無窮級數(shù)斂散性之注記*

唐 艷

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶400067)

級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實際應(yīng)用中都處于重要地位.這是因為，一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，例如微分方程的解就常用級數(shù)表示;另一方面又可將函數(shù)表示為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計算等［1］.用解析的形式來逼近函數(shù)，一般就是利用比較簡單的函數(shù)形式，逼近比較復(fù)雜的函數(shù)，最為簡單的逼近途徑就是通過加法運(yùn)算來決定逼近的程度，或者說控制逼近的過程，這就是無窮級數(shù)的思想出發(fā)點.一般地，考慮級數(shù)理論的基本問題時，總是首先考慮收斂問題，然后考慮性質(zhì)問題.在概念上，級數(shù)與序列是不同的:級數(shù)隱含著無限次加法，意味著施行于序列的一種運(yùn)算.但是對于級數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中總會出現(xiàn)將概念、性質(zhì)尤其是使用級數(shù)的斂散判別方法等混淆的情況［2，3］.基于此，重點討論使用判別方法時的幾種常見錯誤以及幾個概念理解上的錯誤，并舉例加以聯(lián)系和區(qū)別.

1 使用判別法時幾種常見的錯誤

1.1 利用通項的性質(zhì)來判別級數(shù)的斂散性

對于級數(shù)的收斂問題，只在一般項是無窮小量的前提下，才是值得考慮的問題.

性質(zhì) 1［1］(必要條件)若級數(shù)收斂，則u趨于零.n

事實上，這個級數(shù)確實收斂，但是并不是因為其通項趨于零才收斂.按照級數(shù)收斂的定義，部分和Sn=，即 ，因此級數(shù)收斂.

1.2 利用正項級數(shù)收斂的充要條件來判別級數(shù)的斂散性

在正項級數(shù)的收斂判別法中，教材介紹了正項級數(shù)收斂的充分必要條件.

定理1［1］正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.

在使用這個充分必要條件時，學(xué)生們往往更注意的是“部分和數(shù)列有界”，而將級數(shù)的最基本要求——正項級數(shù)忽略了.

1.3 利用比值判別法和根值判別法來判斷級數(shù)的斂散性

在正項級數(shù)的判別法中，用得較多并且學(xué)生們認(rèn)為較為方便的就是比值判別法和根值判別法，因為相對于比較判別法而言，不需要另外尋求新的級數(shù)，只需直接從給定的級數(shù)中取出通項就可以進(jìn)行判別了.但是，學(xué)生們在使用這兩個相對方便的方法時，也會因為沒有認(rèn)真研究判別法的條件而得出錯誤的結(jié)論.

另外，學(xué)生在使用這兩個判別法時由于沒有注意級數(shù)的通項是否為正項而直接使用判別法也會導(dǎo)致判斷結(jié)果錯誤.

2 幾個容易混淆的概念

2.1 絕對收斂和條件收斂

學(xué)生在理解絕對收斂和條件收斂這兩個概念時，容易簡單地理解為前者是指級數(shù)絕對是收斂的;而對于后者，學(xué)生會發(fā)明創(chuàng)造出“條件發(fā)散”這樣的名詞.一般情況下，發(fā)散和收斂對立.所以學(xué)生會以為既然有條件收斂，自然也應(yīng)該有條件發(fā)散.這是學(xué)生在概念的理解上，沒有認(rèn)真體會這兩個名詞的本質(zhì)，所以就產(chǎn)生了混淆.應(yīng)該從絕對收斂以及條件收斂的定義知道，無論級數(shù)是條件收斂還是絕對收斂的都是收斂的，只是對于前者是發(fā)散的，對于后者是收斂的.

注意到這個級數(shù)并不是交錯級數(shù)，實際上并非如此.該級數(shù)是一個公比為的等比級數(shù)，因此要判斷其斂散性，應(yīng)該進(jìn)行討論:＜1

2.2 收斂域和收斂區(qū)間

在討論冪級數(shù)時，通常會計算它的收斂半徑，并且會討論它的收斂域.收斂域和收斂區(qū)間是不一樣的，收斂域是指級數(shù)收斂的區(qū)域.若收斂半徑為 R 的話，收斂域可能是［－R，R］，(－R，R］，［－R，R)，(－R，R)，而收斂區(qū)間只是(－R，R).收斂區(qū)間的端點也有可能是收斂點，所以考察收斂域時應(yīng)將收斂區(qū)間的端點進(jìn)行討論.

上面給出了級數(shù)部分常見的一些典型錯誤，并對之進(jìn)行了分析，其目的在于幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)無窮級數(shù)這一章的知識時開拓思路，提高運(yùn)算能力.這樣對于函數(shù)的學(xué)習(xí)將更上一個臺階.對于學(xué)生來說，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，理解概念要求明確概念的要素，認(rèn)清其實質(zhì)，要盡力做到了解性質(zhì)、概念的內(nèi)涵與外延.這樣才能將大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握的更牢固.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)［M］.6版.北京:高等教育出版社，2010

［2］徐兵.高等數(shù)學(xué)大講堂［M］.大連:大連理工大學(xué)出版社，2004

［3］金裕紅.一般項趨于零且部分和有界的發(fā)散級數(shù)［J］.北京:高等數(shù)學(xué)研究，2011，14(3):78-79