基于效用最大化理論關于保險人監(jiān)管成本的分析

呂會茹， 王永茂， 管 巍， 王 紅

(燕山大學理學院 河北秦皇島066004)

0 引言

提到保險欺詐，人們往往會聯(lián)想到投保人或被保險人的保險欺詐行為.然而，近年來保險公司的欺詐行為也屢見不鮮［1］.其最主要的原因是保險市場中的信息不對稱.在保險交易中，可以依據保險合同雙方將信息不對稱分為兩類:一類是因為保險標的通常被投保人與被保險人所控制，而保險人不容易了解保險標的風險狀況的信息不對稱;另一類是由于投保人以及被保險人不了解保險人的償付能力的信息不對稱［2］.本文主要在第2種情況下進行分析.

絕大部分保險人自身財富水平和承擔風險能力有限，會通過購買再保險分散風險［3-4］，因此再保險人為了自身的利益會對保險人的監(jiān)管水平進行監(jiān)督，避免因保險人道德水平不高，給自身帶來經濟損失.本文提到的道德水平有兩層含義:一是保險人的償付能力是否充足;二是保險人在承保期間，對投保人的監(jiān)管水平.

1 模型的假設條件

本文中，假設只有一位保險人和再保險人，且投保人為同質的，僅要求賠付一次保險金.其他具體假設條件為:

1)假設保險人為風險厭惡者，財富水平s，且s＞0，也可視為償付水平為s，效用函數的形式為u(s)=-γe-γs，γ ＞0，則有u'(s)=γ2e-γs＞0，u″(x)=-γ3e-γs＜0，絕對風險厭惡系數為 γ［5］．令再保險人是風險中性的，且其期望利潤為零．

2)假設保險人對投保人進行監(jiān)管的成本為c，且c≥0．因為保險人對投保人的監(jiān)管水平決定著其賠付率，所以可以假設保險人對投保人的賠付率為p(c)．一般來說，監(jiān)管成本越多，則監(jiān)管水平越高，賠付事件發(fā)生的概率越小，即p'(c)＜0，p″(c)＞0．若賠付事件發(fā)生，賠付額為定值α，賠付率為p(c)，那么賠付事件未發(fā)生(賠付額為零)的概率為h=p(0)=1-p(c)．同時，令

應注意到這里的參數λ＞γ．

3)若保險人進行再保險，則令保險人交付給再保險人的保費為π．當賠付事件發(fā)生時，保險人賠付給投保人的保險金為α，從再保險人處得到的保險金額為β(β≤α)．且假設保費的形式為π=p(c)·β，可知再保險的保費π是保險人監(jiān)管成本c和再保險金β的函數，亦可記為π=π(c，β)．

定義1 設使保險人對投保人賠付最小，期望效用最大的最優(yōu)監(jiān)管成本為c*，稱c*為有效監(jiān)管成本，其表達式為 c*=(ln(λhα))/λ．

2 保險人償付能力不足時保險人的監(jiān)管水平

當保險人的償付能力不足時，由于受到自身財富水平的限制，不能承擔投保人損失發(fā)生時應賠付的保險金額，此時有s＜α．有時雖然保險人進行了再保險，但因受到簽訂合同中再保險金的限制，也不能完全賠付投保人的保險金．一旦投保人發(fā)生損失且要求賠償，保險人只能賠付s．

當保險人的償付水平s=α時，因為保險人是厭惡風險的，所以只要其進行再保險一定能提高自身的效用水平;當保險人的償付水平s≤c+p(c)·α時，進行再保險會使自身效用水平降低，故存在某一償付水平s0(c+p(c)·α＜s0＜α)為是否進行再保險的臨界點，使(2)式成立，

p(c)·u(-c)+［1-p(c)］·u(s0-c)=p(c)·u(s0-α-c-π+β)+［1-p(c)］·u(s0-c-π)．(2)

