共軛梯度法解一維參數(shù)識別問題

馬衍波，瞿 丹

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東潮州，521041)

1 問題引入

考慮一維穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散方程

帶有Dirichlet邊值條件

為克服不適定性，利用正則化技術(shù)，把反問題的解轉(zhuǎn)化成求約束優(yōu)化問題

所謂正問題是指給定q(x)和g(x)來確定參數(shù)u(x)，而反問題是給定u(x)和g(x)來確定參數(shù)q=q(x).

該模型的一個重要應(yīng)用是逆地下水滲流問題，它要求根據(jù)穩(wěn)態(tài)情況的狀態(tài)變量u的值來確定地下水渣滓的擴(kuò)散性q.該模型的另一個重要應(yīng)用是物體的穩(wěn)態(tài)溫度分布情況.雖然正問題是適定問題，反問題在Hadama意義下是不適定問題，即：問題的解不存在，或者即使存在，也不連續(xù)依賴于觀測數(shù)據(jù)u(x).而作為觀測數(shù)據(jù)u(x)，不可避免帶有誤差，所以會帶來q無窮遠(yuǎn)偏離真實(shí)值.

擴(kuò)散方程反問題引發(fā)國內(nèi)外眾多研究人員關(guān)注，其數(shù)值解法一直是一個熱點(diǎn)研究問題（文獻(xiàn)[1-4]），然而由于該問題的非線性性，使得該問題的研究進(jìn)展緩慢；

將正問題用抽象的算子方程表示為

此處J(q)為正則化泛函，根據(jù)先驗(yàn)信息選取不同的J(q)，常見的是Tikhonov正則化.α＞0為正則參數(shù).顯然，上述約束優(yōu)化問題等價(jià)于如下的無約束優(yōu)化問題

對于上述非線性優(yōu)化問題，已存在多種有效的數(shù)值計(jì)算方法，例如高斯-牛頓法或信賴域方法（文獻(xiàn)[4,5]）.本文利用伴隨算法求出無約束問題的梯度，借助共軛梯度法在解決非線性不適定問題的有效性，得到問題的解，該方法不需要計(jì)算Hessian矩陣，計(jì)算時(shí)間大為減少.

2 伴隨方法求梯度

設(shè)算子A(q)線性可逆，且Frechet可微，由

得

得到最小二乘問題的梯度分量表示

i=1,2…n,u是方程（2）的解，v是方程A(q)*v=-r(q)的解，稱該方程為伴隨方程.

通過伴隨方法求得梯度，可以得到共軛梯度算法如下：

Step 1：給定初值q0及終止條件；

Step 3：更新搜索方向 pk=-gk+βk-1pk-1，其中 βk-1=δk/δk-1；

Step 4：利用線搜索方法確定步長αk；

Step 5：令qk=qk-1+αkpk，直到終止條件滿足后終止.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

取n=400,h=1/n,xi=ih，用有限差分方法對方程（1）離散化，并記離散算子方程為

若qi＞0矩陣A(q)對稱正定.

對于參數(shù)q的計(jì)算，極小化泛函

其中正則項(xiàng)

L為n×n階帶有Neumann邊界條件的離散拉普拉斯矩陣：

選擇不同p,通過p計(jì)算u（這是個適定問題），對u加上噪聲得到uη，通過共軛梯度法求得恢復(fù)解，計(jì)算結(jié)果見圖1.真實(shí)解與計(jì)算解的對比：真實(shí)解為實(shí)線，計(jì)算解為虛線，其中噪聲水平δ=0.01.

圖1 連續(xù)圖形的恢復(fù)

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