分段線性函數(shù)及其應(yīng)用研究

莊方敏，黃若婷，陳滿春

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東潮州 521041）

在如股票分析，氣象預(yù)測，混沌系統(tǒng)的構(gòu)造、汽車建模參數(shù)分析，非線性電路設(shè)計(jì)等問題，經(jīng)常會(huì)利用曲線來表示數(shù)據(jù)的波動(dòng)，從而揭示問題的走向或本質(zhì)[1].這些問題有些可以直接轉(zhuǎn)換成分段線性函數(shù)的相關(guān)問題，有些則可通過分段線性函數(shù)來擬合逼近.

Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理在學(xué)術(shù)上也受到學(xué)者的青睞.利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，嚴(yán)格證明了經(jīng)濟(jì)的一般均衡的存在性和最優(yōu)性，使其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上形成一個(gè)統(tǒng)一的方法和分析框架[2].Vasile listratescu在文獻(xiàn)[2]的第四章的思路，完善了Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理的泛函分析證明方法，并運(yùn)用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明了純交易市場下一般經(jīng)濟(jì)均衡的存在性.某種特定的情況下，利用不動(dòng)點(diǎn)定理證明市場經(jīng)濟(jì)中的盈虧平衡點(diǎn)（BEP），從而規(guī)避投資的風(fēng)險(xiǎn).盈虧平衡點(diǎn)越低，表明項(xiàng)目適應(yīng)市場變化的能力越大，抗風(fēng)險(xiǎn)能力越強(qiáng)[3].

本文將主要研究用分段線性連續(xù)函數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)的問題，并研究是否可通過求分段線性連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)來得到相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的近似值，且誤差在預(yù)定范圍內(nèi).

1 預(yù)備知識

1.1 n段線性連續(xù)函數(shù)的相關(guān)定義

定義1 設(shè) a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b， y0,y1,y2,……yn∈[ ]a,b，參數(shù)方程稱為定義在[ ]a,b上的一個(gè)分段線性連續(xù)函數(shù)，記為y=?n(x)，其中xi,i∈{0 ,1,……,n-1,n} 稱為?n(x)的分段點(diǎn)，有n+1個(gè)分段點(diǎn)的分段線性連續(xù)函數(shù)稱為n段線性連續(xù)函數(shù).

為了簡單起見，?n(x)有時(shí)也表示為：(x ,y)=(xi+1,yi+1)λ+(xi,yi)(1 -λ).

I=[0 ,1]表示單位閉區(qū)間，為了研究的方便下面以I上的n段線性連續(xù)函數(shù)為主要研究對象.

設(shè)f:[0 , 1]→[0 ,1]是實(shí)值連續(xù)函數(shù)，對任意正整數(shù)n，用Ln(x)表示一個(gè)n段線性連續(xù)函數(shù)滿足如下條件：為分段點(diǎn)，且L(x)=f(x),i=0,1,2,……,n.nii下文中若無特殊說明，一般用{Ln(x) }表示這樣一列與 f(x)相對應(yīng)的函數(shù).

1.2 函數(shù)列一致逼近與一致收斂

定義2[4]設(shè)連續(xù)函數(shù)列{ fn(x) } 與連續(xù)函數(shù) f(x)都定義在I上，若?ε＞0,?N＞0，使得當(dāng)n＞N時(shí)，有則稱函數(shù)列{fn(x)}在I上一致逼近于f(x).其中稱為用fn(x)擬合f(x)的誤差.

上述定義也可簡單表述為：{fn(x)}一致逼近于 f(x)?（等價(jià)于）nli→m∞τn=0.

定義3[5]設(shè)函數(shù)列{(x)}與函數(shù)f(x)定義在同一數(shù)集D上，若?ε＞0,?N＞0，使得當(dāng)n＞N時(shí)，對于一切x∈D都有|fn(x)-f(x)|＜ε，則稱函數(shù)列{ fn(x)}在D上一致收斂于 f(x).

1.3 布勞威爾（Brouwer）不動(dòng)點(diǎn)

定義4[6]設(shè)K是實(shí)數(shù)集R的子集， f:K→K是K到K自身的函數(shù)，若存在一點(diǎn)x∈K，使得f(x)=x則稱 f(x)存在布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)，并稱x是 f(x)的一個(gè)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)，簡稱不動(dòng)點(diǎn).

