旋量理論的變胞機構全構態(tài)動力學模型

劉秀蓮,　張校東

(1.黑龍江科技大學 機械工程學院, 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學 機電工程學院, 哈爾濱 150001)

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旋量理論的變胞機構全構態(tài)動力學模型

劉秀蓮1,2,張校東2

(1.黑龍江科技大學 機械工程學院, 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學 機電工程學院, 哈爾濱 150001)

為豐富和發(fā)展機構學理論，通過引入切斷鉸，將空間串并聯(lián)機構的運動學分析問題轉化為開鏈機構和局部閉鏈機構的運動學分析子問題，基于旋量理論建立切斷鉸空間機構的運動學和動力學模型。采用旋量理論和Kane方法對五桿兩自由度閉鏈變胞機構的廣義主動力和廣義慣性力進行了計算，并建立切割變胞機構的全構態(tài)動力學方程。該方法為變胞機構的動力學建模提供了參考依據(jù)。

旋量理論; kane方程; 變胞機構

0　引　言

1998年,戴建生和J Rees Jones基于生物學中的細胞分裂、組合和再生現(xiàn)象，首次提出變胞機構的概念。其定義為在具有多個不同工作階段的周期中，含有閉環(huán)的多自由度運動鏈呈現(xiàn)不同拓撲結構形式，結合其機架和原動件來實現(xiàn)不同功效的機構。目前,國內外已有大量學者對變胞機構的結構學和運動學[1]進行了研究，基本上形成了比較系統(tǒng)的理論，但對其動力學方面的研究較少。筆者通過建立變胞機構的全構態(tài)動力學模型研究其動力學特性，以期為變胞機構的設計與應用提供參考依據(jù)。

1　剛體的運動旋量

式中,算子“∧”為反對稱矩陣運算,對三維矩陣ω表示叉乘矩陣,即

引入運算因子“∨”,并將其作如下定義

對于空間多剛體系統(tǒng),其中每一個運動關節(jié)都可看成一個空間旋量運動,其運動旋量可表示為θiξi,其中θ是關節(jié)變量大小。對于轉動關節(jié),運動旋量的旋量坐標ξ可用Plucker坐標形式表示[4]:

式中:ω——運動旋量軸線方向的單位矢量;

r——軸線上任一點的位置矢量;

h——運動旋量的節(jié)距大小;

v——沿旋量運動軸線方向的單位矢量。

對于移動關節(jié),運動旋量的旋量坐標ξ可表示為

剛體的運動變換可以用李群代數(shù)中的歐氏群SE(3)表示,即

SE(3)={(P,R):P∈R3,R∈SO(3)}=R3×SO(3),

式中:SO(3)——三維旋轉群;

P——位移矩陣,實現(xiàn)不同坐標系的坐標平移變換;

R——旋轉矩陣,實現(xiàn)不同坐標系的坐標旋轉變換。

式中:I——3×3單位陣;

e——自然指數(shù)。

若旋量在B坐標系下表示為ξB,則其在A坐標系的表示ξA為

2　串并聯(lián)機構運動學方程的推導

式中:ωi、vi——旋量運動軸線上的單位矢量, ωi、vi∈R3;

ri——關節(jié)軸線上的任意一點坐標,ri∈R3。

選取工具坐標系在固定坐標系下的初始參考位形為gst(0),則工具坐標系到固定坐標系的運動學正解映射gst(θ)可由任意分支開鏈機構的指數(shù)積運動公式表示:

(1)

注意式(1)含有被動關節(jié)k+1,k+2,…,n的變化量。對于閉鏈機構,當給定主動關節(jié)的位置變化量時,即可通過結構方程求出相應的被動關節(jié)變量,其結構方程的指數(shù)坐標形式可表示為

(2)

對式(2)進行整理,可得閉鏈部分的簡化結構方程:

(3)

對串并聯(lián)機構進行運動學分析時,合理選取串并聯(lián)系統(tǒng)中某個閉鏈關節(jié)為切斷鉸,將系統(tǒng)變?yōu)榇?lián)機構。式(3)即為機構的閉環(huán)約束方程。

