部風(fēng)險(xiǎn)，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)總額大于b時(shí)，保險(xiǎn)人自留額度為b的風(fēng)險(xiǎn)，即I(X)=XΛb。因此分給再保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)總額為(X－b)+，并假設(shè)再保險(xiǎn)人收取的再保險(xiǎn)費(fèi)為PR=(1+η)E(X－b)+。

引理1:當(dāng)b＜VaRX(α)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率(RORAC)先增加后減小，并且存在一點(diǎn)b1使RORAC達(dá)到極大值;當(dāng)b≥VaRX(α)時(shí)，RORAC隨著自留額b的增加而增加。

引理2:當(dāng)b＜VaRX(α)時(shí)，償付能力不足的條件期望損失(C)先減少后增加，并且存在一點(diǎn)b2，b2=，使C達(dá)到極小值;當(dāng)b≥VaRX(α)時(shí)，C隨著自留額b的增加而增加。可以證明b1≥b2。

定理2:根據(jù)U1的定義有U1(b)≡VaRX(α)Λb+(1+η)δ(b)－P，

若

若

當(dāng) U0＞U1(S－1X(α))時(shí)，M1問(wèn)題的 Pareto最優(yōu)解集為 b∈［b2，b1］∪［b3，∞ )，b3滿足 RORAC|b=b1=RORAC|b=b3;當(dāng) U0＜U1［S－1X(α)］時(shí)，M1問(wèn)題的 Pareto最優(yōu)解集為 b∈{b1，min［b1，g1］}∪{min［b3，g2］，∞}，g2滿足 VaRX(α)+(1+η)δ(g2)－P=U0。

由引理1可知，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率函數(shù)存在兩個(gè)極大值點(diǎn)，b=b1，b=+∞，當(dāng)式(7)滿足時(shí)有RORACb=b1＞ RORACb－＞+∞，函數(shù)的最大值在 b1處取得。此時(shí)問(wèn)題的最優(yōu)解集取決于初始資本水平，若資本水平充裕，對(duì)自留額的選擇沒(méi)有限制，則最優(yōu)自留額應(yīng)在b1和b2之間的范圍選擇;若資本不夠充裕，自留額的選擇范圍變小，具體取決于資本水平。

當(dāng)式(8)滿足時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率函數(shù)的最大值在正無(wú)窮處取得，此時(shí)M1問(wèn)題的最優(yōu)解集由兩部分組成:第一部分與前面的情況相同;第二部分是風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率大于b1處的值之后的部分。這表示直接保險(xiǎn)人為追求更高的收益率而選擇更大的自留額，同時(shí)承受更大的償付能力不足風(fēng)險(xiǎn)。從上面的定理可以看出，根據(jù)保險(xiǎn)人現(xiàn)有資本的不同水平，最優(yōu)停止損失再保險(xiǎn)策略也有所不同。當(dāng)保險(xiǎn)市場(chǎng)對(duì)保險(xiǎn)資本的監(jiān)管比較松時(shí)，保險(xiǎn)人可以適當(dāng)?shù)臑樽非蟾呤找媛识x擇較高的自留額度。但無(wú)論如何，更高的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率總意味著更大的償付能力不足風(fēng)險(xiǎn)。

推論2:若式(7)滿足，當(dāng) U0＜U1(b1)時(shí)，Pareto最優(yōu)解集上限隨資本水平的增加而增加，當(dāng)U0≥U1(b1)時(shí)，最優(yōu)解集的上限保持不變。

推論3:若式(8)滿足，Pareto最優(yōu)解集由兩部分組成，第一部分上限與推論1中結(jié)論相同，第二部分下限在U0＜U1(b3)時(shí)隨資本的減少而降低，在 U0≥U1(b3)時(shí)保持不變。

