計(jì)及次近鄰作用二維單原子正方晶格振動(dòng)的色散關(guān)系

陳志遠(yuǎn),張全坤,謝菊芳

(1.湖北科技學(xué)院核技術(shù)與化學(xué)生物學(xué)院,湖北 咸寧 437100;2.武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072;3.湖北大學(xué)物理學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

0 引言

晶格振動(dòng)色散關(guān)系是晶格動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,它與晶體材料的性質(zhì)如熱學(xué)性質(zhì)[1]、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)電性[2]、磁性、結(jié)構(gòu)相變[3]等密切相關(guān).對(duì)各種晶體材料晶格振動(dòng)色散關(guān)系的研究,不僅有助于人們了解各種材料奇特性質(zhì)產(chǎn)生的微觀機(jī)理,而且有利于發(fā)現(xiàn)材料的新特性.因此,研究晶格振動(dòng)的色散關(guān)系具有十分重要的意義.眾所周知,理論上對(duì)任何實(shí)際晶體振動(dòng)的研究都要經(jīng)過(guò)一系列的簡(jiǎn)化,以期達(dá)到求解的簡(jiǎn)便和結(jié)果的正確性,又能表征出其物理實(shí)質(zhì).于是,對(duì)晶格振動(dòng)色散關(guān)系的研究,通常在簡(jiǎn)諧近似和周期性邊界條件下研究最近鄰原子間作用下的晶格振動(dòng),并且多數(shù)都是針對(duì)一維晶格.在此基礎(chǔ)上人們也研究了非周期性邊界[4-5]、多近鄰近似[6-8]以及非簡(jiǎn)諧項(xiàng)[9]等條件下的一維晶格振動(dòng)色散關(guān)系,發(fā)現(xiàn)了很多新奇的結(jié)果.但是,有關(guān)二維或三維晶格振動(dòng)色散關(guān)系的研究并不多見(jiàn)[10-11].因此,本文中借助晶格動(dòng)力學(xué)理論對(duì)二維單原子正方晶格振動(dòng)的色散關(guān)系進(jìn)行理論推導(dǎo),并分析和討論次近鄰原子作用對(duì)色散關(guān)系的影響,從而得到其色散關(guān)系具有不同于一維單原子鏈的特征.

1 晶格振動(dòng)模型和色散關(guān)系

1.1晶格振動(dòng)模型設(shè)晶體的原胞數(shù)為N,每個(gè)原胞中有1個(gè)原子,原子的質(zhì)量為M.在簡(jiǎn)諧近似下,簡(jiǎn)單晶體振動(dòng)的哈密頓量為[12]:

(1)

(2)

由于晶體的平移對(duì)稱(chēng)性,第n個(gè)原子沿α方向的一個(gè)微小位移可以表示為:

(3)

(4)

其中

(5)

|Dαβ(k)-ω2δαβ|=0

(6)

(6)式涉及3×3矩陣對(duì)角化,(4)式?jīng)Q定每個(gè)振動(dòng)模的3個(gè)本征頻率和相應(yīng)的3個(gè)極化向量ekσ.

ω=ωσ(k) (σ=1,2,3)

(7)

極化向量滿足正交性和完備性條件[14]:

(8)

根據(jù)原子之間相互作用的力常數(shù)φαβ(n,m)的性質(zhì)[12-13],在周期性邊界條件下,晶體具有平移對(duì)稱(chēng)性意味著力常數(shù)φαβ(n,m)僅依賴(lài)于R(n)-R(m);并且,當(dāng)原子整體作剛性位移時(shí),任意給定一個(gè)原子n受到其它原子作用力之總和應(yīng)為零,即

(9)

為了計(jì)算原子之間相互作用的力常數(shù),用uβ(m)表示第m個(gè)原子沿β方向與第n個(gè)原子的相對(duì)位移.由于第m個(gè)原子產(chǎn)生位移的影響,作用在第n個(gè)原子上的力沿α方向的分量為:

(10)

這里eβ(m)表示沿R(m)方向的單位矢在β方向上的分量,γm表示第n個(gè)原子和第m個(gè)原子之間的彈性耦合常數(shù).因此,所有其他原子作用于第n個(gè)原子的沿α方向的合力為:

(11)

將(11)式子和(2)式進(jìn)行比較,并根據(jù)φαβ(n,m)的定義得到:φαβ(n,m)=-γmeα(m)eβ(m)

(12)

圖1 二維單原子正方晶格

1.2色散關(guān)系考慮一個(gè)二維單原子正方晶格,晶格常數(shù)為a.如圖1所示,將參考原子標(biāo)識(shí)為0,與其最近鄰原子標(biāo)識(shí)為1～4，次近鄰原子標(biāo)識(shí)為5～8,參考原子與最近鄰原子和次近鄰原子間的彈性耦合常數(shù)分別是γ1和γ2.