2．1 不進行再保險時的監(jiān)管成本

從自身效用出發(fā)，保險人不進行再保險需要滿足的條件是

當保險人償付能力不足時，無法對投保人進行足額的賠付，投保人不能得到的保險金額為α-s．由此可得，保險人能夠賠付的保險金的期望為p(c)s，投保人自行承擔的賠償為p(c)·(α-s)．此種情形下，保險人為了自身效用的最大化，需要做的是選擇合適的監(jiān)管水平，即

定理1 當保險人償付能力不足且不進行再保險時，存在臨界財富水平s*使其選擇是否對投保人進行監(jiān)管，且時，則保險人不會對投保人進行監(jiān)管，即 c=0;當s∈(s*，α)時，則保險人會對投保人進行監(jiān)管，且監(jiān)管成本，可知保險人財富足夠少時，其會選擇不監(jiān)管，即c=0;保險人的財富很少時，期望賠付的保險金也很少，想通過提高監(jiān)管程度來降低賠付的保險金幅度也很小，為了自身效用最大化，其會不進行監(jiān)管，即c=0．因此，可以認為有一臨界財富水平s*使其選擇是否監(jiān)管．可以通過模型(6)求得

證明 對式(4)兩邊求c的一階導數，可得

從上式的結果可知，當保險人的償付能力不足時，如果其對投保人進行一定的監(jiān)管，那么監(jiān)管水平與不監(jiān)管時的賠付概率h以及自身償付水平s成正相關．并且賠付概率h越大，對投保人賠付的期望降低幅度就越大，保險人就會愿意進行高水平的監(jiān)管工作;保險人的償付水平越高，其承擔的賠付責任比重越大，其所逃脫的責任越少，這種情況下提高監(jiān)管水平就會大幅地減少自己的賠付金額．因此，保險人是很愿意進行高水平的監(jiān)管的．

2．2 進行再保險時的監(jiān)管成本

若保險人進行了再保險，再保險人就會在投保人發(fā)生損失且要求賠償時，承擔部分賠償責任，這樣就會

若s∈(s*，α)時，則償付水平為s的保險人會對投保人進行一定的監(jiān)管，即監(jiān)管成本c＞0．此時可求出使保險人效用最大化的監(jiān)管成本滿足一階最優(yōu)條件，由式(7)有

把式(1)和保險人的效用函數u(s)=-γe-γs代入式(8)，可得c

把式(1)和保險人的效用函數u(s)=-γe-γs代入式(6)，從而臨界財富水平(即臨界償付水平)s*為有效地解決保險人因財富水平有限導致的償還能力不足的問題．若其進行再保險，為使自身效用最大化需滿足(9)式，

從2．1節(jié)的分析可知，不等式(9)與s0＜s＜α等價．當投保人不要求賠付時，保險人的財富水平為s-π;當投保人要求保險人理賠時，保險人的財富水平變?yōu)閟-π-α+β．那么，保險人此種情況下的期望效用模型為 E［u(c)］=p(c)·u(s-α-c-π +β)+［1-p(c)］·u(s-c-π)．

與保險人對投保人的行為進行監(jiān)管一樣，再保險人也會對保險人的行為進行監(jiān)督．假設存在一個隨機變量θ，表示再保險人能夠監(jiān)督到的保險人對投保人監(jiān)管水平，因為變量θ與再保險人實施監(jiān)督的時間有關，所以再保險人監(jiān)督到的保險人的監(jiān)管水平與保險人真實情況的監(jiān)管水平是存在差異的，即為θ-c．

定義2 設θ=c+ε，其中ε為隨機擾動項，其分布依賴于c．若ε=0，則稱再保險人對保險人是完全監(jiān)督的，即再保險人的監(jiān)督水平與保險人的監(jiān)管水平無差異;若ε特別大，則稱再保險人對保險人是完全不能監(jiān)督的，即再保險人的監(jiān)督水平與保險人的監(jiān)管水平無關．

