秦 偉,康 莊,孫麗萍,宋儒鑫
(哈爾濱工程大學 船舶工程學院深海工程技術(shù)研究中心,黑龍江 哈爾濱 150001)
由于圓柱體之間的相互影響,雙圓柱體的渦激振動機理及現(xiàn)象相對于單圓柱體而言更加復(fù)雜。目前,國內(nèi)外的研究者對雙圓柱體的渦激振動機理和現(xiàn)象進行了一定的研究,發(fā)現(xiàn)了影響串列或并列排列雙圓柱渦激振動特性的主要參數(shù),比如兩圓柱體的中心間距、雷諾數(shù)以及兩個圓柱體的約束方式等。
Zdravkovich[1]對雙圓柱的渦激振動受力特性以及尾流形式做了綜述性的介紹,同時指出:對于雙圓柱體,由于兩個圓柱周圍流場的相互影響作用,在同一雷諾數(shù)下,也會表現(xiàn)出和單個孤立圓柱體不同的振動特性和旋渦脫落現(xiàn)象,而且隨著橫向和流向間距比的不同,兩個圓柱體的尾渦特性和受力特性也會有較大的不同。姚熊亮[2]對均勻流中并列剛性和彈性圓柱的流場進行了分類,同時認為脈動升力和阻力系數(shù)與柱的振幅、約化阻尼及兩柱間距有關(guān),對柱型結(jié)構(gòu)而言,合理的響應(yīng)預(yù)報模型取決于流體載荷的系統(tǒng)分析。Williamson[3]對并列雙圓柱體的尾流特性做了深入的研究,發(fā)現(xiàn)兩個圓柱體在T/D >2.2 的特定間距比條件下,并列雙圓柱體下游的尾渦域內(nèi)存在平行渦街同步的現(xiàn)象,即兩個平行渦街表現(xiàn)為反相位(in anti-phase)或者是同相位(in phase)這兩種形式。Sumner[4]也對并列雙圓柱體尾渦進行了研究,發(fā)現(xiàn)其尾渦模態(tài)可能存在3 種形式,分別為單一渦街(Single-bluff-body behaviors)、偏向流動(Biased flow pattern)和平行雙卡門渦街(Parallel vortex streets)形式。具體每個影響區(qū)域的中心間距會隨著雷諾數(shù)、實驗條件和固定方式等的不同而發(fā)生一定的變化。Wang[5]發(fā)現(xiàn)當并列排列的兩個圓柱體之間的中心間距比為1 <T/D <1.1 ~1.2 時,兩個圓柱體可以基本看成一個圓柱體,出現(xiàn)單個卡門渦街。Sumner[4]研究發(fā)現(xiàn)在雷諾數(shù)Re=1 000 ~3 000,中心間距比T/D=1.5 時,出現(xiàn)了偏向流動的現(xiàn)象,圓柱體出現(xiàn)不對稱的尾流運動和高頻率的旋渦脫落模態(tài),其中一側(cè)的尾渦脫落頻率是另一側(cè)的脫落頻率的倍數(shù)關(guān)系,同時Sumner 還指出在T/D =2.5 和T/D =4.5 時發(fā)現(xiàn)了并排雙卡門渦街現(xiàn)象,此條件下兩個圓柱體相互影響比較小,同時兩圓柱體的旋渦脫落頻率相當。
由于渦致雙圓柱振動的過程比單圓柱情況更加復(fù)雜,公開發(fā)表的有關(guān)預(yù)報雙圓柱渦激振動響應(yīng)的經(jīng)驗性模型十分有限。Facchinetti 等[6]采用尾流振子模型對串列排列的雙圓柱渦激振動進行描述,得到的計算結(jié)果能夠在定性和定量上與實驗和數(shù)值模擬結(jié)果保持一致。
本文主要研究二維并列雙圓柱的渦激振動,同時建立一個能夠預(yù)測結(jié)構(gòu)渦激振動響應(yīng)的經(jīng)驗性模型:由于特定間距比條件下的旋渦脫落頻率出現(xiàn)分支,因此假設(shè)用兩個具有不同固有頻率(即斯特勞哈爾頻率)的尾流振子來描述流體對結(jié)構(gòu)的非線性動力作用,同時兩個流體振子均滿足van der Pol 方程,進而得到了結(jié)構(gòu)振子和流體振子的耦合方程組,聯(lián)立組成并列雙圓柱渦激振動的尾流振子模型。采用實例基本數(shù)據(jù),對經(jīng)驗性模型進行了數(shù)值求解,并與實驗測量值進行對比分析,結(jié)果表明模型預(yù)報的響應(yīng)能夠很好地預(yù)計并列雙圓柱渦激振動的結(jié)構(gòu)振動特性和一般規(guī)律。
