偽噪聲碼承載衛(wèi)星導航電文的潛行器——GNSS衛(wèi)星的運行軌道之二

武漢大學測繪學院 劉基余

20世紀40年代末期，信息論的奠基人香農(nóng)（C.E.Shannon）首先指出，白噪聲形式的信號是一種實現(xiàn)有效通信的最佳信號；但因產(chǎn)生、加工、控制和復制白噪聲的困難，香農(nóng)的設(shè)想未能實現(xiàn)。直到20世紀60年代中期，偽隨機噪聲編碼技術(shù)的問世，噪聲通信才獲得了實際的應用，并隨即擴展到了雷達和導航等技術(shù)領(lǐng)域。在GNSS衛(wèi)星導航應用中，偽隨機噪聲碼（簡稱為偽噪聲碼）是衛(wèi)星導航電文（即數(shù)據(jù)碼D(t)）的承載體，兩者通過模二和加法器（以⊕示之）而成為一種擴頻碼（如圖1所示），進而對L波段載波進行數(shù)字調(diào)相，形成向廣大用戶發(fā)送的導航定位信號。本文主要論述偽噪聲碼在GNSS衛(wèi)星導航應用中的相關(guān)理論及其實用問題。

一、偽噪聲碼的運算規(guī)則

噪聲通信，是采用偽隨機噪聲碼（Pseudo Random Noise Code，簡稱為偽噪聲碼，也稱之為偽碼）。衛(wèi)星導航所用的偽噪聲碼，是噪聲通信的成功實踐。所謂偽噪聲碼，簡而言之，是一個具有一定周期的取值0和1的離散符號串，它具有類似于白噪聲的自相關(guān)函數(shù)。圖2表示一種極簡單的偽噪聲碼，它具有兩種表述形式：信號波形和信號序列。其中，τ0是以秒為單位的碼元寬度；TP是以秒為單位的時間周期，且知TP＝LP×τ0，此處LP是長度周期，也即在一個時間周期內(nèi)的碼元數(shù)目；本例LP＝7，也有用比特作為長度周期的單位（圖示為7比特的長度周期）。在二進系中，信號序列稱為二進符號序列，記作｛x｝；信號波形叫做二進信號波形，以x(t)表示之。兩者的相應關(guān)系如表1所示。根據(jù)所研究的問題不同，選用不同形式來表述偽噪聲碼。

圖1 擴頻碼的形成

圖2 偽噪聲碼的表述形式

表1 偽噪聲碼的二進表述法

當對二進符號序列作模二和（不進位加，它以⊕表示）時；遵循下列規(guī)則：

當對二進信號波形進行相乘運算時，依據(jù)下列規(guī)則：

上述兩種運算方法是等效的，記作

值得注意的是，上述運算法則只適應于二進符號序列（波形）。

圖3 模二加法器框圖

此處，｛x｝和｛y｝分別表示兩個序列，x(t)和y(t)則為兩個相應的波形。圖3表示模二加法器的基本構(gòu)成；它的輸入和輸出高電平均為“0”示之，它的輸入和輸出低電平均以“1”表示，用高低電平兩種工作狀態(tài)，實現(xiàn)二進數(shù)字“0”和“1”的模二和運算。

二、偽噪聲碼的產(chǎn)生

移位寄存器，是產(chǎn)生偽噪聲碼的基礎(chǔ)電路。移位寄存器不僅具有暫時存放數(shù)據(jù)和指令的功能，而且具有移位功能。所謂“移位功能”，是寄存器中所存放的數(shù)據(jù)，可以在移位脈沖的作用下，逐次向左移動或向右移動。

移位寄存器的寄存器單元，一般采用D型觸發(fā)器（如圖4所示），其工作特點是，輸出狀態(tài)等于現(xiàn)時刻的輸入狀態(tài)。圖4中的D=1表示輸入高電位，D=0表示輸入低電位；輸入電位為工作狀態(tài)的建立創(chuàng)造條件，而建立狀態(tài)的具體時刻則由時鐘脈沖CP來決定；即，時鐘脈沖CP是用來控制工作狀態(tài)轉(zhuǎn)移的發(fā)生時刻。在時鐘脈沖CP的作用下，D型觸發(fā)器可以將它的輸入狀態(tài)轉(zhuǎn)移到輸出狀態(tài)，而實現(xiàn)數(shù)據(jù)移位。