選好直角坐標(biāo)系并將參考原子0放置于坐標(biāo)原點(diǎn)處,則可以設(shè)置與參考原子0最近鄰和次近鄰不同原子位矢的一系列單位矢量為:

由于已經(jīng)編號(hào)了近鄰原子,因此可方便地寫(xiě)出力常數(shù)φαβ(0,m)代替φαβ(n,m).根據(jù)(12)式,可確定原子間作用的力常數(shù)為:

根據(jù)(9)式的求和規(guī)則,第0個(gè)原子的自身力常數(shù)為:

φxx(0,0)=-[φxx(0,1)+φxx(0,2)+φxx(0,3)+φxx(0,4)+φxx(0,5)+
φxx(0,6)+φxx(0,7)+φxx(0,8)]=2(γ1+γ2).

同理,φyy(0,0)=2(γ1+γ2).

根據(jù)(5)式,動(dòng)力學(xué)矩陣是一個(gè)2×2矩陣,其相應(yīng)的矩陣元素為:

類(lèi)似地,

根據(jù)(6)式久期方程|Dαβ(k)-ω2δαβ|=0,可得:

(13)

將Dxx(k),Dxy(k),Dyx(k),Dyy(k)的相應(yīng)值代入(13)式中,可以得到晶格振動(dòng)的本征頻率:

(14)

2 結(jié)果分析與討論

圖2 正方晶格的第一布里淵區(qū)

由于動(dòng)力學(xué)矩陣是倒易點(diǎn)陣的周期函數(shù),因此晶格振動(dòng)的頻率也是倒易點(diǎn)陣的周期函數(shù),只需在第一布里淵區(qū)中討論格波色散關(guān)系.二維單原子正方晶格的第一布里淵區(qū)如圖2所示,其中高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Γ(0,0),X(π/a,0)和M(π/a,π/a).色散關(guān)系曲線具有k=0時(shí)ω=0特征的格波為聲學(xué)模;當(dāng)k=0時(shí)ω≠0的格波為光學(xué)模,因此,容易證明[14]本文中的二維單原子正方單晶格中全部格波都屬于聲學(xué)模,并且在第一布里淵區(qū)中每個(gè)k對(duì)應(yīng)兩支聲學(xué)波.下面求第一布里淵區(qū)中高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(線)上的ω(k).

2.1第一布里淵區(qū)中沿3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系根據(jù)(14)式可以得到第一布里淵區(qū)中沿3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系.

(15)

(16)

相對(duì)應(yīng)的極化向量通過(guò)正交關(guān)系(8)式得到,有eΔ1·eΔ2=0,并將其代入(4)式求得:

(17)

(18)

同理,相對(duì)應(yīng)的極化向量eΣ1·eΣ2=0,并將其代入(4)式求得:

(19)

(20)

相對(duì)應(yīng)的極化向量eZ1·eZ2=0,并將其代入(4)式求得:

eZ1=(1,0),eZ2=(0,1).

它們與Z點(diǎn)波矢方向(Γ-Z連線方向)既不平行,也不垂直,說(shuō)明沿Z≡(X-M)線上的格波既非縱波,又非橫波.因此,晶體中的格波只有沿某些特殊k方向傳播時(shí),才有縱波與橫波之分.這是晶體與各向同性連續(xù)介質(zhì)的不同之處.

2.2次近鄰原子間作用對(duì)第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向色散關(guān)系的影響為簡(jiǎn)單起見(jiàn),將有關(guān)物理量取為無(wú)量綱的常數(shù),如原子質(zhì)量M取單位質(zhì)量,晶格常數(shù)a取單位長(zhǎng)度,最近鄰原子間和次近鄰原子間相互作用的強(qiáng)弱通過(guò)彈性耦合常數(shù)γ1和γ2來(lái)描述.

(ⅰ)當(dāng)γ1≠0,γ2=0時(shí),即只考慮最近鄰原子間作用,不考慮次近鄰原子間作用.