圖1 橫向并列圓柱布置Fig.1 A schematic layout of two side-by-side cylinders in a cross-flow
二維并列雙圓柱系統(tǒng)的布置如圖1 所示。兩個圓柱的直徑均為D,圓心之間的間距為T,同時考慮在流速為U∞的均勻來流作用下,圓柱沿垂直流向的橫向(Y 軸)運動。Facchinetti 等[7]給出了孤立彈性支承剛性圓柱的結(jié)構(gòu)振動方程,對其進行拓展可以得到雙圓柱系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動方程為:
式中:m=(ms+ma),ms為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量,ma為流體的附加質(zhì)量表示無粘流體的慣性作用力;ma=CaπD2ρ/4,Ca為流體的附加質(zhì)量系數(shù);r =(rs+rf),為結(jié)構(gòu)粘性阻尼;rf為流體附加阻尼,表示流體的粘性作用力;k 為結(jié)構(gòu)的剛度;Y1和Y2分別表示圓柱1 和圓柱2 的橫向位置坐標,分別為結(jié)構(gòu)橫向運動速度和加速度;FVY1和FVY2分別表示脫落的旋渦對圓柱1 和圓柱2 的脈動升力,通常將升力定義為無量綱的升力系數(shù)形式,即FVY1=ρU2DCL1/2 和FVY2=ρU2DCL2/2。
尾流振子方程將結(jié)構(gòu)近壁的尾渦動力特性通過非線性振子來模擬,例如采用van der Pol 方程或者Rayleigh 方程來描述其自激自限的諧振動過程,并與結(jié)構(gòu)振子聯(lián)立構(gòu)成方程組,共同預(yù)測流固耦合系統(tǒng)的響應(yīng)。Bishop 和Hassan[8]首先提出采用一個非線性自激的振子來表示作用在圓柱體上的升力。Hartlen 和Currie[9]以升力系數(shù)作為van der Pol 方程的狀態(tài)變量,給出了尾流振子方程的數(shù)學表達式。國內(nèi)外諸多學者補充并推廣該方法,主要應(yīng)用于研究孤立圓柱體,海洋立管和管道的渦激振動,如郭海燕[10]。
根據(jù)尾流振子模型建立的基本方法,引入無量綱參數(shù)q =2CL/CL0(其中的CL0為參考脈動升力系數(shù)[6])為尾流振子方程變量,同時滿足受強迫激勵的van der Pol 方程,其中強迫項表示結(jié)構(gòu)對流體振子的耦合作用。與單圓柱情況不同,并列圓柱的間距比對斯特勞哈爾數(shù)可能存在影響,圖2 給出了斯特勞哈爾數(shù)隨間距比變化的函數(shù)關(guān)系,可以看到尾渦模態(tài)為偏向流動情況下,可能存在兩個不同的主斯特勞哈爾頻率。因此,假設(shè)在特定的T/D 范圍內(nèi),流場中存在兩個具有不同固有頻率的尾流振子,其表達為:
式中:ε 為van der Pol 方程參數(shù);q1和q2分別表示圓柱1 和圓柱2 的尾流振子變量;ωs1和ωs2分別為圓柱1和圓柱2 相對應(yīng)的旋渦脫落頻率,同時也是流體振子的固有頻率,其與斯特勞哈爾數(shù)的關(guān)系表達為ωs1,2=分別為耦合項。
Facchinetti 等[7]充分研究了單圓柱情況下結(jié)構(gòu)與流體振子的耦合作用,分別對位移、速度、加速度三種耦合形式進行了對比和討論。研究表明強迫項采用結(jié)構(gòu)的加速度形式最為理想,能夠反映共振特性,因此本文中采用的形式寫為:
其中:A1和A2為實驗參數(shù)。
因此,脈動升力系數(shù)可以表示為:
其中:(α1,β1,α2,β2)為模型的經(jīng)驗性參數(shù),分別是間距比T/D 的函數(shù)并滿足:
