液體靜壓導(dǎo)軌靜態(tài)特性的計(jì)算

王焱清， 黃 振， 吳星成

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

高端制造裝備的進(jìn)一步發(fā)展對(duì)決定裝備性能的主軸回轉(zhuǎn)主運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)以及工作臺(tái)、刀架拖板進(jìn)給運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)等關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)部件的動(dòng)態(tài)性能及其穩(wěn)定性、可靠性提出了更加苛刻的要求，促進(jìn)了液體靜壓支承技術(shù)的研究向更加深入的方向發(fā)展．靜壓導(dǎo)軌作為重要的支承部件，其運(yùn)動(dòng)精度將直接影響到工件的加工質(zhì)量．故對(duì)靜壓導(dǎo)軌的設(shè)計(jì)顯得尤為重要，在靜壓導(dǎo)軌設(shè)計(jì)與優(yōu)化中所需考慮的三個(gè)典型的靜壓系統(tǒng)特性是：承載量、剛度和流量．這三個(gè)靜態(tài)靜壓系統(tǒng)特性的計(jì)算是由油腔內(nèi)的壓力分布決定的，與速度無關(guān)．所以計(jì)算油腔壓力分布是計(jì)算靜態(tài)系統(tǒng)特性的基礎(chǔ)．

1 液體靜壓導(dǎo)軌的工作原理及其靜態(tài)特性

1.1 液體靜壓導(dǎo)軌的工作原理

由液體靜壓導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)(圖1)可看出液體靜壓導(dǎo)軌是利用潤滑油膜來支承載荷并起潤滑作用[1]，根據(jù)供油方式的不同，可將液體靜壓導(dǎo)軌分為定量式靜壓導(dǎo)軌和定壓式靜壓導(dǎo)軌．本文中計(jì)算定量供油時(shí)的開式靜壓導(dǎo)軌．

所謂開式靜壓導(dǎo)軌，是在工作臺(tái)和導(dǎo)軌面間通入壓力油，使運(yùn)動(dòng)件浮起，工作在不同速度下都能保證導(dǎo)軌面在液體潤滑摩擦狀態(tài)下工作．

液體靜壓導(dǎo)軌中各獨(dú)立的承載部分稱作油墊，由油腔、封油邊和進(jìn)油孔組成(圖2)，計(jì)算液體靜壓導(dǎo)軌靜態(tài)特性時(shí)通常對(duì)其中一個(gè)油墊進(jìn)行分析計(jì)算．設(shè)從供油系統(tǒng)供給一定壓力p、流量為Q的潤滑油，導(dǎo)軌上的負(fù)載大小為W，油膜厚度為h．當(dāng)導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，不同的載荷W對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的油膜厚度h，當(dāng)導(dǎo)軌上負(fù)載W增大，油膜厚度h會(huì)減小，導(dǎo)軌間的液阻增大，但是定量供油的流量不變使得油腔壓力升高從而平衡增大的負(fù)載；反之，當(dāng)負(fù)載減小時(shí)，油膜厚度增大，液阻減小，油腔壓力降低，平衡減小的負(fù)載[2]．

1-工作臺(tái)； 2-油封面； 3-油腔； 4-導(dǎo)軌座圖 1 開式靜壓導(dǎo)軌

圖 2 液體靜壓導(dǎo)軌中承載部分工作原理

1.2 液體靜壓導(dǎo)軌的靜態(tài)特性

1.2.1靜承載力W0液體靜壓導(dǎo)軌的靜承載力是表征液體導(dǎo)軌在導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)副之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)承載力的參數(shù)，其值表示在一定油膜厚度下液體導(dǎo)軌的負(fù)載能力，可以通過對(duì)整個(gè)油膜表面的壓力積分而得，即

(1)

式中：p為油膜表面的壓力分布；A為油膜表面的區(qū)域面積．

1.2.2靜剛度K0液體靜壓導(dǎo)軌的靜剛度表征液體靜壓導(dǎo)軌在油膜發(fā)生變化時(shí)承載力的變化程度，說明了當(dāng)油膜變化時(shí)的承載力的變化情況，其值為

．

(2)

式中：Wh1，Wh2分別是不同油膜厚度時(shí)的承載力值；h1，h2分別是兩個(gè)不同油膜厚度的值．

1.2.3封油邊出口流量Q0是表征液體靜壓導(dǎo)軌在工作時(shí)的液體消耗量，常被分為體積流量和質(zhì)量流量．液體靜壓導(dǎo)軌的分析中通常用質(zhì)量流量，液體靜壓導(dǎo)軌的封油邊出口流量可以通過對(duì)封油邊出口邊界區(qū)域的液體流速積分得到，即

ρvdA.

