相交體的凸性研究及Busemann定理的一點注記

魏超

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715)

1 預(yù)備知識

本文在Rn(n≥2)中考慮,Sn-1表示n-1維單位球面.

如果一個緊集具有非空內(nèi)部,我們就稱這個緊集為體.定義一個關(guān)于原點的星形集K的徑向函數(shù):

ρK(u)=max{λ≥0:λu∈K},u∈Sn-1

(1.1)

更進(jìn)一步地,如果ρK(u)是關(guān)于u的正的連續(xù)函數(shù),則稱K為星體.

將ρK(u)的定義域擴充為Rn{0},我們不難發(fā)現(xiàn)ρK(u)是-1階齊次的,即ρK(λu)=λ-1ρK(u).

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Lutwak[1]首先引入了一個星體K的相交體IK這一概念.IK是通過它本身的徑向函數(shù)來定義的:

ρIK(u)=|K∩u⊥|,u∈Sn-1

(1.5)

這里,u⊥表示與向量u垂直的超平面,也就是說u⊥={x∈Rn:x·u=0},其中x·u表示Rn中x與u的普通內(nèi)積.

|A|k=|A|表示集合A的k維Lebesgue測度.對于向量x∈Rn,|x|表示x的模長.

我們關(guān)注的是星體K的相交體IK的凸性.這方面的一個重要結(jié)果就是經(jīng)典的Busemann定理[2],敘述如下:

定理1.1[2]設(shè)K為Rn中一個關(guān)于原點對稱的凸體,那么它的相交體IK也是凸的.

Berck[3]最近給出了Busemann定理的一個全新證明.Busemann定理所討論的對象是凸體,而在實際情況下,我們所遇到的體常常又是非凸的,本文中一個主要目的就是對p-凸體的相交體的凸性作了探討,并得到一些結(jié)果.

Busemann在1953年給出了下列一個定理:

(1.6)

是伴隨某體K的Minkowski范數(shù).

這里,我們不難發(fā)現(xiàn):ρIK(u)=|K∩u⊥|=‖u‖-1,因而定理1.2中的范數(shù)是定義在IK上的.

A Giannopoulos和V D Milman在2000年又得到了下列一個定理:

定理1.3[5](A Giannopoulos)設(shè)K為Rn中的對稱凸體,1≤k≤n,E為Rn中的(k-1)維子空間,對任意的z∈E⊥,定義

E(z)=span(z,E)={x+tz:x∈E,t>0}

(1.7)

(1.8)

是一個定義在E⊥上的Minkowski范數(shù).

本文中的另一個結(jié)果就是推廣了定理1.3并給出了相交體的對偶Brunn-Minkowski不等式.

2 主要結(jié)果

命題2.1 當(dāng)0

命題2.1的證明設(shè)K為p1-凸體.根據(jù)p-凸體的定義,我們有:當(dāng)x,y∈K時,

即K是p2-凸體.證畢.

我們自然地會問:如果K是一個對稱p-凸體,那么對于某些q而言,K的相交體IK是否必為q-凸體？答案是肯定的,這正是我們得到的第一個重要結(jié)果,如下列定理2.2所述:

另外,我們推廣了定理1.3,得到了另一種表現(xiàn)形式的Minkowski范數(shù),這是我們得到的第二個重要結(jié)果,即下述定理2.3:

定理2.3 設(shè)K是Rn中的對稱凸體,1≤k≤n,E為Rn中的(k-1)維子空間,對任意的z∈E⊥∩Sn-1,定義

E(z)=span(z,E)={x+tz:x∈E;t>0},

(2.1)

是一個定義在E⊥∩Sn-1上的Minkowski范數(shù).