如果將若干級（個）D型觸發(fā)器按一定方式聯(lián)接起來，便構(gòu)成一個移位寄存器，圖5是一個由4個D型觸發(fā)器構(gòu)成的四級移位寄存器。若在其輸入端輸入某一個數(shù)碼（電位狀態(tài)），當時鐘脈沖（移位脈沖）串的第一個脈沖（常叫做第一拍）來到時，該數(shù)碼便從觸發(fā)器TR1的輸入端轉(zhuǎn)移到TR1的輸出端（即觸發(fā)器TR2的輸入端）；同理，在第二、三、四個時鐘脈沖的作用下，這個數(shù)碼將從觸發(fā)器TR2的輸入端依次轉(zhuǎn)移到觸發(fā)器TR3的輸入端、觸發(fā)器TR4的輸入端和輸出端，而將一個四位數(shù)碼全部移入寄存器。

圖4 D觸發(fā)器

圖5 四級移位寄存器框圖

偽噪聲碼的產(chǎn)生，不能用一般的移位寄存器，而必須采用一種具有特殊反饋電路的移位寄存器，叫做最長線性移位寄存器（其反饋電路是線性的），或叫做抽頭式反饋移位寄存器（它的英文名稱為：”tapped feedback shift register’and/or’maximal-length linear shift register”），它所產(chǎn)生的偽噪聲碼也叫做m序列。圖6表示一個四級最長線性移位寄存器，或稱四級m序列發(fā)生器。它包括四個D型觸發(fā)器（D1D2D3D4）、模二和反饋電路和時鐘脈沖產(chǎn)生器；圖中的置“1”脈沖，將使m序列發(fā)生器的各個觸發(fā)器之初始狀態(tài)均為“1”，稱之為全“1”狀態(tài)。｛xf｝表示反饋到觸發(fā)器D4的序列，該反饋序列是觸發(fā)器D1D2輸出脈沖串的模二和。所需要的m序列｛x0｝是從觸發(fā)器D1輸出的。

圖6 m序列發(fā)生器的方框圖

m序列｛x0｝的產(chǎn)生過程如下述。當時鐘脈沖的第一拍（脈沖）來到時，Di的“1”狀態(tài)，將轉(zhuǎn)移到Di-1（此處i=4，3，2，1）。因為D1D2兩個觸發(fā)器均處于“1”狀態(tài)，它們的輸出脈沖之模二和為“0”；它被反饋到觸發(fā)器D4的輸入端（見圖6所示）；故表1中狀態(tài)欄內(nèi)的第二列D4處于“0”狀態(tài)。當?shù)诙臅r鐘脈沖來到時，D4的“0”狀態(tài)被轉(zhuǎn)移到觸發(fā)器D3，致使后者從“1”狀態(tài)變成“0”狀態(tài)；D1D2輸出脈沖的模二和仍為“0”，它依舊被反饋到D4的輸入端，致使D4D3D2D1的狀態(tài)分別為0011。在第三拍時鐘脈沖的作用下，D3的“0”狀態(tài)轉(zhuǎn)移到D2觸發(fā)器，D1D2輸出脈沖的模二和還為“0”，致使D4仍處在“0”狀態(tài)，故知D4D3D2D1分別處在0001狀態(tài)。在第四拍時鐘脈沖的作用下，觸發(fā)器D4D3D2D1便分別處在1000狀態(tài)。如此類推，直到第十五拍時鐘脈沖來到時，移存器的各級又處在“全1”狀態(tài)（見表2）。在時鐘脈沖的作用下，周而復始地重復著上述狀態(tài)過程；因此，觸發(fā)器D1的輸出端便輸出一個長度周期為15比特的m序列：