若給定γ1=0.8,γ2=0時(shí),圖3顯示了只考慮最近鄰原子間作用下第一布里淵區(qū)中沿3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系曲線.從圖3可明顯看出在缺乏次近鄰原子作用下,Γ-X方向聲頻支橫波的頻率處處為零;X-M方向高頻聲頻支格波每點(diǎn)頻率相等,即無(wú)色散;Γ-M方向聲頻支縱波和橫波色散關(guān)系曲線重合,即每點(diǎn)頻率簡(jiǎn)并.上述情況表明,只考慮最近鄰原子間作用的二維單原子正方晶格的色散關(guān)系與一般固體物理教材[15]中一維單原子晶格振動(dòng)色散關(guān)系既有相似之處,又有顯著的差異.

(ⅱ)當(dāng)γ1≠0,γ2≠0時(shí),即考慮最近鄰原子間作用和次近鄰原子間作用.

若給定γ1=0.8,當(dāng)γ2=0.1、0.2、0.3時(shí),圖4～6分別給出了第一布里淵區(qū)中沿3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系曲線.從圖4～6中可看出每一種對(duì)稱(chēng)方向都存在兩條色散關(guān)系曲線,并且縱波頻率高于橫波頻率.

圖3 γ1=0.8,γ2=0時(shí)第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系曲線

圖4 γ1=0.8,γ2=0.1時(shí)第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系曲線

圖5 γ1=0.8,γ2=0.2時(shí)第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系曲線

圖6 γ1=0.8,γ2=0.3時(shí)第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系曲線

圖3～6顯示,隨著次近鄰原子間作用的增強(qiáng),Γ-X方向縱波和橫波聲子的頻率都不斷增大(除Γ點(diǎn)外);X-M方向,當(dāng)波矢k趨近M點(diǎn)的過(guò)程中兩聲學(xué)波聲子頻率都增大,但增大的幅度不斷減小,到M點(diǎn)時(shí)頻率穩(wěn)定不變;Γ-M方向橫波聲子頻率保持不變,但縱波聲子頻率不斷增大(除Γ點(diǎn)和M點(diǎn)外),并且當(dāng)4γ2>γ1時(shí)縱波聲子頻率在第一布里淵區(qū)內(nèi)有極大值出現(xiàn),這是與一維單原子晶格振動(dòng)的頻譜不同之處.此外,從圖3～6中我們發(fā)現(xiàn),Γ點(diǎn)和M點(diǎn)聲子頻率分別是簡(jiǎn)并的,并且其頻率大小不受次近鄰原子間作用的影響,而X點(diǎn)聲子頻率是非簡(jiǎn)并的.

3 結(jié)論

本文中利用晶格動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)了計(jì)及次近鄰原子作用下二維單原子正方晶格振動(dòng)的色散關(guān)系,得到第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向的色散關(guān)系表達(dá)式,沿每一種對(duì)稱(chēng)方向都有兩支聲學(xué)波,其中Γ-X和Γ-M方向有一支縱波和一支橫波,而X-M方向兩支聲學(xué)波既非縱波又非橫波.分析討論了次近鄰原子間作用對(duì)第一布里淵區(qū)中3種特殊對(duì)稱(chēng)方向色散關(guān)系的影響.結(jié)果表明:在缺乏次近鄰原子間作用下Γ-X方向只有一支縱波的色散關(guān)系曲線,而橫波的頻率處處為零;X-M方向高頻聲學(xué)波頻率處處相等,即無(wú)色散;Γ-M方向縱波和橫波色散關(guān)系曲線重合,即每點(diǎn)頻率簡(jiǎn)并.當(dāng)考慮次近鄰原子間作用,隨著次近鄰原子間作用的增強(qiáng),縱波的頻率都不斷增大,且縱波的頻率高于橫波的頻率,Γ-X方向橫波聲子不斷被激發(fā),X-M方向兩支聲學(xué)波頻率都增大,Γ-M方向橫波聲子頻率處處保持不變,但當(dāng)4γ2>γ1時(shí)縱波聲子頻率在第一布里淵區(qū)內(nèi)出現(xiàn)極大值.布里淵區(qū)中高對(duì)稱(chēng)Γ點(diǎn)和M點(diǎn)聲子頻率是簡(jiǎn)并的,并且其頻率大小不受次近鄰原子間作用的影響,而在低對(duì)稱(chēng)X點(diǎn)聲子頻率是非簡(jiǎn)并的.本文中的研究結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的研究結(jié)果一致,表明我們使用的模型正確可靠.

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