偽隨機(jī)信號（m序列）相關(guān)辨識的動態(tài)測試方法

何華鋒，李元凱，董海迪，楊學(xué)猛

（第二炮兵工程大學(xué)302室，陜西 西安 710025）

0 引 言

隨著測試技術(shù)的發(fā)展，人們對航空航天領(lǐng)域伺服系統(tǒng)動態(tài)測試的準(zhǔn)確性與快速性提出了更高的要求。傳統(tǒng)動態(tài)測試采用相關(guān)函數(shù)法[1]，其測試過程如下：首先利用計算機(jī)控制交流D/A模件向被測系統(tǒng)加一定頻率的正弦信號，利用中速A/D采集響應(yīng)輸出，由計算機(jī)進(jìn)行相關(guān)函數(shù)運(yùn)算，求出該頻率點的幅頻和相頻特性。測試中需要測量的頻率點有6個，而一個頻率點需要測量3個周期[2]，因此整個測試完成需要18個周期（約120s），不僅測試時間較長，而且僅得到6個頻率點的測量值。

本文針對航空航天領(lǐng)域伺服系統(tǒng)的動態(tài)性能測試要求，提出一種基于偽隨機(jī)信號相關(guān)辨識的動態(tài)測試新方法。

1 偽隨機(jī)信號相關(guān)辨識的動態(tài)測試方法

由于該測試方法是針對線性定常離散系統(tǒng)的，實際工程中可選用偽隨機(jī)二位式序列——m序列（周期信號）作為測試激勵信號[3]，整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中 η（t）為輸入噪聲，ξ（t）為輸出觀測噪聲。假設(shè)整個系統(tǒng)中的采樣周期或步長與輸入m序列的步長Δ之比為1∶3，且假設(shè)輸入信號x（t）與噪聲η（t）、ξ（t）均為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，彼此統(tǒng)計獨(dú)立。

首先利用數(shù)字計算機(jī)提供m序列m（k），經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換加到被測對象的輸入端；然后將輸出響應(yīng)y（t）經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換后得到y(tǒng)（k），送到計算機(jī)進(jìn)行實時遞推計算，經(jīng)若干周期后得到脈沖響應(yīng)序列；最后利用Hankel矩陣法可以估算出被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而得出被測對象的幅頻、相頻特性。

圖1 離散系統(tǒng)動態(tài)特性相關(guān)辨識法結(jié)構(gòu)圖

2 m序列的自相關(guān)函數(shù)

在推導(dǎo)基于m序列離散形式相關(guān)辨識的計算公式之前，先說明一下m序列自相關(guān)函數(shù)的形式?？梢宰C明，m序列自相關(guān)函數(shù)[4]為

式中：a——m序列邏輯狀態(tài)“0”對應(yīng)的輸出正電壓的幅值；

N——m序列一個周期的總拍數(shù)；

Δ——移位脈沖的周期。

由于離散化，可將式（1）簡化為[5]

3 基于偽隨機(jī)信號相關(guān)辨識的動態(tài)測試原理

3.1 脈沖響應(yīng)序列遞推公式

對于圖1所示的被測對象，根據(jù)卷積定理公式有

式中：g（σ）——被測對象的脈沖響應(yīng)。

若將被測對象的動態(tài)方程寫成內(nèi)部描述形式，有

當(dāng) x（0）=0 時，有

可知：Φ（j）b=g（j），將式（5）改寫為

設(shè)N為m序列一個周期的總拍數(shù)，且NΔ=T大于脈沖響應(yīng)衰減到零的時間，將式（6）代入y（k）與m（k）的互相關(guān)函數(shù)，可得

式（7）中Rmm（σ）為m序列的自相關(guān)函數(shù)，這就是維納-霍普夫方程的離散形式。

取 σ=1，2，3，…，N，得

寫成矩陣形式，有

則有

其中

根據(jù)式（2）可得

因此

由式（12）可知，只要得到輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)向量Rym（N），就可以利用其求出被測系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)G（N）。然而，Rym（1）、Rym（2）、…、Rym（N）不易直接精確求出，且為了能夠?qū)崿F(xiàn)在線辨識，下面推導(dǎo)求脈沖響應(yīng)G（N）的遞推公式。

根據(jù)第M次的測量，可按式（13）來估算輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)

將式（13）代入式（12），可得第M次測量估算出的系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列G^M（N）。