表2 m序列發(fā)生器的狀態(tài)表

上述序列是用觸發(fā)器D1D2輸出脈沖的模二和構(gòu)成的反饋序列，故圖6所示的線性反饋移位寄存器的特征多項式記作

式中，x的肩標（1，2）表示從那一級（D1D2）抽頭。

圖7 變換輸出的序列發(fā)生器

表3 幾種不同的輸出序列

如果圖6的反饋電路和m序列輸出予以變化，便得如圖7所示的序列發(fā)生器。在圖7的情況下，該發(fā)生器的特征多項式為

表3列出了圖7所示移存器的各級狀態(tài)；由該表可見，圖6和7兩個發(fā)生器的反饋序列雖相同，但在圖7的發(fā)生器中，輸出序列是從觸發(fā)器D1D4引出而經(jīng)一個與門輸出的，故其輸出序列為

如果圖7所示的發(fā)生器不是從D1D4通過與門輸出序列，而是從D2D4通過與門輸出序列，則有新的輸出序列

圖7中的反饋序列若不是取自DE1D4，而是用D1D4，此時反饋序列和輸出序列分別為

當用D1D4獲取反饋序列時，輸出序列不是觸發(fā)器D1D4引出，而是從D2D4引出而經(jīng)過一個與門輸出，則有

如果取消圖7中的與門，而從D1觸發(fā)器直接輸出序列，則得到和圖6從D1觸發(fā)器直接輸出的相同序列，即一個長度周期為15比特的m序列

圖6所示的四級m序列發(fā)生器，若僅改變它的反饋聯(lián)接方式（如圖8所示），則可得到不同結(jié)構(gòu)的m序列。比較圖6和圖8所輸出的m序列可見，兩個輸出序列具有相同的周期，但兩者的結(jié)構(gòu)不同。由此可見，m序列的結(jié)構(gòu)僅取決于m序列發(fā)生器的反饋聯(lián)接方式。不同的反饋聯(lián)接方式，產(chǎn)生不同的m序列。若用移位算符X的j次方表示從m序列發(fā)生器第j級的輸出，且以Cj＝0或Cj＝1表示第j級的輸出沒有連接到或連接到模二加法器，以C0＝0，或C0＝1表示模二加法器的輸出沒有連接到或連接到第一級輸入端；這樣，線性反饋聯(lián)接方式由下列多項式f(x)表述

公式（4）被稱作m序列發(fā)生器的特征多項式。圖8所示m序列發(fā)生器的特征多項式為

依據(jù)圖6和圖8所產(chǎn)生的m序列，可見其具有下列特性：

（1）n級移位寄存器所產(chǎn)生的m序列之碼元寬度等于時鐘脈沖的周期τ0；m序列的長度周期LP=2n-1（此處n為移位寄存器的級數(shù)），時間周期TP=LP×τ0=(2n-1)τ0；圖6和圖8所產(chǎn)生的m序列之LP=（24-1）=15bits。

（2）在m序列一個周期中，“1”的個數(shù)比“0”的個數(shù)多1，即“0”元素出現(xiàn)（2n-1-1）次，“1”元素出現(xiàn)2n-1次，而具有平衡性。

（3）對一個周期的m序列，能夠得到一個結(jié)構(gòu)不變的另一個等價平移m序列；例如，m序列｛x｝=111101011001000和該序列的平移序列｛xτ0｝=011110101100100之模二和，得到下列等價平移m序列｛x4τ0｝：

如果平移序列從原來的向前移變成向后移，則有

從上述兩例可見，不論是向前移的平移序列，還是向后移的平移序列，它們與原序列的模二和，其結(jié)果都是一個結(jié)構(gòu)不變的等價平移m序列。

（4）m序列具有良好的相關(guān)性。在一般情況下，若有兩個相同時間周期T的序列x1(t)和x2(t)，則兩者之間的互相關(guān)系數(shù)定義為

式中，τ是x2(t)相對于x1(t)的時間延遲。當x1(t)=x2(t)時，ρ(τ)就是自相關(guān)系數(shù)；通俗地說，相關(guān)系數(shù)ρ(τ)表示序列x1(t)和x2(t)之間的“相似”程度。對于時元tK的離散采樣的自相關(guān)系數(shù)為