(3)

式中：ρ是液體的密度，v是液體出口的流速分布，A是出口邊界的區(qū)域面積．[3]

2 液體靜壓導(dǎo)軌油膜壓力分布計(jì)算方法

2.1 液體靜壓導(dǎo)軌壓力分布

由液體靜壓導(dǎo)軌靜態(tài)特性可得，承載能力W0油膜剛度K0都與油膜壓力分布有關(guān)，要計(jì)算承載能力和油膜剛度就必須先計(jì)算油膜壓力的分布p．

油膜壓力的分布p的計(jì)算是基于雷諾方程的解，雷諾方程是流體潤滑軸承的基礎(chǔ)方程，它描述了在微小間隙內(nèi)流體的壓力分布，它的普遍形式是

(4)

式中：x和y分別是指的導(dǎo)軌長度方向和寬度方向的坐標(biāo)；η是潤滑流體粘度；ρ是潤滑流體密度；h是油膜厚度；U是導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)速度；方程的解p是油膜壓力分布．這個(gè)橢圓型的偏微分方程僅僅對(duì)于特殊的間隙形狀才可能求得解析解，而對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀或工況條件下的潤滑問題，無法用解析方法求得精確解．隨著電算技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)值法成為求解潤滑問題的有效途徑．

2.2 液體靜壓導(dǎo)軌壓力分布數(shù)值解法

因?yàn)殪o壓軸承的靜態(tài)特性中承載量、剛度與速度無關(guān)，且在靜態(tài)狀態(tài)下油膜厚度h不隨時(shí)間變化．簡化式(4)可得在靜態(tài)下的雷諾方程式：

．

(5)

式(5)是一個(gè)Laplace算子，其在油膜分布區(qū)域上的解就是壓力在油腔中的分布．其數(shù)值解法是將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的變換方法．它的一般原則是：首先將求解區(qū)域劃分成有限個(gè)數(shù)的單元，并使得每個(gè)單元充分小，以至于可以認(rèn)為在各單元內(nèi)的未知量(油膜壓力p)相等或者依照線性變化，而不會(huì)造成很大的誤差．然后通過物理分析和數(shù)學(xué)變換方法將求解的偏微分方程寫成離散形式，即轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程組．該方程組表示了各個(gè)單元的帶球未知量與周圍各單元未知量的關(guān)系，最后根據(jù)Gauss消去或者Gauss-Seidel迭代法求解代數(shù)方程組，從而求得整個(gè)求解域上的未知量．

靜壓導(dǎo)軌油腔求解區(qū)域的物理模型可簡化圖1．其長度方向L=50 mm，寬度方向B=30 mm，封油邊的寬度b=5 mm．中間區(qū)域?yàn)檫M(jìn)油口，其壓力為10 mPa．

圖 3 靜壓導(dǎo)軌油腔求解區(qū)域的物理模型

求解區(qū)域是一個(gè)環(huán)形區(qū)域的油膜，求解前先定義邊界條件．根據(jù)壓力邊界條件可以得出：1)在腔內(nèi)p=10 mPa，即內(nèi)部矩形內(nèi)的p為常數(shù)10；2)在四周邊緣上p=0 mPa，即在外部矩形的邊界上的p為常數(shù)0 .將式(2)進(jìn)行五點(diǎn)差分可以表達(dá)如下：

2.2 基于matlab計(jì)算方程數(shù)值解

按照上述方法先將求解區(qū)域劃分成如圖4所示的網(wǎng)格，劃分后的求解區(qū)域一共有560個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)．根據(jù)差分?jǐn)?shù)值解法，即式(3)代替式(2)，將問題轉(zhuǎn)化為未知函數(shù)p(x,y)在節(jié)點(diǎn)(i,j)上的數(shù)值位置量的線性方程組Ax=b；A是系數(shù)矩陣，是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)p(x,y)差分成的560×560的稀疏矩陣(圖5)．

