曲線上的預(yù)制梁橋相鄰墩臺(tái)軸線與中心連線夾角的計(jì)算研究

劉和平 徐詠梅

（河南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，河南 鄭州 450052）

位于曲線上的預(yù)制梁橋，在平面設(shè)計(jì)時(shí)，通常采用二種方式布設(shè)橋墩臺(tái)，即各墩臺(tái)軸線與墩中心的法線呈相等角度(簡(jiǎn)稱法線法，后同)和各墩臺(tái)軸線間皆相互平行(簡(jiǎn)稱平行法，后同)的方法。設(shè)計(jì)時(shí)，通常是提供出墩臺(tái)軸線上的2點(diǎn)坐標(biāo)，施工時(shí)根據(jù)坐標(biāo)進(jìn)行找點(diǎn)，放線出墩臺(tái)軸線。本文通過計(jì)算，給出墩臺(tái)軸線與后視墩臺(tái)中心點(diǎn)連線的夾角，施工時(shí)利用已放好線的中樁，將經(jīng)緯儀或全站儀放在所在墩臺(tái)中心，后視(或前視)相鄰墩臺(tái)的中心，通過撥偏角的方法直接找出所在墩臺(tái)的軸線。

如上圖，以曲線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以起點(diǎn)的切線方向?yàn)閄軸，以起點(diǎn)的法線方向?yàn)閅軸建立坐標(biāo)系，以此來進(jìn)行分析、計(jì)算：

一法線法布墩臺(tái)時(shí)（圖一）

圖一中，A、B分別為相鄰墩臺(tái)的中心點(diǎn)，C點(diǎn)為A、B連線與X 軸交點(diǎn)，θ1 為AB 與X 軸的夾角；D 點(diǎn)為B 點(diǎn)的切線與X 軸交點(diǎn)，θ2為BD與X軸的夾角；β為墩臺(tái)軸線與法線的夾角（每墩臺(tái)相同且為已知）；φ即為本文所要求出的、墩臺(tái)軸線與后視相鄰墩臺(tái)中心連線的夾角。

A、B點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算

A、B 兩點(diǎn)的樁號(hào)是已知的，即A、B 兩點(diǎn)至原點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度La、Lb 是已知的，假設(shè)A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）和（x2，y2），則：

1）當(dāng)位于圓曲線上時(shí)：

A點(diǎn)：

ε=La/R(ε：A點(diǎn)切線與X軸的夾角；R：圓曲線半徑，R為已知)

L0=2Rsin(ε/2)(L0：A點(diǎn)至原點(diǎn)的直線距離)

X1=L0cos(ε/2)=2Rsin(ε/2)cos(ε/2)=Rsinε

y1=L0sin(ε/2)=2Rsin2(ε/2)

B點(diǎn)：

θ2=Lb/R

L0=2Rsin(θ2/2)

X2=L0cos(θ2/2)=2Rsin(θ2/2)cos(θ2/2)=Rsinθ2

Y2=L0sin(θ2/2)=2Rsin2(θ2/2)

2）當(dāng)位于緩和曲線上時(shí)：

A點(diǎn)：

RA=A2/La(RA：A點(diǎn)的曲率半徑；A：緩和曲線的參數(shù)，A為已知)

X1=La-La3/(40RA2)＋La5/(3456RA4)

y1=La2/(6RA)-La4/(336RA3)＋La6/(4224RA5)

B點(diǎn)：

RB=A2/La(RB：B點(diǎn)的曲率半徑)

X1=Lb-Lb3/(40RB2)＋Lb5/(3456RB4)

y1=La2/(6RB)-Lb4/(336RB3)＋Lb6/(4224RB5)

2.墩臺(tái)軸線與后視墩臺(tái)中心點(diǎn)連線夾角的計(jì)算

在前一題的影響下，學(xué)生在做左圖時(shí)會(huì)進(jìn)行有序思考，在追問中教師整理△的個(gè)數(shù)如右圖，學(xué)生體會(huì)到△既可以是標(biāo)準(zhǔn)量，也可以是比較量，再次內(nèi)化“標(biāo)準(zhǔn)量”的聚焦地位，從這“一題”演繹成“一類”題，再次突破“倍”的本質(zhì)。最后，通過分類“△少于○的，△與○相同的，△大于○的”，深刻體會(huì)“△與○相同”1倍關(guān)系的特殊性；從而滲透“因數(shù)和倍數(shù)”的概念，理解6的因數(shù)是有限的、6的倍數(shù)是無限的等相關(guān)知識(shí)，以探尋概念之間關(guān)聯(lián)性的思維路徑。

計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，就可以計(jì)算出各夾角了

圖一：

θ1=-arctg()

θ2=Lb2/(2A2)(A：緩和曲線的參數(shù)，A為已知)

θ=90°-（θ2-θ1）

φ=θ＋β

二平行法布墩臺(tái)時(shí)（圖二）

圖二中，A、B分別為相鄰墩臺(tái)的中心點(diǎn)，C點(diǎn)為A、B連線與X軸交點(diǎn)，θ1為AB與X軸的夾角；E點(diǎn)為橋中心線上某點(diǎn)，此點(diǎn)用來確定路水交角，亦即全橋墩臺(tái)軸線的基準(zhǔn)線，全橋墩臺(tái)軸線與此平行；D 點(diǎn)為E 點(diǎn)的切線與X 軸交點(diǎn)，θ0 為BE 與X 軸的夾角；θ2為B點(diǎn)的切線與X軸的夾角（圖中未示）；θ3為墩臺(tái)軸線與X 軸夾角（全橋相同）；β為墩臺(tái)軸線與E 點(diǎn)法線的夾角（為已知）；φ即為本文所要求出的、墩臺(tái)軸線與后視相鄰墩臺(tái)中心連線的夾角。

E點(diǎn)切線與X軸的夾角θ0的計(jì)算

當(dāng)位于圓曲線上時(shí)：

θ0=Le/R(Le：E 點(diǎn)至原點(diǎn)的曲線長(zhǎng)度，Le 為已知；R：圓曲線半徑，R為已知)

當(dāng)位于緩和曲線上時(shí)：

θ0=Le2/(2A2)(A：緩和曲線的參數(shù)，A為已知)

墩臺(tái)軸線與后視墩臺(tái)中心點(diǎn)連線夾角的計(jì)算

圖二：

90°＋β=θ0＋θ3

θ3=90°＋β-θ0

φ=θ1＋θ3

本計(jì)算可在橋梁墩臺(tái)平面設(shè)計(jì)時(shí)作為參考，也可供施工放線時(shí)使用，是橋梁墩臺(tái)平面設(shè)計(jì)的方法之一，也可以用來對(duì)使用其它方法的設(shè)計(jì)或施工放線的結(jié)果進(jìn)行校核，而且簡(jiǎn)單易行。

孫家駟，道路勘測(cè)設(shè)計(jì).人民交通出版社.2005