由圖2可見(jiàn)，資本水平越低，Pareto最優(yōu)解集的上限越低，下限越高，因此再保險(xiǎn)自留額水平可選擇的范圍越小，最優(yōu)自留額受到資本的約束越強(qiáng)。當(dāng)資本大于一定水平時(shí)，最優(yōu)自留額的選擇不受資本限制。

圖2 Pareto最優(yōu)解集的邊界隨資本水平變化情況

三、算例分析

假設(shè)一家財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)公司承保的火險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)總額X服從帕累托分布，F(xiàn)(X)=并有 θ=1 000 000，β=8。于是該公司未來(lái)一年內(nèi)的火險(xiǎn)期望賠付為14.286萬(wàn)元。如果選擇置信度 α=0.1，有VaRX(α)=33.35萬(wàn)元。假定直接保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人制定保費(fèi)時(shí)的邊際ξ=5%，η=7%。

首先，假設(shè)保險(xiǎn)人采用成數(shù)再保險(xiǎn)策略，根據(jù)定理1，最優(yōu)自留比例與初始資本水平有關(guān)，若初始資本U0=5萬(wàn)元，有最優(yōu)自留比例α須滿足0≤a≤0.261;當(dāng)初始資本U0=10萬(wàn)元時(shí)，有0≤a≤0.538?？梢钥闯?，最優(yōu)自留比例的上限隨初始資本的增加而提高，初始資本越充裕，最優(yōu)自留比例上限越大，直接保險(xiǎn)人受到的限制越小。當(dāng)初始資本大至一定程度時(shí)，直接保險(xiǎn)人的再保自留比例可以不受資本限制，根據(jù)自己的偏好自由選擇自留比例。

其次，保險(xiǎn)人采用停止損失再保險(xiǎn)策略，在這一例子中可以驗(yàn)證定理2中的式(7)滿足。因此，問(wèn)題的最優(yōu)解集為:若初始資本U0≤20.39萬(wàn)元，最優(yōu)自留額應(yīng)在0.85萬(wàn)元到9.43萬(wàn)元的范圍內(nèi)選擇;若U0≤20.39萬(wàn)元，最優(yōu)自留額的選擇可能受初始資本水平約束，是否存在制約受 b1，g1的大小關(guān)系影響。當(dāng)U0=10萬(wàn)元時(shí)，最優(yōu)自留額度的范圍不變，而當(dāng)U0=2萬(wàn)元時(shí)最優(yōu)自留額應(yīng)在0.85萬(wàn)元至8.19萬(wàn)元之間。事實(shí)上，最優(yōu)自留額度上限與初始資本關(guān)系的散點(diǎn)圖見(jiàn)圖3。

圖3 最優(yōu)自留額上限與初始資本的關(guān)系

可以看到，當(dāng)U0小于2.59萬(wàn)元時(shí)，最優(yōu)自留額度上限隨初始資本的減少而降低，當(dāng)初始資本為零時(shí)，自留額度上限達(dá)到最小0.29萬(wàn)元。當(dāng)U0大于2.59萬(wàn)元時(shí)，初始資本對(duì)最優(yōu)自留額度不存在約束，自留額度的選擇只由目標(biāo)函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率和償付能力不足風(fēng)險(xiǎn)決定。

假定初始資本大于2.59萬(wàn)元，可以得到風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率與自留額度的關(guān)系(見(jiàn)圖4)。

從圖4可以看出，當(dāng)自留額度小于9.43萬(wàn)元時(shí)，RORAC不斷增加，并且在b=b1=94 258處取得最大收益率7.1%;當(dāng)自留額度大于9.43萬(wàn)元小于33.35萬(wàn)元時(shí)，RORAC逐漸減少，并在b=333 521處取得局部極小值2.85%;當(dāng)自留額度大于33.35萬(wàn)元時(shí)，RORAC再次逐漸增加。