關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)有下面著名的結(jié)論.

定理1[6]函數(shù)F(x)是閉區(qū)間[a , b]到[a , b]上的連續(xù)函數(shù)，則F(x)至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)論

2.1 用分段線性連續(xù)函數(shù)逼近連續(xù)函數(shù)

定理2 設(shè)f(x)是I到I上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)列{Ln(x) } 一致收斂于 f(x).

證明 由于f(x)在I上連續(xù)，則 f(x)在I上一致連續(xù).即對于任給的ε＞0，存在著δ(ε )＞0，對于任意 x′,x″∈[0 ,1] 只要 | x′-x″|＜δ(ε)，就有 | f(x′)-f(x″)|＜ε.

因?yàn)閙in{ f (ai),f(ai+1) }≤Lni+1(x)≤max{ f (ai),f(ai+1) },

其中Lni+1(x)表示[ai,ai+1]上對應(yīng)的函數(shù)段，即 (i + 1)第段線性函數(shù).所以，

其 中 fi+1(x)表 示 f(x)在[ai,ai+1]上 對 應(yīng) 的 函 數(shù) ， 即 |fi+1(x)-Lni(x)|＜max則對于有 | f(x)-Ln(x) |＜ε成立.故在[0 , 1]上，存在函數(shù)列{Ln(x) } 一致收斂于連續(xù)函數(shù) f(x).

下面引理說明一致收斂與一致逼近的關(guān)系

引理1 設(shè)連續(xù)函數(shù)列{ fn(x) } 與連續(xù)函數(shù) f(x)都定義在I上，{ fn(x) } 一致收斂于 f(x)，則{ fn(x) } 一致逼近于 f(x).

證明 由于{ fn(x) }一致收斂于f(x)，對于任給的ε＞0，存在著N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)就有對任意x∈I成立，所以即{ fn(x) } 一致逼近于 f(x).

[注1]這個(gè)引理證明了一致收斂是一致逼近的充分條件.但一致收斂并非一致逼近的必要條件.例如，取 fn(x)=(1 -x)n,f(x)=0,x∈[0 , 1]，則即 fn(x)一致逼近于 f(x).但對任意n∈N+， | fn(0)-f(0)|=1，所以{ fn(x) } 不一致收斂于 f(x).

由定理2和引理1可得下面的推論.

推論1 對于I到I的連續(xù)函數(shù) f(x)，分段線性函數(shù)列{Ln(x) }一致逼近 f(x).

2.2 利用分段線性連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)

本節(jié)主要研究是否可以找到某個(gè)分段線性連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)作為連續(xù)函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的近似值.為此，證明了下面的結(jié)果.

定理3 設(shè)f(x)是I到I的連續(xù)函數(shù)，則對任意的實(shí)數(shù)ε＞0，存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，若x?是Ln(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則存在 f(x) 的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) x′滿足 | x?-x′|＜ε .

大力開展森林防火宣傳工作。一是投入110萬元，采購森林防火智能預(yù)警卡口100個(gè)，安裝在重點(diǎn)林區(qū)關(guān)鍵地段，及時(shí)監(jiān)測進(jìn)入林區(qū)的人員和車輛；二是制作安裝大型森林防火警示牌140個(gè)，提醒進(jìn)山人員注意森林防火；三是編制印刷《森林防火宣傳手冊》、《防火通告》、《倡議書》等宣傳材料11萬份，發(fā)放到全市各林區(qū)，努力營造良好的森林防火氛圍。

（1）若 x?是 Ln(x)的分段點(diǎn)，則 f(x?)=Ln(x?) =x?，取 x′=x?即可.

（2）若 x?不是 Ln(x)的分段點(diǎn)，則x?落在某個(gè)分段區(qū)間[ai,ai+1]的內(nèi)部中.

若ai+1是不動(dòng)點(diǎn)，則該點(diǎn)也是 f(x)的不動(dòng)點(diǎn)且與x?的距離不超過ε.

若ai+1不是不動(dòng)點(diǎn)，則 f(ai+1)≠ai+1,所以 f(ai+1)-ai+1＞0或 f(ai+1)-ai+1＜0.

同理可證若 f(ai+1)-ai+1＜0則 f(ai)-ai＞0，即 f(ai+1)-ai+1與 f(ai)-ai總是異號.