則有：

3.2 序列的參數(shù)選擇

以上討論了利用離散條件下偽隨機(jī)信號（m序列）相關(guān)辨識的方法對被辨識系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列進(jìn)行估計的理論依據(jù)。在實際辨識中，需要根據(jù)被辨識系統(tǒng)動態(tài)性能的先驗知識，確定m序列的參數(shù)Δ、N和a[6]。通過分析m序列的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度可知：其自相關(guān)函數(shù)不是一個理想的周期脈沖，且功率譜密度也不是常值。但如果被辨識系統(tǒng)的工作頻帶處于（0~2π/3）Δ范圍之內(nèi)，則可以將m序列近似看作理想的周期白噪聲。因此，設(shè)被辨識系統(tǒng)的最高工作頻率為ωmax，動態(tài)響應(yīng)時間為ts，其參數(shù)應(yīng)滿足ωmax<2π/（3Δ），且NΔ=（1.2~1.5）ts。

3.3 由脈沖響應(yīng)確定傳遞函數(shù)的Hankel矩陣法

通過輸入偽隨機(jī)信號m序列，采樣輸出的響應(yīng)信號進(jìn)行實時的遞推計算，得到被測對象的脈沖響應(yīng)序列的估計值。本節(jié)運(yùn)用Hankel矩陣法[7]，利用脈沖響應(yīng)的估計值來計算得出被測對象的脈沖傳遞函數(shù)系數(shù)的估計值。

設(shè)被辨識的離散系統(tǒng)模型是一個n階的脈沖傳遞函數(shù)

將式（16）化為相應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

其脈沖傳遞函數(shù)又可以表示為

又因為

為互逆關(guān)系，則

將式（20）兩邊同時除以z，可得

等式右邊取前n項代入式（18），可得脈沖傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)的關(guān)系式

將式（20）代入式（16）中，可得

比較式（23）等號兩邊z的同冪次項系數(shù)可得

以及

根據(jù)Hankel矩陣的定義可知，式（24）左邊的矩陣是一種待定的 Hankel矩陣，記作 H（n，l）。因此，將基于m序列相關(guān)辨識得到的被測對象的脈沖序列響應(yīng)估計值代入式（24）和式（25）中，便可求得脈沖傳遞函數(shù)的估計值；經(jīng)雙線性變換，可以得到連續(xù)傳遞函數(shù)的估計值；由估計的傳遞函數(shù)可求得幅頻和相頻特性[8]，完成動態(tài)測試。

4 驗證實驗

本節(jié)將利用基于偽隨機(jī)相關(guān)辨識的動態(tài)測試方法對傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化（即傳遞函數(shù)已知且固定）儀器設(shè)備的動態(tài)性能進(jìn)行測試。實驗結(jié)果給出了被測對象的幅頻與相頻特性。

4.1 實驗?zāi)Ｐ?/h3>

實驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)如圖1所示，設(shè)整個系統(tǒng)中的采樣周期或步長與輸入m序列的步長Δ之比為1/3。已知被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為

4.2 實驗參數(shù)

設(shè)被測系統(tǒng)最高工作頻率為1/5，動態(tài)響應(yīng)時間為10s，則Δ的選擇范圍小于10.472s，若選Δ=1.5s，則可得N>10，選N=15。因此，輸入的m序列的周期T為22.5s，a值取0.5mA，系統(tǒng)采樣時間T0為0.5s，試驗進(jìn)行3個m序列的周期（68s）。

4.3 實驗結(jié)果

運(yùn)用該新方法經(jīng)過3個m序列周期的測試后，遞推得到的被測系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 脈沖響應(yīng)序列數(shù)據(jù)（T0=0.5s）

由于被測系統(tǒng)的階數(shù)是3，構(gòu)造的Hankel矩陣如下：

分別求得：

可得被測系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的估計值為

經(jīng)雙線性變換后，連續(xù)傳遞函數(shù)的估計值為

圖2 被測對象的對數(shù)頻率特性(Bode圖)

可見，估計的傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化儀器的實際傳遞函數(shù)非常接近。根據(jù)估計傳遞函數(shù)可進(jìn)一步求得被測對象的幅頻與相頻特性，如圖2所示。

5 結(jié)束語

由上述實驗結(jié)果可知，該方法在已知被測系統(tǒng)階數(shù)的情況下，可以獲得較好的近似傳遞函數(shù)；該方法運(yùn)用于儀器設(shè)備的動態(tài)測試，可以準(zhǔn)確地得到其幅頻與相頻響應(yīng)；另外，傳統(tǒng)的動態(tài)測試方法需用時大約120s，使用該新方法可以節(jié)約用時約52s。

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