3　Kane動力學方程

Kane動力學分析方法于二十世紀六十年代由美國學者Kane[5]提出并加以論證。Kane方法不同于其他動力學建模方法,其基于分析力學理論,將系統(tǒng)中各個廣義速率作為構件廣義坐標的獨立變量來描述系統(tǒng)的運動,引入偏速度以及偏角速度的概念[6],并將矢量形式的力與達朗伯慣性力直接向特定的基矢量方向投影進而消除約束力,因而Kane方法兼有矢量力學和分析力學的特點。

利用物體速度雅克比矩陣和偏速度旋量[7]的關系,可以將旋量理論和Kane動力學方程有機地聯(lián)系起來。為分析方便,現(xiàn)將Kane方程中的主動力、慣性力等均用旋量的形式表示。

對于一個具有n自由度的空間機構,假設系統(tǒng)構件i的質心處受到的外界主動力主力矢和主力矩分別用Rc,i和Mc,i表示,則構件i受到的外界主動力旋量可表示為

(4)

(5)

構件i的偏速度旋量可以由構件質心的偏速度和偏角速度表示為

將系統(tǒng)中所有構件的主動力旋量與其偏速度旋量的點積累加即可得到系統(tǒng)相對于某一偏速度旋量的廣義主動力為

j=1,2,…,n。

(6)

同理,將系統(tǒng)中所有構件的慣性力旋量與其偏速度旋量的點積相加求和即可得到系統(tǒng)相對于某一偏速度旋量的廣義慣性力：

j=1,2,…,n。

(7)

根據(jù)式(6)和式(7)廣義主動力和廣義慣性力對于空間n自由度連桿機構,可以得到其基于旋量理論的Kane動力學方程為

具體表達為

(8)

由動力學方程(8)可知,方程的數(shù)目等于系統(tǒng)中包含活動構件的數(shù)目。

根據(jù)上述建立的開鏈機構的Kane動力學方程,并結合各個構態(tài)的閉環(huán)約束方程(3)可得到一般串并聯(lián)變胞機構的全構態(tài)動力學方程:

4　變胞機構的動力學建模

空間復雜曲面切割機切割變胞機構的具體結構見文獻[8],切割變胞機構末端為五桿兩自由度閉鏈機構,如圖1所示。重新定義各個桿件以及關節(jié)編號,并將其中的變胞運動副關節(jié)5作為切斷鉸,形成開鏈五桿機構。將其中一個不動件看作基座,在切斷鉸處建立絕對坐標系xyz,并在各個桿件質心點處建立其連體坐標系xiyizi。圖中q1、q2、q3、q4分別為關節(jié)1、2、3、4軸線上的點,各個連體坐標系同絕對坐標系的位姿關系如圖1所示。

圖1　復雜曲面切割機五桿兩自由度閉鏈機構示意

根據(jù)連桿物體速度雅克比矩陣的計算公式[9]以及上述q1、q2、q3、q4四點坐標和各關節(jié)軸線方向在各個連體坐標系中的表示,可以計算得出構件1、2、3、4的物體速度雅克比矩陣:

4.1構件廣義主動力旋量和廣義慣性力旋量

由空間復雜曲面切割機變胞機構的驅動情況可知,該機構中只有滑塊1和桿件4受到電機驅動力和驅動力矩的作用,其余構件受到的主動力只有重力。設滑塊1和構件4受到的電機驅動力(矩)分別為f1和τ4,方向分別于關節(jié)的移動和旋轉方向一致,各個構件的質量分別表示為m1、m2、m3、m4。

根據(jù)式(4)可知作用于各個構件質心上的主動力旋量Fc,i由主動力主矢Rc,i和主動力矩主矢Mc,i兩部分組成,所以滑塊1受到的主動力旋量在連體基坐標系表示為