圖8 變換反饋的m序列發(fā)生器

上式中的x(tK)x(tK-τ)，按前述二進信號波形乘積法則進行運算求得。對于m序列而言，它的自相關(guān)系數(shù)是

上式中，j等于除j不為0和LP的整倍數(shù)以外的任何數(shù)。上式的圖解如圖9所示，從該圖可知，當τ從0趨近于碼元寬度τ0時，自相關(guān)系數(shù)ρ(τ)從1趨近于-1/LP；當τ從(LP-1)τ0趨近于時間周期TP時，ρ(τ)則從-1/LP趨近于1；這種變化是具有周期性的。這和隨機序列（無周期序列）的自相關(guān)系數(shù)δ(t)之形狀是相似的；僅后者的δ(t)趨近于無窮大，其余各處均為0，且不具備周期性。因此，m序列又被稱為“偽隨機序列”，它具有雙值自相關(guān)特性。

圖9 m序列的自相關(guān)系數(shù)

m序列的互相關(guān)系數(shù)是不同結(jié)構(gòu)m序列之間的相關(guān)系數(shù)，它是這樣計算：先用模二和（或波形積）求出兩個m序列｛xn｝和｛yn-τ｝的新序列；將后者中“0”的個數(shù)（表示｛xn｝和｛yn-τ｝相一致的碼元數(shù)）減去“1”的個數(shù)（表示｛xn｝和｛yn-τ｝｝相異的碼元數(shù)），除以新序列的碼元總數(shù)，便得到m序列的互相關(guān)系數(shù)

例如，現(xiàn)有兩個m序列｛x15｝=111100010011010和｛y15-τ｝=111101011001000，求它們的互相關(guān)系數(shù)

（a）當τ=0時

在新序列中，有11個“0”，有4個“1”，故知

（b）當τ＝τ0，即｛y15-τ｝的首位移到最后一位時，求兩者的互相關(guān)系數(shù)

（c）當τ＝-2τ0，即｛y15-t｝的末兩位數(shù)次移到首兩位時，求兩者的互相關(guān)系數(shù)：

用上述計算方法不難證明，即使兩個結(jié)構(gòu)相同的m序列，如果兩者之間存在時延τ，它們的互相關(guān)系數(shù)總是小于1的；只有調(diào)整其中一個m序列，致使它們之間時延τ等于零，即兩個m序列的碼元“對齊”，此時它們的互相關(guān)系數(shù)方才等于1；這是一個極為重要的實用特性。GPS信號接收機恰好利用互相關(guān)系數(shù)為最大值的特性，捕獲、跟蹤和識別來自不同GPS衛(wèi)星的偽噪聲碼，解譯出它們所傳送的導航電文。

（5）根據(jù)m序列的自相關(guān)系數(shù)，可以求得它的功率譜為

式中，τ0為每個碼元的持續(xù)時間；LP為m序列的長度周期。

從上式可見，m序列和隨機序列一樣具有(sinx/x)2型的頻譜包絡(luò)；但因m序列是周期性的，其頻譜不再是連續(xù)的，而是以（2π/LPτ0）為間隔的離散狀頻譜。

三、幾種特殊偽噪聲碼

正如前文所述，n級線性移位寄存器能夠產(chǎn)生長度周期LP＝2n-1的m序列。在實際應用中，有時要求所用m序列的長度周期短于LP；有時要求所用m序列的長度周期長于甚至遠長于LP。這就是下面要論述的截短偽噪聲碼和復合偽噪聲碼。

1.截短偽噪聲碼

在一個長度周期為LP的m序列中，若截取它的一部分碼元組成長度周期為LP'的新序列（LP'＜LP），該序列叫做m序列的截短序列，或稱截短偽噪聲碼（簡稱為截短碼）。例如，為了獲得一個長度周期LP'＝11的新序列，可以從長度周期LP＝15的m序列中截除一個子序列而獲得該新序列；其具體方法是，在產(chǎn)生15bits m序列的四位線性移位寄存器中，增加一個狀態(tài)檢測器（0011），使其輸出脈沖饋送到模二加法器（如圖10所示）；只有當移位寄存器處于0011狀態(tài)時，狀態(tài)檢測器的輸出才為“1”，移位寄存器處于0011以外的任何狀態(tài)，檢測器的輸出均為“0”。這個“0”輸出加到模二加法器后，不會導致它的輸出變化，只有狀態(tài)檢測器輸出為“1”時，才導致模二加法器的輸出由“0”變?yōu)椤?”；即，一個4級m序列發(fā)生器，附加上一個0011狀態(tài)檢測器以后，導致該m序列發(fā)生器從0011狀態(tài)躍變到1001狀態(tài)（如表4所示），這相當于在原輸出序列中“截除了”1000子序列，故從觸發(fā)器D4輸出的截短碼為