償付能力不足的尾部損失與自留額度的函數(shù)曲線見(jiàn)圖5。

圖5的橫坐標(biāo)范圍為［0，20 000］，可以看出當(dāng)自留額度小于0.85萬(wàn)元時(shí)，尾部損失C不斷減少，并在b=b2=8 493處取得最小值13.73萬(wàn)元;當(dāng)自留額度大于0.85萬(wàn)元時(shí)，尾部損失C逐漸增大。因此，該停止損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)自留額度范圍應(yīng)在0.85萬(wàn)元到9.43萬(wàn)元之間，隨著自留額的增加風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率不斷增加，償付能力不足尾部損失也不斷增大。只要直接保險(xiǎn)人在這一范圍選擇自留額度就是有效率的，不會(huì)出現(xiàn)收益率低但相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)高的情況;同時(shí)所有有效率的收益－風(fēng)險(xiǎn)組合都包含在這一范圍中。

圖5 償付能力不足尾部損失與最優(yōu)自留額度的關(guān)系

四、結(jié) 語(yǔ)

本文由收益目標(biāo)、償付能力風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)和資本約束三個(gè)方面出發(fā)，建立了比例再保險(xiǎn)和停止損失再保險(xiǎn)的最優(yōu)策略模型，分別得到問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解集，探討了初始資本水平對(duì)再保險(xiǎn)策略的影響并進(jìn)行數(shù)值分析，得到的結(jié)論包括當(dāng)自留業(yè)務(wù)水平滿足最優(yōu)解集范圍時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率隨自留水平的增加而增加，償付能力不足風(fēng)險(xiǎn)也隨自留水平的增加而增大，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率與償付能力不足風(fēng)險(xiǎn)之間呈正向變化的關(guān)系。當(dāng)初始資本充裕時(shí)，資本對(duì)自留業(yè)務(wù)水平不產(chǎn)生影響，當(dāng)初始資本不充裕時(shí)，自留額度選擇受初始資本水平約束，資本越少，自留額度可選擇的范圍越小。

注釋:

①搜索是指在優(yōu)化過(guò)程中，可行解集被求解出來(lái);決策是強(qiáng)調(diào)從可行解集中選擇合適的解。

②在保險(xiǎn)理論中，保費(fèi)的制定通常有一般期望準(zhǔn)則、標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)則、方差準(zhǔn)則等。

［1］Manuel Guerra，Maria de Lourdes Centeno．Optimal reinsurance policy:The adjustment coefficient and the expected utility criteria［J］．Insurance:Mathematics and Economics，2008，42(2):529-539．

［2］Jun Cai，Ken Seng Tan．Optimal retention for a stop-loss reinsurance under the VaRand CTErisk measures［J］．ASTIN Bulletin International Actuarial Association-Brussels，Belgium，2007，37(1):93-112．

［3］Jun Cai，Ken Seng Tan，Chengguo Weng，et al．Optimal reinsurance under VaR and CTE risk measures［J］．Insurance:Mathematics and Economics，2008，43(1):185-196．

［4］周 明，陳建成，董洪斌．風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整資本收益率下得最優(yōu)再保險(xiǎn)策略［J］．系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30(11):1931-1937．

［5］鄭金華．多目標(biāo)進(jìn)化算法及其應(yīng)用［M］．北京:科學(xué)出版社，2007．

［6］陳學(xué)華，韓兆洲，唐 珂．基于VaR和RORAC的保險(xiǎn)基金最優(yōu)投資研究［J］．?dāng)?shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2006，23(4):111-117．

［7］Ingo Oesterreicher，Andreas Mitschele，F(xiàn)rank Schlottmann，et al．Comparison of multi-objective evolutionary algorithms in optimizing combinations of reinsurance contracts［C］//GECCO＇06．Proceedings of the 8th annual conference on genetic and evolutionary computation，2006:747-748．

［8］Yuriy Krvavych，Michael Sherris．Enhancing insurer value through reinsurance optimization［J］．Insurance:Mathematics and Economics，2006，38(3):495-517．