基于混沌系統(tǒng)的彩色圖像小波域加密算法

張 楠，夏 瑋，趙子平，程鄴華

（1.天津師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與工程信息學(xué)院，天津 300387；2.河北工程大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，河北 邯鄲 056000）

彩色圖像的廣泛應(yīng)用使得彩色圖像加密具有更大的使用價(jià)值，并日漸成為人們的研究熱點(diǎn)[1-3].近年來(lái)，很多學(xué)者對(duì)彩色圖像空間域加密算法進(jìn)行了大量研究[4-13]，而對(duì)頻域加密的研究較少.空間域加密算法主要是對(duì)二維灰度圖像的像素點(diǎn)進(jìn)行位置置亂，然后對(duì)置亂的像素點(diǎn)進(jìn)行異或運(yùn)算，以達(dá)到加密效果.空間域加密算法的優(yōu)勢(shì)是可以充分利用圖像數(shù)據(jù)的矩陣特征，計(jì)算速度快，算法直觀，易于理解.但是，由于加密過(guò)程破壞了像素之間的相關(guān)性，會(huì)導(dǎo)致圖像壓縮的效果變差.基于頻域的圖像加密算法對(duì)圖像進(jìn)行小波變換后的系數(shù)進(jìn)行加密處理，且可以根據(jù)人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)的特征，僅對(duì)一些重要數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，明顯減少了加密的數(shù)據(jù)量，提高了加密效率.同時(shí)，這類(lèi)算法可以很好地與壓縮算法結(jié)合，減少網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量.

為了加強(qiáng)圖像加密的安全性，目前多采用復(fù)雜的高維混沌系統(tǒng)[14-15].相對(duì)于低維混沌系統(tǒng)，高維混沌系統(tǒng)的密鑰空間更大，隨機(jī)性更強(qiáng)，具有更高的安全性.本研究提出了一種基于Lorenz 混沌系統(tǒng)，針對(duì)彩色圖像小波域的加密算法，首先對(duì)圖像進(jìn)行小波處理，對(duì)得到的小波域系數(shù)矩陣依據(jù)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的無(wú)序序列進(jìn)行多次分塊置亂，以提高置亂效率；然后采用擴(kuò)散和置亂同時(shí)進(jìn)行的方式，減少算法的遍歷次數(shù)，從而提高圖像的加密效率，減少加密算法運(yùn)算的時(shí)間.

1 Lorenz 混沌映射

混沌現(xiàn)象是出現(xiàn)在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中的確定性的、類(lèi)似隨機(jī)的過(guò)程，這種過(guò)程既非周期性的又不收斂，并且對(duì)初始值有極其敏感的依賴(lài)性.通過(guò)自身對(duì)初始值和結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感依賴(lài)性，系統(tǒng)可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類(lèi)隨機(jī)而又確定可再生的信號(hào).由于上述特點(diǎn)，混沌已廣泛應(yīng)用于保密通訊中，同時(shí)也可以作為加密序列.

Lorenz 混沌具有很好的隨機(jī)性，基于此混沌序列的加密系統(tǒng)可以獲得更好的安全性.由Lorenz 混沌系統(tǒng)生成的混沌序列具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較低維系統(tǒng)復(fù)雜，系統(tǒng)變量的實(shí)數(shù)值序列更不可測(cè)；（2）通過(guò)對(duì)系統(tǒng)輸出的實(shí)數(shù)值混沌序列進(jìn)行處理，可以產(chǎn)生單變量或多變量組合的加密混沌序列，使得加密序列的設(shè)計(jì)非常靈活；（3）系統(tǒng)的初值和系統(tǒng)參數(shù)均可以作為生成加密混沌的種子密鑰，若設(shè)計(jì)過(guò)程中再加入部分控制變量，加密算法的密鑰空間將大大高于低維混沌系統(tǒng).

Lorenz 混沌映射由美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中提煉得出，其動(dòng)力系統(tǒng)學(xué)方程式[16]為

當(dāng)參數(shù)σ、r 和b 分別取10、28 和8/3 時(shí)，Lorenz 混沌映射模型處于典型的混沌狀態(tài).基于初始條件，通過(guò)四階Runge-Kutta 迭代作用可以產(chǎn)生三維混沌序列x（i）、y（i）和z（i），該序列是非周期性的，且對(duì)初值非常敏感.

2 加密方案設(shè)計(jì)

2.1 加密算法原理

基于頻域的圖像加密原理首先對(duì)彩色圖像進(jìn)行R、G 和B 三基色分離，然后對(duì)轉(zhuǎn)換成的二維灰度圖像進(jìn)行小波變換，得到小波域系數(shù)；再把混沌系統(tǒng)的初始值和參數(shù)作為密鑰，將密鑰帶入混沌系統(tǒng)使之產(chǎn)生無(wú)序?qū)崝?shù)序列，并對(duì)實(shí)數(shù)序列進(jìn)行預(yù)處理；用所得的無(wú)序?qū)崝?shù)序列根據(jù)一定的規(guī)則對(duì)小波域系數(shù)進(jìn)行置亂，接著對(duì)置亂后的數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行異或運(yùn)算，最終得到加密圖像.