定理2.3的證明根據(jù)Zhang[6]里的內(nèi)容,我們知道,當(dāng)考慮一個定義在支持函數(shù)上的函數(shù)F(hK)=V(K1,…,Kn-1,K)時,利用混合體積的單調(diào)性,有下式成立:F(f)≥0,當(dāng)f≥0

(2.2)

(2.3)

根據(jù)(2.3)式,我們有

(2.4)

實際上,V(K∩E(z))=|K∩E(z)|k.又有|z|=1,這樣,(2.1)式便可寫成:

(2.5)

根據(jù)定理1.3,我們得到:函數(shù)(2.1)式是一個定義在E⊥∩Sn-1上的Minkowski范數(shù).證畢.

根據(jù)定理2.3,我們有:

(2.6)

外部因素主要包括一個企業(yè)所處的地域、國家宏觀經(jīng)濟發(fā)展水平、相關(guān)政策與法律法規(guī)、高管人才狀況、行業(yè)部分特點等。其中，在相關(guān)政策與法律法規(guī)、行業(yè)部分特點兩條中，國企高管薪酬的體現(xiàn)比較明顯，因為這些企業(yè)存在壟斷、部分壟斷或權(quán)力支撐等問題，它的經(jīng)營條件、環(huán)境對比非國有企業(yè)具有先天優(yōu)勢。事實上，這也是國企高管薪酬備受爭議的關(guān)鍵所在。除此之外，在外部環(huán)境因素中，關(guān)注的焦點仍是薪酬的競爭力。

本文的第三個主要結(jié)果就是給出了新意義下相交體的對偶Brunn-Minkowski不等式, 即下述定理:

定理2.4 設(shè)K,L是Rn中的對稱凸體, 那么

(2.7)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L位似.

(2.8)

對于u∈Sn-1, 由于

(2.9)

由(1.4)式,有

(2.10)

利用Minkowski積分不等式, 我們有

(2.11)

而我們知道

綜合以上各式, 我們可知

(2.12)

根據(jù)Minkowski積分不等式, 上式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ρK(·)與ρL(·)成比例, 即K與L位似.

3 定理2.2的證明

引理3.1 設(shè)K是Rn中的對稱p-凸體,p∈(0,1],1≤k≤n,E為Rn中的(k-1)維子空間.那么函數(shù)

引理3.1的證明我們采用文獻(xiàn)[7]中的方法加以證明.令u1,u2∈E⊥且u1,u2線性無關(guān).令u=u1+u2,那么

我們通過下列兩式定義函數(shù)r1=r1(t)和r2=r2(t):

根據(jù)Brunn-Minkowski不等式[8],我們有

因此,我們有

因此,ρ(u)唯一確定了一個q-凸體.證畢.

引理3.2的證明我們在引理3.1的前提下來證明該引理.令L=IK為K的相交體.令v1,v2∈span(u1,u2)且分別與u1,u2正交.令E=span(u1,u2)⊥且u1,u2為單位向量,那么

ρL(v1)=|K∩span(u1,E)|=ρ(u1),

且

ρL(v2)=|K∩span(u2,E)|=ρ(u2).

定理2.2的證明結(jié)合命題2.1及引理3.2,易知:

[1] Lutwak E. Intersection bodies and dual mixed volumes[J]. Adv Math, 1988,71:232-261.

[2] Ball K. Logarithmically concave functions and sections of convex sets inn-dimentional Euclidean space[J]. Studia Math, 1988,88:69-84.

[3] Berck G. Convexity of Lp-intersection bodies[J]. Adv Math, 2009,222:920-936.

[4] Busemann H. Volume in terms of concurrent cross-sections[J]. Pacic J Math, 1953(3):1-12.

[5] Giannopoulos A, Milman V D. Extremal problems and isotropic positions of convex bodies[J]. Israel J Math, 2000,117:29-60.

[6] Zhang G Y. Convex geometric analysis[M]. Not for Distribution, 2009:33-34.

[7] Gardner R J. Geometric Tomography[M], Second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2006.

[8] Gardner R J. The Brunn-Minkowski inequality[J]. Bull Amer Math Soc, 2002,39:355-405.