通過對結(jié)構(gòu)振子方程式(1a)和式(1b)以及尾流振子方程式(2a)和式(2b)進行無量綱化,同時分別引入無量綱時間τ=(k/m)1/2t 和無量綱坐標y =Y/D,最終得到橫向并列雙圓柱的衰減階(Reduced-Order)耦合振子模型為:
其中:此處的導(dǎo)數(shù)理解為對無量綱時間τ 求導(dǎo);(α1,β1,α2,β2,a1,a2)為引入的無量綱參數(shù);λ =r/(mk)為總阻尼比;ωn= (k/m)0.5為結(jié)構(gòu)的固有頻率;μ = m/ρD2為質(zhì)量比;ur= U/fnD 為來流的約化速度;ω1,2=ωs1,2/ωn為頻率比。
模型中的部分參數(shù)可以借鑒Facchinetti 等[7]尾流振子模型參數(shù)確定,本文中取a1=6,a2=6,ε =0.3。尾流振子方程中的頻率ω1和ω2分別代表旋渦的脫落頻率,需要根據(jù)不同尾渦模態(tài)中St隨間距比的變化規(guī)律來確定。參考脈動升力系數(shù)CL01和CL02一般是在固定圓柱條件下測得的,通常與雷諾數(shù)Re 有關(guān)。模型的經(jīng)驗性參數(shù)(α1,β1,α2,β2)需要根據(jù)已有大量實驗數(shù)據(jù)通過曲線擬合或最小二乘法確定其函數(shù)變化規(guī)律,由于現(xiàn)階段可用的實驗數(shù)據(jù)有限,因此這些參數(shù)在具體實驗中給出。
圖2 斯特勞哈爾數(shù)與間距比T/D 的關(guān)系Fig.2 Strouhal number data as a function of transverse pitch ratio T/D
文中對比分析的數(shù)據(jù)來源于Liu 等[11]中高質(zhì)量比并列雙圓柱的數(shù)值模擬實驗結(jié)果和低質(zhì)量比的并列排列雙圓柱的模型實驗測量結(jié)果。
Liu 等對不同間距比條件下的并列雙圓柱進行了有限元CFD 數(shù)值模擬。分析中選取了三組不同的間距比,分別為T/D=1.8、3.0 和1.1。前兩種工況的設(shè)計參數(shù)為:無量綱質(zhì)量比m*=4ms/(ρπD2)=10,質(zhì)量阻尼比m*ξ=0.3。而在工況T/D=1.1 條件下,兩圓柱之間的距離很小,為了避免圓柱相撞需要調(diào)整結(jié)構(gòu)的質(zhì)量,其相應(yīng)的設(shè)計參數(shù)取為無量綱質(zhì)量比為m*=66,質(zhì)量阻尼比為m*ξ =2.0。約化速度均控制在ur=5.0,相應(yīng)的雷諾數(shù)為Re=200。
低質(zhì)量比并列雙圓柱的模型試驗在船模拖曳水池開展。船模拖曳水池長108 m,池寬7 m,水深3.5 m。拖車車速0 ~6.5 m/s,拖車測量橋在垂直方向上的可調(diào)行程為0.4 m。實驗中使用的管模型為圓柱體,采用的材料為硬聚氯乙烯(UPVC),直徑10 cm,壁厚5 mm,管長1.0 m,管底部有配重,兩端用水密封頭密封。模型的輔助設(shè)備包括與拖車固定的框架結(jié)構(gòu)和與圓柱管相連的可擺動連桿架結(jié)構(gòu)組成,圖3 給出了實驗?zāi)P偷难b置圖和三維仿真模擬圖。實驗的相應(yīng)設(shè)計參數(shù)包括,無量綱質(zhì)量比m*=1.4,質(zhì)量阻尼比m*ξ =0.047 6。約化速度的范圍在ur=4.2 ~16.8,相應(yīng)的雷諾數(shù)范圍為Re=2 ×104~8 ×104。
圖3 并列雙圓柱實驗?zāi)P秃蛯嶒炄S仿真模擬Fig.3 The experimental model for two side-by-side cylinders and 3-D simulation