2.2 彩色圖像分離

為了降低算法的計(jì)算強(qiáng)度和空間需求，可把三維彩色圖像轉(zhuǎn)化為二維空間的灰度圖像進(jìn)行處理.將輸入的Pm×n×3原三維彩色圖像分離成R、G 和B三基色分量PR、PG和PB，分離方法為

2.3 小波域系數(shù)獲取

應(yīng)用于數(shù)字圖像的離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT）可以視為利用低通濾波器和高通濾波器將數(shù)字圖像在頻域上分解為低頻和高頻兩類(lèi)系數(shù).低頻類(lèi)系數(shù)包含了圖像的大部分信息，能量較為集中，對(duì)這一部分系數(shù)進(jìn)行加密即可得到較好的圖像加密效果.

輸入PR、PG和PB共3 個(gè)灰度圖像矩陣，分別對(duì)其進(jìn)行db1 一級(jí)小波分解.將所得小波域系數(shù)的低頻系數(shù)矩陣進(jìn)行置亂加密，而高頻系數(shù)則不做改變.

設(shè)產(chǎn)生的低頻系數(shù)矩陣為DR（l，k）、DG（l，k）和DB（l，k），為了計(jì)算方便，本研究將這3 個(gè)矩陣轉(zhuǎn)化為一維序列DR（i）、DG（i）和DB（i），其中i=l×k.

2.4 混沌序列的預(yù)處理

采用上文中提到的Lorenz 混沌映射產(chǎn)生所需的實(shí)數(shù)序列{x（i），y（i），z（i）}，但文獻(xiàn)[6]指出，該序列易受線性預(yù)測(cè)攻擊，且序列間的相關(guān)特性較高，故在對(duì)圖像進(jìn)行加密前需要對(duì)產(chǎn)生的原始序列進(jìn)行置亂預(yù)處理.

置亂預(yù)處理的具體步驟為：

（1）將序列值同時(shí)擴(kuò)大10 的m 次方倍，m≥6.

（2）利用round 函數(shù)求取步驟（1）中產(chǎn)生的每個(gè)數(shù)值的最近整數(shù)，與原數(shù)值作差，得出值域在（-0.5，0.5）之間的新序列.

數(shù)學(xué)計(jì)算模型為

根據(jù)式（2）產(chǎn)生的值作如下處理，使其成為適合異或的操作數(shù)，得到擴(kuò)散預(yù)處理的計(jì)算模型：

式（3）中：mod 函數(shù)是取模運(yùn)算，得出序列{Cx（i），Cy（i），Cz（i）}，用于下文中的異或操作.

2.5 加密模版

本研究采用小波域系數(shù)值置亂和擴(kuò)散同步進(jìn)行的方法，即每置亂1 個(gè)系數(shù)后，就對(duì)該置亂系數(shù)進(jìn)行異或擴(kuò)散.

置亂與擴(kuò)散的過(guò)程（僅用R 分量舉例說(shuō)明）為：

（1）設(shè)m 為DR（i）序列的長(zhǎng)，k′=1，l′=log2（m）-1，n=l′.

（2）將DR（i）序列分成2n×2n大小的序列段，每個(gè)序列段用FR（i）來(lái)表示.

（3）將由式（2）所得的預(yù)處理過(guò)的三維實(shí)數(shù)序列{x（i），y（i），z（i）}從小到大進(jìn)行排序，在每個(gè)序列的排序過(guò)程中，根據(jù)其序列地址變化的映射生成一個(gè)由序列地址組成的序列Kx（i），將該序列作為對(duì)步驟（2）中生成的小波域低頻系數(shù)序列段進(jìn)行置亂的置亂索引，即DR（i）表示原低頻系數(shù)序列中第i段，則FR（Kx（i））表示置亂后的FR（i）.

（4）令DR（i）=FR（i），k′=k′+1，n′=n′-1.這時(shí)程序回到步驟（2），進(jìn)行循環(huán)操作，直到k′≤l′.當(dāng)k′=l′時(shí)，F(xiàn)R（i）的大小為2×2.

（5）對(duì)分段置亂后的Dr（i）進(jìn)行整體置亂，每置亂一個(gè)系數(shù)值后即與式（3）中生成的操作數(shù)序列進(jìn)行異或操作.

（6）輸出合成彩色圖像，完成加密.

（7）解密算法為加密算法的逆過(guò)程.

該加密模版對(duì)小波域系數(shù)進(jìn)行了多次置亂，與單次置亂算法相比較，增大了解密的難度，且置亂時(shí)先對(duì)分成的序列段進(jìn)行置亂，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間.最后擴(kuò)散與置亂同時(shí)進(jìn)行，減少了算法對(duì)加密圖像的遍歷次數(shù).

