關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布列問題

劉穎

求離散型隨機(jī)變量的分布列必須解決好兩個(gè)問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個(gè)值時(shí)的概率。求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個(gè)數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提.離散型隨機(jī)變量分布列求解是進(jìn)一步求解數(shù)學(xué)期望、方差最關(guān)鍵的開始，分布列求解錯(cuò)誤，必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)期望與方差的錯(cuò)誤，故這里萬萬不可忽視，就這個(gè)問題提出幾個(gè)建議如下：

一、正確認(rèn)識(shí)離散型隨機(jī)變量

所謂隨機(jī)變量，實(shí)際上是用變量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行的一種刻畫，是試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。這與函數(shù)概念本質(zhì)上是相同的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f（x）的自變量是實(shí)數(shù)x，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果。離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)是概念的外延，而離散型隨機(jī)變量的概率分布列的內(nèi)涵是一個(gè)必然事件分解成有限個(gè)互斥事件的概率的另一種表示形式，更主要的是應(yīng)在概念的生成中形成解決問題的思維方法。

二、求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟

（1）明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；

（2）利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率；

（3） 按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.

例1、一個(gè)口袋有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為1、2、3、4、5，從中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出球最小的號(hào)碼，求ξ的分布列.

[解析] 因?yàn)橥瑫r(shí)取出3個(gè)球，ξ表示取出球的最小號(hào)碼，所以ξ的取值為1，2，3.

當(dāng)ξ=1時(shí)，其他兩球可在余下的4個(gè)球中任意選取，因此其概率

為=；當(dāng)ξ=2時(shí)，其他兩球的編號(hào)在3、4、5中選取，因此其

概率為=；當(dāng)ξ=3時(shí)，其只可能為3，4，5一種情況，其概率為。

評(píng)注：處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量，明確隨機(jī)變量所代表的量。

三、對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列特性的認(rèn)識(shí)

（1）離散型隨機(jī)變量的概率分布的兩個(gè)本質(zhì)特征，是確定分布列中參數(shù)值的依據(jù)。

（2）離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。

（3）處理有關(guān)離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用問題應(yīng)仔細(xì)審題，透徹理解題意，并注意根據(jù)實(shí)際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量。

（4）求一些離散型隨機(jī)變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個(gè)數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提。

例2.將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大的玻璃杯中去，杯子中球的最大個(gè)數(shù)記為ξ，求ξ的分布列。

[解析] 明確題意，搞清杯子中球的最大個(gè)數(shù)的可能值，再由此求出相應(yīng)的概率.

依題意可知，杯子中球的最大個(gè)數(shù)ξ的所有可能值為1，2，3。當(dāng)ξ=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有三個(gè)杯子各放一球的情形；當(dāng)ξ=2時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有一個(gè)杯子放兩球的情形；當(dāng)ξ=3時(shí)，對(duì)應(yīng)于4個(gè)杯子中恰有一個(gè)杯子放三個(gè)球的情形。

評(píng)注：（1）隨機(jī)變量本質(zhì)上講就是隨機(jī)過程每一個(gè)可能發(fā)生的基本結(jié)果，這個(gè)要十分注意；

（2）驗(yàn)證的過程最好不要缺少，因?yàn)樗婕罢_求解數(shù)學(xué)期望和方差，要確保分布列的準(zhǔn)確。

四、特殊分布

二項(xiàng)分布、幾何分布是兩種常見分布，應(yīng)熟悉其試驗(yàn)特征及題型特征，并掌握其分布列計(jì)算公式.此外兩點(diǎn)分布、超幾何分布列也是特殊的分布，要熟練掌握。

五、值得注意的地方

在教學(xué)過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會(huì)把自己當(dāng)做課堂上的主人而過多的會(huì)忽略學(xué)生的主體地位；或者學(xué)生會(huì)因?yàn)殚L時(shí)間的習(xí)慣于聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。在建立新知的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。每個(gè)問題在設(shè)計(jì)時(shí)，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答。使思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生的思考有價(jià)值，對(duì)知識(shí)的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。但由于時(shí)間的把握，以及對(duì)學(xué)生的放手程度上‘實(shí)施落實(shí)的可能還不到位，有待改進(jìn)。

總之，在今后的教學(xué)工作中，需不斷總結(jié)、反思。作為數(shù)學(xué)教師，一方面要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感覺到每解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業(yè)水平。在總結(jié)、反思中不斷提升自己的教學(xué)水平，做一名真正合格的人民教師。