由于桿件2和3只受到自身重力的作用,所以作用于桿件2上的主動力旋量在坐標系x2y2z2表示為

在連體坐標系下,桿件3受到的主動力旋量為

考慮到桿件4除了受到重力作用外,還受到變胞自由度電機轉動力矩的作用,可以計算得出桿件4的主動力旋量為

根據(jù)上述對偏速度,即物體速度雅克比矩陣以及各個構件主動力旋量的計算,由式(6)可以得出各個構件廣義主動力Fi(i=1,2,3,4)可以表示為

i=1,2,3,4。

(9)

(10)

式中:mi——構件i的物體質量;

Ic,i——構件i在連體坐標系中繞軸的轉動慣量。

根據(jù)式(5)、(7)和(10)可得系統(tǒng)中各個構件的廣義慣性力為

i=1,2,3,4。

(11)

4.2復雜曲面切割變胞機構的全構態(tài)動力學方程

選取五桿變胞機構中的變胞運動副,即圖1中所示的轉動副O(jiān)為閉鏈機構切斷鉸。為建立該變胞機構的構態(tài)1和構態(tài)2的動力學方程,必須引入不同構態(tài)下的切斷鉸的閉環(huán)約束方程。

變胞機構處于構態(tài)1時,轉動副O(jiān)為驅動關節(jié),根據(jù)空間閉鏈的運動學結構方程(3)可得,此時該機構的閉環(huán)約束方程分別為

(12)

當變胞機構處于構態(tài)2,轉動副O(jiān)鎖死,構件4和基座固結,此構態(tài)下該閉鏈機構的約束方程分別為C2(θ)=[ξ1][θ1]+[ξ2ξ3-ξ4][θ2θ3-θ4)]T=0,

(13)

式中:ξo、ξ1、ξ2、ξ3、ξ4——各個軸線的旋量坐標;

θo、θ1、θ2、θ3、θ4——各個關節(jié)變量。

該變胞機構引入切斷鉸后,基座和構件1、2、3、4組成了一個空間開鏈機構。根據(jù)式(9)、(11)建立開鏈機構的Kane動力學方程,并結合各個構態(tài)的閉環(huán)約束方程(12)和(13)可得到切割機變胞機構的全構態(tài)動力學方程:

式中:i——變胞機構中構件數(shù)目;

j——變胞機構的構態(tài)。

5　結束語

對旋量理論在空間機構運動學分析中的應用進行了介紹,引入切斷鉸將空間串并聯(lián)機構的運動學分析問題,轉化為開鏈機構和局部閉鏈機構的運動學子問題,通過指數(shù)積公式和閉鏈機構結構方程建立了一般串并聯(lián)機構的約束方程。結合旋量理論建立了空間機構的Kane動力學方程,并對曲面切割機變胞機構的廣義主動力和廣義慣性力進行了計算。結合旋量理論和Kane方程,給出了一般串并聯(lián)變胞機構的全構態(tài)動力學方程。并對五桿兩自由度閉鏈變胞機構進行分析,建了其全構態(tài)動力學方程,為變胞機構的動力學建模方法提供一種參考。

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(編輯李德根)

Configuration-complete dynamic model of metamorphic mechanism based on screw theory

LIUXiulian1,2,ZHANGXiaodong2

(1.School of Mechanical Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China; 2.School of Mechanical & Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

This paper is an attempt to enrich and develop the theory of mechanism by transforming motion analysis problem of spatial series-parallel mechanism into motion analysis sub-problem of open chain and closed-chain mechanism as a result of cut-off joint and developing kinematics and dynamics models of spatial mechanism based on screw theory. The paper describes the calculation of the inertia main force and the inertia main torque using screw theory and Kane method in the case of the two DOF of five rods closed chain metamorphic mechanism and the development of the configuration-complete dynamic model for metamorphic mechanism. This model provides some reference for dynamics model of metamorphic mechanism.

screw theory; Kane method; metamorphic mechanism

2013-03-25

劉秀蓮(1979-),女,遼寧省葫蘆島人,講師,博士,研究方向:機構的運動學和動力學,E-mail:lxl-2002@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.006

TH113

1671-0118(2013)03-0241-05

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