并列雙圓柱的尾流振子模型即式(6a)~(6d)的數(shù)值求解使用的是自適應(yīng)步長的四階龍格-庫塔方法。為了得到無量綱振幅與約化速度的關(guān)系,分別對增加流速和減小流速兩種情況進行計算,其流速增量的大小取為0.01,同時需要滿足后一流速條件下的初始條件取為前一流速的最終結(jié)果。時域模擬的時間控制為至少50 個振動周期,取穩(wěn)定后的結(jié)果進行傅里葉分析從而得到振動的幅值與頻率。
Liu 等[11]首先對不同間距比條件下的固定并列雙圓柱進行了數(shù)值模擬實驗,實驗中可以測得參考脈動升力系數(shù)(CL0)和旋渦脫落頻率,為本模型中經(jīng)驗性參數(shù)的確定提供參考。圖4(a)和4(b)分別給出了參考升力系數(shù)和模型中的經(jīng)驗性參數(shù)隨間距比的變化規(guī)律。
在T/D=3.0 工況下,Liu 等得到了彈性并列雙圓柱的橫向位移(Y/D)響應(yīng)隨時間的變化,如圖5(a)。結(jié)果顯示,兩個圓柱的位移響應(yīng)均為一般的簡諧運動曲線,而且兩者之間的振動互為反相位。根據(jù)已確定的模型參數(shù),對本文模型的方程組(6a)~(6d)進行數(shù)值求解,圖5(b)給出了經(jīng)驗?zāi)P偷念A(yù)報結(jié)果,兩個圓柱的位移響應(yīng)均為簡諧曲線,而且相位相差半個周期,即互為反相位。對比Liu 等[11]的實驗值,可以看到經(jīng)驗?zāi)P皖A(yù)測的振動頻率與其吻合很好,但振動幅值偏小。
圖4 參考升力系數(shù)和經(jīng)驗性參數(shù)隨間距比的變化規(guī)律Fig.4 The reference lift coefficients and the empirical parameters versus spacing ratios
在T/D=1.8 條件下,相應(yīng)的尾渦形為偏向流模式(biased flow pattern)。Liu 等的實驗得到的升力和阻力時序曲線表現(xiàn)為強烈的不規(guī)則性,他們將產(chǎn)生的原因歸結(jié)于尾渦的相互作用,而非轉(zhuǎn)換性質(zhì)(transition behavior)。同時,實驗中監(jiān)測出升力CL 譜存在兩個主脫落頻率。圖5(c)給出了Liu 數(shù)值實驗得到的圓柱位移響應(yīng),可以看到響應(yīng)曲線表現(xiàn)為不規(guī)則性。與此不同,經(jīng)驗?zāi)P皖A(yù)報的圓柱振動中存在“拍”,即表明流體振子的一個頻率與結(jié)構(gòu)的固有頻率相接近,如圖5(d)所示。因此,實驗中表現(xiàn)的強不規(guī)則性可能還包含了流-固之間的耦合作用。
當間距比取為T/D =1.1 時,兩個圓柱之間的距離很近,通常圓柱的位移幅值隨質(zhì)量比的增加而減小,因此選用大質(zhì)量比來保證兩圓柱不會發(fā)生碰撞。Liu 等設(shè)m*=66,并給出了圓柱的位移響應(yīng)曲線,如圖5(e)。從圓柱剪切層脫落的發(fā)展旋渦存在很強的相互作用,同時還受到間隙流的影響,導(dǎo)致位移響應(yīng)中有另一個額外峰值,位移譜也顯示出存在兩個主頻率。圖5(f)給出了經(jīng)驗?zāi)P偷念A(yù)報結(jié)果,其得到的振動頻率和幅值都與實驗結(jié)果一致。
低質(zhì)量比并列雙圓柱渦激振動的模型實驗分別對T/D=4.7,4.2,3.9,3.5,3.0 和2.6 共六種工況進行了研究和討論。圖6(a)和6(b)給出了在間距比T/D=2.6,約化速度ur=6.3 條件下圓柱1 和圓柱2 借助加速度傳感器得到的結(jié)構(gòu)頂部橫向位移加速度結(jié)果,由于提取的信號中存在高頻噪聲,需要對其進行光順濾波處理,本文采用低通與高通濾波方式對原始數(shù)據(jù)進行處理[12]。濾波后的加速度結(jié)果通過數(shù)值積分可以得到橫向位移隨時間的變化曲線,如圖6(c)和6(d)所示。經(jīng)過譜分析從而得到了響應(yīng)的振幅和頻率,如圖6(e),以及斯特勞哈爾數(shù)隨間距比的變化關(guān)系,如圖6(f)所示。
