加權p,q對稱熵損失下Poisson分布變異系數(shù)的Bayes估計

王　蘭,　谷偉偉,　蘆凌飛

(中國礦業(yè)大學 理學院, 江蘇 徐州 221116)

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加權p,q對稱熵損失下Poisson分布變異系數(shù)的Bayes估計

王蘭,谷偉偉,蘆凌飛

(中國礦業(yè)大學 理學院, 江蘇 徐州 221116)

為更全面研究Poisson分布的估計問題,在加權p,q對稱熵損失函數(shù)下,討論了Poisson分布變異系數(shù)的Bayes估計,并給出了Bayes估計的置信區(qū)間和多層Bayes估計,得到了其具體形式。

Poisson分布; 加權p,q對稱熵損失函數(shù); Bayes估計

0　引　言

Poisson分布是1837年由法國數(shù)學家Poisson S.D.(1781-1840)首次提出的一種常用的離散分布,常與單位時間、單位產(chǎn)品或單位面積等上的計數(shù)過程相聯(lián)系,相關研究已有很多[1-4]。Poisson分布在現(xiàn)實生產(chǎn)和生活中應用非常廣泛,是一類重要的離散分布。 其分布律為

(1)

由于隨機變量的取值有量綱,不同量綱的隨機變量用方差或標準差去比較其波動大小不太合理,并且在取值的量綱相同的情形下,取值的大小有一個相對性問題,取值較大的隨機變量的方差或標準差也允許大一些,所以在比較兩個隨機變量的波動大小時常用到變異系數(shù),其具體定義如下:

定義1設隨機變量X的二階矩存在,則稱比值

為X的變異系數(shù)。

由定義1知變異系數(shù)是以其數(shù)學期望為單位去度量隨機變量取值波動程度的特征數(shù),標準差的量綱與數(shù)學期望的量綱是一致的,所以變異系數(shù)是一個無量綱的量,是刻畫保險風險最常用的指標之一。

其中x1,x2,…,xn為隨機樣本X1,X2,…,Xn的一組實現(xiàn)值。

在統(tǒng)計決策問題中,統(tǒng)計決策及參數(shù)估計的優(yōu)劣性在很大程度上依賴于損失函數(shù)形式的選取。常用的損失函數(shù)有平方損失函數(shù)、對稱損失函數(shù)[5]、熵損失函數(shù)[6]和LINEX損失函數(shù)[7]等。文獻[8-9]等已利用對稱損失函數(shù)得到相關研究的結果。文中在加權p,q對稱熵損失函數(shù)

(2)

下討論變異系數(shù)θ的估計,可根據(jù)p,q的靈活選取做出最合適的估計。這里δ是待估參數(shù)θ的估計量。由損失函數(shù)的性質易知其關于δ是嚴格凸函數(shù),并且在δ=θ處取得唯一的最小值。

1　變異系數(shù)θ的Bayes估計

下面定理給出了在損失函數(shù)(2)下變異系數(shù)θ的貝葉斯估計。

定理1記X=(X1,X2,…,Xn),在損失函數(shù)(2)下,無論先驗分布取何種分布,變異系數(shù)θ的Bayes估計為

R(θ,δ)=E[L(θ,δ)]=

(3)

要使式(3)左端R(θ,δ)最小,則需要極小化

由于

(4)

式(4)右端關于δ求導并令其等于0,解得

下面定理2是在給定先驗分布π(θ)后,結合定理1,給出了變異系數(shù)θ的精確Bayes估計。

定理2對于給定損失函數(shù)(2),若參數(shù)λ的先驗分布為

(5)

則變異系數(shù)θ的Bayes估計為

證明易得λ的后驗密度

h(λ|X)∝λT(X)+α-1·e-λ(n+β),

從而有

同理有

從而由定理1得

2　變異系數(shù)θ的置信區(qū)間

定理3對于Poisson分布,給定加權p,q對稱熵損失函數(shù)(2)和先驗分布(5),對給定置信水平1-k,變異系數(shù)θ的置信區(qū)間為

由定理2,

h(λ|X)∝λT(X)+α-1·e-λ(n+β)，α,β>0，

由于2(n+β)λ～χ2(2T(X)+2α),故對給定k∈(0,1),有

1-k。

從而參數(shù)λ的置信水平1-k的置信區(qū)間為

3　變異系數(shù)θ的多層Bayes估計

定理2中的變異系數(shù)θ的Bayes估計δB(X)中的α、β仍未知,這樣的參數(shù)稱為超參數(shù)。對兩個未知參數(shù)α、β分別給定先驗得到超先驗,這里的超先驗和定理2中的先驗決定了一個新的多層先驗。θ的多層Bayes估計就是在該多層先驗下得到。

先驗分布(5)中的超參數(shù)α>0,β>0未知并相互獨立,利用減函數(shù)構造法得到兩個超先驗分別為:

h1(α)=U(0,1) ,h2(β)=U(0,c)，

(6)

其中c為常數(shù)。對于這樣的兩層先驗分布,下面定理4給出了θ的兩層Bayes估計。

定理4對于Poisson分布(1),給定式(6)中的兩層先驗分布和損失函數(shù)(2), 變異系數(shù)θ的兩層Bayes估計為

證明由上面討論可知變異系數(shù)θ的先驗分布為

從而得到θ的后驗分布為

進而得

所以得

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(編輯王冬)

Bayes estimation of Poisson coefficient of variance under weightedp,qsymmetric loss function

WANGLan,GUWeiwei,LULingfei

(College of Sciences, China University of Mining & Technology, Xuzhou 221116, China)

Aimed at a better study of the estimation of Poisson distribution, this paper discusses the Bayes estimation of Poisson coefficient of variance under the weightedp,qsymmetric loss function, gives the expression of its confidence interval and hierarchical Bayes estimation ,and offers its concrete form.

Poisson distribution; weightedp,qsymmetric loss function; Bayes estimation

2013-04-27

王蘭(1988-),女，江蘇省徐州人，碩士，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計，E-mail:Wanglan4095@126.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.04.010

O212.8

1671-0118(2013)04-0356-04

A