定理2 當保險人償付水平不足且滿足條件s∈(s0，α)和θ=c時，則有 β=α，c=(ln(λhα))/λ．證明 當θ=c時，有π=π(c，β)=p(c)·β．保險人為使自身效用最大化，滿足的數學模型為

對式(10)兩端分別求c和β的一階偏導數且令偏導數為0，有

把式(1)和保險人的效用函數代入式(11)和式(12)，可得β=α，c=(ln(λhα))/λ．

由此可知，若再保險人能完全監(jiān)督到保險人的監(jiān)管水平，那么保險人會轉移全部的風險，投全額的再保險，同時對投保人進行有效地監(jiān)督．

定理3 當保險人償付水平不足且滿足條件s∈(s0，α)及θ與c無關時，則有

證明 當θ與c無關時，有π=π(β)=p(c)·β．即在再保險人完全不能監(jiān)督時，保險人支付的再保險費僅與再保險合同上規(guī)定的再保險金β有關．保險人為使自身效用最大化，滿足的模型為

同理，對式(13)兩端分別求c和β的一階偏導數且令偏導數為0，有

把式(1)和保險人的效用函數代入式(14)和式(15)，解方程組可得

由此可知，若再保險人完全不能監(jiān)督到保險人的監(jiān)管水平，那么保險人僅會進行部分的再保險．

3 保險人償付能力充足時保險人的監(jiān)管水平

第2節(jié)分析了保險人償付能力不足時存在道德風險，這是一種保險人的欺詐方式．然而，當保險人償付能力充足時，由于其道德水平低下，為了自身利益，也會有欺詐行為發(fā)生．

3．1 不進行再保險時的監(jiān)管成本

利用效用理論可知，保險人不進行再保險時應滿足條件是

因保險人是風險厭惡者，且再保險的保費為π=p(c)·β，不滿足(5)式．可知，保險人一定會進行再保險來提升其自身的效用．因此，本文不再對此種情形進行討論．

3．2 進行再保險時的監(jiān)管成本

眾所周知，保險人進行再保險的目的是為了通過再保險來提高自己的效用，用效用函數描述為

當投保人不要求賠付時，保險人的財富水平為s-π;當投保人要求保險人理賠時，保險人的財富水平變?yōu)閟-π-α+β．那么，保險人此種情況下的期望效用模型為

與2．2節(jié)對比可知，保險人償付水平充足時進行再保險的期望效用模型與其償付水平不足時進行再保險的期望效用模型是一樣的．因此，本文不再對此種情形進行分析．

4 建議

從上面的分析中可以得知，當保險人償付能力不足時，若進行再保險且再保險人對其監(jiān)督水平越高，越可以促進保險人的監(jiān)管水平.這說明再保險人對保險人的行為有著約束作用.但是，保險人不進行再保險時，這種約束就不起作用了.因此，也需要保監(jiān)會和社會大眾對其進行監(jiān)督.

信息不對稱是保險行業(yè)中出現欺詐的主要原因，而且保險人償付能力不足是保險欺詐的主要形式之一，就此我國需加強立法，要求保險人增加信息透明度，定期向社會公眾發(fā)布自己的財政信息.同時，對于違反保險法的公司，要加大處罰力度，對于表現好的保險公司可給予一些獎勵，例如可以通過減少稅收的方式.

［1］ 唐芳.保險公司也欺詐［J］.經營與管理，2006，22(5):20-21.

［2］ 陶存文.中國保險交易制度成本研究［M］.上海:立信會計出版社，2005.

［3］ Sonderman D.Reinsurance in arbitrage-free markets［J］.Insurance:Mathematics and Economics，1999，10(2):191-202.

［4］ Kaluszka M.Optimal reinsurance under mean-variance premium principles［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2001，28(1):61-67.

［5］ 吳嵐，王燕.風險理論［M］.北京:中國財政經濟出版社，2006.