低質(zhì)量比渦激振動的顯著特點是圓柱的位移響應(yīng)幅值相對較大,因此有必要對圓柱體橫向無量綱最大振幅(Y/D)進行討論。數(shù)值求解經(jīng)驗?zāi)P偷姆匠探M,式(6a)~(6d),其中參考升力系數(shù)取為經(jīng)驗值CL01=CL02=0.3,模型的其它經(jīng)驗性參數(shù)的取值及其隨間距比的變化規(guī)律在圖6(g)中給出,對比中高質(zhì)量比的經(jīng)驗性參數(shù)(圖4),可以看到兩者的變化趨勢相近。
圖6(h)給出了T/D=4.7 和單圓柱條件下,模型實驗得到的圓柱最大振幅與約化速度的變化關(guān)系??梢钥吹讲⒘须p圓柱的振幅響應(yīng)及峰值位置與單圓柱的測量結(jié)果接近,因此可以認為兩個圓柱之間的距離較遠,相互之間的影響較小。經(jīng)驗?zāi)P偷念A(yù)報結(jié)果與實驗結(jié)果的趨勢一致,振幅峰值都出現(xiàn)在約化速度ur=6.3附近,隨后最大振幅逐漸減小,但是預(yù)測的峰值數(shù)值偏小。
圖6(i)給出了T/D=2.6 條件下,模型實驗得到的圓柱最大振幅與約化速度的關(guān)系。實驗中發(fā)現(xiàn)圓柱的振幅響應(yīng)在隨約化速度變化的過程中出現(xiàn)了兩個峰值,分別是在約化速度ur=6.3 和12.6 附近,其產(chǎn)生的原因可能是由于該間距比條件下結(jié)構(gòu)所受的流體力存在兩個主頻率,隨著流速的增加兩個主頻率分別激起結(jié)構(gòu)的共振從而出現(xiàn)兩個峰值。經(jīng)驗?zāi)P鸵差A(yù)報出兩個振動峰值,出現(xiàn)的位置和數(shù)值均小于實驗的觀測結(jié)果,但是最大振幅隨約化速度的變化趨勢與實驗結(jié)果基本一致。
圖5 不同間距比條件下數(shù)值模擬和經(jīng)驗性模型得到的Y/D 隨時間的變化Fig.5 Y/D time series for numerical simulation and empirical model under different spacing ratios
本文主要針對并列雙圓柱的渦激振動,建立了一種新的尾流振子模型,用來預(yù)測結(jié)構(gòu)的渦激振動響應(yīng)?,F(xiàn)階段的研究表明,在特定間距比條件下,旋渦的脫落頻率(或斯特勞哈爾頻率)出現(xiàn)分支,即可能存在兩個主脫落頻率。因此,本文提出以兩個具有不同固有頻率的尾流振子來共同描述結(jié)構(gòu)的近壁尾渦動力特性,同時兩個流體振子均滿足van der Pol 方程,進一步推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)振子和流體振子耦合的方程組,用來模擬并列雙圓柱的流固耦合現(xiàn)象。
本文同時給出了經(jīng)驗?zāi)P偷臄?shù)值求解方法,并結(jié)合Liu 等[11]的中高質(zhì)量比數(shù)值模擬實驗和低質(zhì)量比模型實驗提供的設(shè)計數(shù)據(jù),對該經(jīng)驗?zāi)P瓦M行了數(shù)值計算,得到的預(yù)測結(jié)果與實驗結(jié)果進行了對比。分析結(jié)果表明,預(yù)測的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)和最大振動幅值等變化規(guī)律與相應(yīng)的實驗結(jié)果趨勢一致,能夠反映并列雙圓柱渦激振動的結(jié)構(gòu)振動特性和一般規(guī)律。
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