綜上所述，截短偽噪聲碼是在一個m序列中截除一個子序列而形成的，其關(guān)鍵在于選取適宜的檢測狀態(tài)（如上例中的0011狀態(tài)）；在《偽噪聲編碼通信》一書（鐘義信編著，人民郵電出版社出版）中的表4～17列述了幾比特至二千余比特的檢測狀態(tài)，可供使用參考。

圖10 11bits截短碼發(fā)生器

表4 截短序列狀態(tài)

2.復合偽噪聲碼

在實際應用中，往往需要長度周期很大的m序列，而采用二個或二個以上的m序列構(gòu)成復合偽噪聲碼。例如，一個長度周期為15bits的偽噪聲碼，若其碼元寬度為τ0＝1×10-7s，則該偽噪聲碼的一個時間周期TP相應于長為450m的距離。當用它作距離測量時，只能單值地測得450m以內(nèi)的距離。為了單值的測得遠于甚至遠遠于450m以上的距離，一般采用增大偽噪聲碼長度周期的方法；也即用復合偽噪聲碼作測距信號。復合偽噪聲碼（簡稱為復合碼），是由二個或二個以上的周期較短的偽噪聲碼（叫做子碼）構(gòu)成的。若n個子碼的周期分別為P1,P2,…Pn，且Pi≠Pj時，由它們構(gòu)成的復合碼之周期為

上式表明，復合碼的周期比子碼的周期要長得多。例如，由長度周期分別為11bits和15bits的兩個子碼構(gòu)成一個復合碼，其長度周期為165bits；當其碼元寬度τ0仍為1×10-7s時，該復合碼的時間周期相應距離長達4950m，它較15bits子碼增大了11倍。因此，復合碼獲得了較廣泛的應用。

現(xiàn)以兩個子碼為例，說明如何獲得復合碼。為了節(jié)省篇幅，此處僅用兩個極簡單的子碼，即，子碼｛x｝＝1110100和子碼｛y｝＝110，試求由它們構(gòu)成的復合碼｛z｝。其方法如下述：

（1）按式（11）求出復合碼的周期Pz，即

（2）求出復合碼的序列｛z｝；其方法是，將子碼｛x｝重復書寫3次，而子碼｛y｝重復書寫7次，兩者依次排列而進行模二和運算，其結(jié)果便是所需求的復合碼｛z｝：

圖11和圖12分別表示21bits復合碼的波形和生成。從圖示可見，若用兩個子碼構(gòu)成一個復合碼時，可將子碼｛x｝重復Pz／PX次，再將子碼｛y｝重復PZ／PY次，然后逐一地求對應碼元的模二和，便得到復合碼

圖11 復合碼的波形

涉及復合碼的另一個實用問題是，從已知的復合碼及其中的一個子碼，解譯出另一子碼，稱之“解碼”；其方法是按下式求得另一個子碼：

式中，｛z｝為已知的復合碼；｛y｝為已知的子碼；｛x｝為待求出的子碼。

圖12 復合碼發(fā)生器之例

為了驗證上式，現(xiàn)以一個最簡單的復合碼｛z｝＝001100101011111000010及其子碼｛y｝＝110為例，解譯出構(gòu)成該復合碼的另一個子碼｛x｝，其方法如下

從上可見，解碼的過程是，將已知子碼｛y｝重復書寫Pz／Py次，且與復合碼的碼元一一對齊，而求出它們的模二和。另一個待求子碼｛x｝的周期為Pz／Py，故知模二和的結(jié)果中有Py個待求子碼｛x｝；即在上列的模二和結(jié)果中具有三個周期的子碼｛x｝，且知｛x｝＝1110100，這是圖11中的第一個子碼。由此可見，即使機密隱藏在某一個子碼中，也可通過“解碼”求得該子碼，進而破譯出隱藏的機密。