圖 4 靜壓導(dǎo)軌油腔求解區(qū)域網(wǎng)格化,mm

圖 5 系數(shù)矩陣A

b是560×1的稀疏向量，是進(jìn)口壓力邊界條件，表示了進(jìn)口壓力的位置和壓力值大小．然后對(duì)方程組Ax=b進(jìn)行Gauss-Seidel迭代法求解，得出的解向量x是壓力p的稀疏向量，用matlab中的full函數(shù)將其轉(zhuǎn)化成滿矩要求的壓力分布(圖6)．

圖 6 滿矩要求的壓力分布,mm

分別做出在中間平面x方向和y方向截面的壓力分布曲線(圖7)．

(a)x方向

(b) y方向圖 7 中間平面截面的壓力分布曲線

由圖7可以看出：在油腔內(nèi)部附近區(qū)域內(nèi)，壓力分布基本維持在10 mPa左右，從封油邊至出口，壓力由2 mPa逐漸降到0，存在較大的壓降，并且下降呈現(xiàn)明顯的非線性．

3 液體靜壓導(dǎo)軌油膜靜態(tài)特性參數(shù)的計(jì)算分析

3.1 液體靜壓導(dǎo)軌承載能力的計(jì)算

在供油方式為定量的情況下，對(duì)導(dǎo)軌承載底部區(qū)域的壓力進(jìn)行積分，得到導(dǎo)軌的承載能力(圖8)．

圖 8 不同油膜厚度下矩形導(dǎo)軌的承載能力

為進(jìn)一步研究靜壓導(dǎo)軌的承載能力特性，將不同油膜厚度下的承載能力用多項(xiàng)式擬合表示．當(dāng)油膜厚度為10～25 μm時(shí)，該導(dǎo)軌的承載能力的數(shù)學(xué)擬合可近似表示為

W=-124.9h6+20.21h5+335.7h4+

50.57h3-53.97h2-1183h+2895．

式中：W為導(dǎo)軌承載力，N；h為油膜厚度，μm．

3.2 液體靜壓導(dǎo)軌油膜靜剛度的計(jì)算

根據(jù)導(dǎo)軌在不同油膜厚度時(shí)承載能力的計(jì)算結(jié)果，用式(2)可求出導(dǎo)軌油膜的靜剛度，結(jié)果如圖9所示．當(dāng)油膜厚度為10～25 μm時(shí)，導(dǎo)軌的剛度數(shù)學(xué)擬合式可以近似表示為

K=-30.06h6-83.23h5+318.9h4+

289h3-834.2h2-276.5h+771.2．

式中：K為導(dǎo)軌油膜剛度；h為油膜厚度．

圖 9 導(dǎo)軌油膜的靜剛度

4 結(jié)論

通過求解雷諾方程計(jì)算油膜壓力分布，根據(jù)導(dǎo)軌靜態(tài)參數(shù)的計(jì)算可以得出：靜壓導(dǎo)軌的承載能力隨著油膜厚度的增大呈減小的趨勢(shì)，靜剛度隨著油膜厚度的增大，在10～15 μm時(shí)呈增長趨勢(shì)，在15 μm時(shí)達(dá)到最大值.在15～25 μm時(shí)呈減少趨勢(shì)．

[參考文獻(xiàn)]

[1] 趙建華，高殿榮，張作超．液體靜壓導(dǎo)軌定壓供油式油腔承載力的超靜定力學(xué)模型[J]．機(jī)械工程學(xué)報(bào),2012(22)：168-176．

[2] 張逸舟,黃筱調(diào),于春建. 大重型機(jī)床靜壓導(dǎo)軌的靜態(tài)性能及油膜流體仿真研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2012(10)：102-104．

[3] 呂 琳,李艷霞．精沖機(jī)靜壓導(dǎo)軌的油膜剛度設(shè)計(jì)及控制[J]．精密成型工程，2010(05)：48-51．

[4] 溫詩鑄. 摩擦學(xué)原理[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2011．

[5] Serrato R，Maru M M, Padovese L R.Effect of lubricant viscosity grade on mechanical vibration of roller bearings[J].Tribology International, 2007, 40(08)：1 270-1 275．

[6] 梅 怡.新型液體靜壓支承技術(shù)在機(jī)床導(dǎo)軌上的應(yīng)用[J]. 液壓與氣動(dòng),2012(06)：83-86．