因?yàn)閒(x)-x在[ai,ai+1]上連續(xù)，由零點(diǎn)定理知，存在x′∈(ai,ai+1)使得 f(x ′)-x′=0.x′即為所求.證畢.

[注2]本定理可通過求分段線性連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)作為求相應(yīng)函數(shù)一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的近似值.

取N2＞0，使得當(dāng)k＞N2時(shí)，有此時(shí)

取N=max{N1,N2}，則當(dāng)n＞N時(shí)，有公式（1）、（2）同時(shí)成立；

2.3 分段線性連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)算法

若 y=?n(x)是I→I上的一個(gè)分段線性連續(xù)函數(shù)，則由定理1知?n(x)存在不動(dòng)點(diǎn)，如果知道?n(x)的表達(dá)式，可以找出?n(x)的所有不動(dòng)點(diǎn).

設(shè) y=?n(x)的表達(dá)式是其中

0=x0＜x1＜x2＜…＜xn=1,y0,y1,y2,……,yn∈[ ]0,1，皆為已知的數(shù).

任取i∈{ }

0,1,……,n-1，下面分情況討論

可求出

若 λ∈[0 , 1] ，則 x?=xi+1λ+xi( 1 -λ)∈[xi,xi+1]且 ?n(x?) =x?，所以 x?是 ?n(x)在[xi,xi+1]上的唯一不動(dòng)點(diǎn).

若λ?[0 , 1]，則?n(x)在[xi,xi+1]上沒有不動(dòng)點(diǎn).

（2）若xi=yi且xi+1=yi+1，此時(shí)對任意λ∈[0 , 1]方程組（1）都成立，因此[xi,xi+1]上的點(diǎn)都是?n(x)的不動(dòng)點(diǎn).

（3）若 xi+1+yi-xi-yi+1=0且 xy≠yi，此時(shí)?n(x)在[xi,xi+1]的圖像是一段斜率為1的線段，?n(x)在[xi,xi+1]上沒有不動(dòng)點(diǎn)，若不然，方程組（3）有解，將方程組（3）的兩個(gè)方程相減得(xi+1+yi-xi-yi+1)λ+xi-yi=0，即 xi=yi這與 xi≠yi矛盾.

[注1]根據(jù)上面的分析，可知一個(gè)分段線性連續(xù)函數(shù)，在每一個(gè)分段區(qū)間上的不動(dòng)點(diǎn)只有三種情況：要么沒有不動(dòng)點(diǎn)，要么只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，要么整個(gè)區(qū)間上的點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn).

利用matlab軟件按上述不動(dòng)點(diǎn)的算法可編寫求分段線性連續(xù)函數(shù)所有不動(dòng)點(diǎn)的程序，程序見附錄.

3 相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用

例1 對于市場中的某單一商品，設(shè)其對應(yīng)的供給曲線為x(t)，需求曲線為y(t)，如圖1所示.廠家該如何確定生產(chǎn)數(shù)量.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，供給曲線就是邊際成本曲線，需求曲線就是邊際收益曲線，市場力量總會(huì)把該商品市場推向均衡，即圖1中的A點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)資源的有效配置.[4]

對于給定的數(shù)量t，會(huì)有相應(yīng)的x(t),y(t)與之對應(yīng)，利用matlab，畫出以x(t),y(t)為坐標(biāo)軸的散點(diǎn)圖，利用擬合工具進(jìn)行擬合，求出需求與供給的關(guān)系式 f(x).由定理3和定理4，存在分段線性函數(shù){Ln(x) }一致逼近f(x)，利用程序求出ln(x)的不動(dòng)點(diǎn)，該點(diǎn)可近似看成 f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即為所求.

圖1 供需均衡曲線圖

[1]韓文蕾.中國股票市場的非線性分析規(guī)劃[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2006：22-24.

[2]ISTRATESCU V l.Fixed PointTheory(Au Introdurium)[M].Reidel，1981.

[3]邁克爾·帕金，羅賓·巴斯.微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)原理（第二版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2001：90-134.

[4]張韻華，奚梅成，陳效群.數(shù)值計(jì)算方法與算法（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001：26-36.

[6]張奠宙，顧鶴榮.不動(dòng)點(diǎn)定理[M].沈陽：遼寧教育出版社，1998：35-150.

附錄

Matlab求不動(dòng)點(diǎn)程序編碼：