3.Gold組合碼

1967年10月，美國學者R.Gold提出了一種組合碼，并被命名為Gold碼。它是由兩個周期和速率相同而碼元結(jié)構(gòu)不同的m序列組合而成的。例如，現(xiàn)有具有相同周期LP＝2n-1的兩個m序列：｛X｝和｛Y｝，則由它們構(gòu)成的Gold序列為

式中，｛Yj｝為向左移動了j個碼元的｛Y｝序列，而j＝0，1，2，… (2n-2)。

從式（14）可見，由兩個m序列｛X｝和｛Y｝以及左移j個碼元的｛Yj｝，可以構(gòu)成（｛X｝⊕｛Y｝），（｛X｝⊕｛Y1｝）,（｛X｝⊕｛Y2｝）,…（｛X｝⊕｛Y2n-1｝）共（2n-1）個Gold序列，連同原序列｛X｝和｛Y｝，總共有（2n+1）個序列，叫做Gold序列族。

從上可見，Gold碼具有下列特點：

（1）Gold碼的速率和周期與構(gòu)成它的m序列相同（如式（14）所示）。

（2）Gold碼不是m序列，它的互相關(guān)值可用Anderson導出的下述公式進行估算

式中，LP為Gold碼的長度周期。

（3）Gold碼的結(jié)構(gòu)簡單，調(diào)整方便，具有大量的可用碼型，適宜于碼分多址的大量用戶需求。n級移位寄存器能夠產(chǎn)生獨立的m序列數(shù)目為

式中，ψ(2n-1)為尤拉函數(shù)，其數(shù)值等于1，2，3，…2n-2數(shù)值中與（2n-1）為互素的正整數(shù)之個數(shù)；例如ψ(6)，在1，2，3，4，5諸數(shù)中，只有1，5兩個數(shù)與6為互素。表5列出了2～15級線性移位寄存器產(chǎn)生獨立的m序列數(shù)目。由表列數(shù)據(jù)可知，10級線性移位寄存器只能產(chǎn)生60個獨立的m序列；然而，兩個10級線性移位寄存器卻能產(chǎn)生1025個Gold碼，可供1025個用戶作碼分多址應用。因此，GPS衛(wèi)星采用了Gold碼作為易捕碼（C/A碼）。

表5 n級線性移位寄存器產(chǎn)生的m序列數(shù)目

圖13 C/A碼承載衛(wèi)星導航電文的形成

四、結(jié)束語

偽噪聲碼，是一個具有一定周期的取值0和1的離散符號串，它具有類似于白噪聲的自相關(guān)函數(shù)。偽噪聲碼是利用一種抽頭式反饋移位寄存器而產(chǎn)生的，這種移位寄存器所產(chǎn)生的偽噪聲碼也叫做m序列。在后者的基礎(chǔ)上，研發(fā)成功了Gold碼，它被GPS衛(wèi)星用作易捕碼（C/A碼）；C/A碼承載衛(wèi)星導航電文形成過程如圖13所示。由圖可知，GPS衛(wèi)星向廣大用戶發(fā)送的導航信號，是經(jīng)過了兩級“調(diào)制”的調(diào)相波。這也是現(xiàn)代GNSS衛(wèi)星借鑒的導航信號形成方法，而被廣泛采用。

綜觀GNSS衛(wèi)星導航所用，偽噪聲碼的主要用途可概括為下述三方面：一是偽噪聲碼在模二和加法器的作用下，與GNSS衛(wèi)星導航電文形成擴頻碼，進而發(fā)送給廣大用戶；二是偽噪聲碼是GNSS用戶用來測量站星距離的信號，人們常稱之為“測距碼”；三是在碼分多址（CDMA）信號體制下，偽噪聲碼是區(qū)別不同GNSS衛(wèi)星的依據(jù)，用以實現(xiàn)多顆在視衛(wèi)星的有效接收和跟蹤測量。