3 算法仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

選用大小為256×256×3、灰度值為256 色的Lena.jpg 作為實(shí)驗(yàn)圖像，利用Matlab7.0 為平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，Lorenz 混沌系統(tǒng)的3 個(gè)初值分別取值為0.182 505 937 4、0.362 709 148 5 和0.251 940 736 8，參數(shù)取值為a=35，b=10，c=1，d=10 和u=8，積分步長(zhǎng)為0.001，采用四階Runge-Kutta 算法解微分方程.本研究的最終加密效果如圖1 所示，由圖1可見(jiàn)，算法已經(jīng)完全隱藏了原始圖像，看不出原始圖像的輪廓.

3.2 運(yùn)算時(shí)間

采用本研究提出的算法與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[6]中提出的算法對(duì)同一彩色Lena 圖像在同一設(shè)備上運(yùn)行計(jì)算，測(cè)試得到的加密運(yùn)算時(shí)間如表1 所示.

表1 算法運(yùn)行時(shí)間比較Tab.1 Comparison of running time of algorithms

由表2 可以看出，本研究提出的算法在運(yùn)行時(shí)間上比其他2 種算法節(jié)省多于1.080 0 s 的時(shí)間，達(dá)到了研究所期望的效果.文獻(xiàn)[4]中提出的算法為直接在空域上對(duì)圖像進(jìn)行置亂和擴(kuò)散；文獻(xiàn)[6]中提出的算法則是在對(duì)圖像進(jìn)行小波處理的基礎(chǔ)上，對(duì)小波域系數(shù)進(jìn)行置亂和擴(kuò)散，后2 種算法采用了相同的置亂方法.

3.3 灰度直方圖分析

原圖的灰度直方圖與加密后的灰度直方圖對(duì)比如圖2 和圖3 所示.

對(duì)比圖2 和圖3 可知，與分布不均勻的原始直方圖相比，加密后的直方圖平坦且灰度值呈均勻分布.這表明密文的像素值在0～255 范圍內(nèi)的取值概率均等，即對(duì)整個(gè)密文空間呈均勻分布特性，攻擊者無(wú)法從灰度值的特征中獲取有效信息，因而可以有效地防止統(tǒng)計(jì)攻擊，加強(qiáng)了圖像的安全性.

3.4 密鑰敏感性測(cè)試

一個(gè)好的加密系統(tǒng)應(yīng)該有足夠大的密鑰空間來(lái)防止攻擊者暴力破解.本研究提出的算法中，密鑰包括了x（0）、y（0）和z（0），以及對(duì)序列預(yù)處理時(shí)的m 值，任何一個(gè)值改變都不能正確解密圖像.為了測(cè)試本研究的密鑰敏感性，采取2 組密鑰對(duì)加密圖像進(jìn)行解密，圖4a 為原始密鑰即x（0）=0.182 605 937 4，其他初始值不變時(shí)的解密圖像，圖4b 為將x（0）的值改變?yōu)?.182 605 937 5，其他初始值不變時(shí)的解密圖像，可以看出，即使在密鑰發(fā)生微小改變時(shí)，也不能得到正確的解密圖像.

3.5 抗干擾測(cè)試

圖像在處理、保存和傳輸過(guò)程中經(jīng)常會(huì)受到噪聲的干擾，一個(gè)好的加密算法應(yīng)該具有良好的抗干擾能力.傳輸過(guò)程中在可能引入的隨機(jī)噪聲引起損失或加密圖像部分?jǐn)?shù)據(jù)缺損后，圖像應(yīng)均能正確解密，恢復(fù)出原圖像.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，本研究算法具有較好的抗干擾能力.圖5 為加密圖像受到幾何失真或噪聲污染后的加密圖像和解密圖像.

圖5b 為加密圖像被剪切24%后的解密圖像，圖像存在噪點(diǎn)，但圖像特征與細(xì)節(jié)效果仍然很明顯，效果良好.圖5d 為加密圖像被剪切50%后的解密圖像，圖像存在大量的噪點(diǎn)，個(gè)別細(xì)節(jié)失真，但圖像特征依舊明顯.圖5f 是受到5%高斯噪聲污染后的解密圖像，可以看出噪聲污染對(duì)原圖像幾乎沒(méi)有影響.

4 結(jié)論

本研究提出一種基于Lorenz 混沌系統(tǒng)的彩色圖像小波域加密算法，在置亂階段對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行多次分塊置亂，可在增加置亂強(qiáng)度的同時(shí)，降低置亂算法的強(qiáng)度.本研究所采用的擴(kuò)散和置亂同時(shí)進(jìn)行的方式減少了算法遍歷次數(shù)，提高了加密效率.實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)據(jù)分析表明：該算法具有良好的加密效果和很強(qiáng)的密鑰敏感性，可以抵抗暴力破解和其他干擾，具有較高的安全性.但小波系數(shù)所含圖像信息的減少導(dǎo)致圖像的加密強(qiáng)度有所降低，這是今后研究需要改進(jìn)的地方.

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