無可微性和凸性包含問題的誤差界*

徐 述

(重慶警察學(xué)院 后勤處，重慶401331)

研究下列包含問題:

其中f:X→Z是一個向量值映射，X和Z是兩個巴拿赫空間且其范數(shù)都統(tǒng)一用符號‖·‖表示，K是Z中的一個非空閉集.令S={x:f(x)∈K}且在文中總是假設(shè)S≠?.如果存在 的某個鄰域U和常數(shù)α＞0，使得式(2)成立:

當(dāng)K={0}時，包含問題(1)退化為一個等式.對該等式問題的各種誤差界在可微性的條件下已經(jīng)被很多學(xué)者研究，如 Graves［1］，Izmailov 和 Solodov［2］及 Lyusternik［3］.當(dāng) K=和 Z=Rm且 m≥1 時，包含問題(1)變?yōu)橛邢薏坏仁浇M.對該不等式組的誤差界在函數(shù)可微或不可微的情況都有討論［4-12］.當(dāng)K是一個非空閉凸錐時，Robinson［13］在一種約束品性和可微性條件下證明了式(2)是成立的.最近，利用其他的條件和方法，He和Sun［14］討論了不用于式(2)的兩類誤差界.當(dāng)K是一個非空閉凸集時，Burke和Deng［15］在可微和凸性條件下證明了式(2)是成立的.此外，對非光滑包含問題的誤差界，許多學(xué)者如He和Sun［16］，Huang和Ng［17］，Ng和 Yang［18］，Ng 和 Zheng［19-20］，Wu 和 Ye［21-23］及 Zheng［24］等人都做了一些重要工作.

此處主要討論包含問題(1)形如(2)的誤差界，此時函數(shù)f不需要可微性和凸性條件，且K僅僅是一個非空閉集.文章將在第2部分介紹一些重要的概念和引理;在第3部分建立不需要可微性和凸性條件的局部誤差界和全局誤差界.

1 預(yù)備知識

設(shè)h:X→Z是一個向量值映射.

定義1 給定點(diǎn)(x^，z^)∈gph F，如果存在常數(shù)k≥0，x^的鄰域U和z^的鄰域W，使得

成立，則稱F在點(diǎn)(x^，z^)是度量正則的.稱滿足上述不等式的所有(k，U，W)中的k的下確界為F在點(diǎn)(x^，z^)的精確度量正則常數(shù)且記為reg F(x^，z^).

如果存在常數(shù)k≥0使得下式(3)成立

則稱F在X×Z上是度量正則的.

類似地，可以定義單值函數(shù)h:X→Z的度量正則且相應(yīng)的常數(shù)記為reg h(x^).

下面回顧一個重要的引理.此引理是命題1［25］的一個特殊形式.S

引理1 設(shè) ∈ 且f在點(diǎn) 是連續(xù)的，則S在點(diǎn) 具有局部Lipschitz誤差界，即式(2)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在 的鄰域U和常數(shù)c＞0，使得式(4)成立

2 無可微性和凸性的包含問題的誤差界

對任意的x∈B( ，δ0)且 d(f(x)，K)＜c，如果 d(f(x)，K)=0，則根據(jù) K 的閉知 x∈S，從而不需要證明.下面考慮情形d(f(x)，K)＞0.對任意的ε滿足0＜ε＜c－d(f(x)，K)，則存在zε∈K 使得‖f(x)－zε‖≤d(f(x)，K)+ε.因為

則結(jié)合(i)得 d(x，f－1(zε))≤a‖zε－f(x)‖.所以存在 xε∈f－1(zε)(即 zε=f(xε))使‖x － xε‖≤a‖zε－ f(x)‖ +ε.而且有 xε∈S.因此得

因為ε可以任意逼近0，所以包含問題(1)具有局部Lipschitz誤差界，相關(guān)的精確誤差界常數(shù)的上界容易得到.證畢.

注1 下面這個例子說明了f的度量正則性質(zhì)對定理1是本質(zhì)的.令X=Z=R，f(x)=x2和K={0}∪=0［1，∞)，則有 S={0}∪(－∞，－1］∪［1，∞).令 ，容易驗證f在 點(diǎn)不是度量正則的.且明顯地，包含問題(1)不具有局部Lipschitz誤差界.

證明 令 x∈X，如果 d(f(x)，K)=0，則根據(jù) K的閉性得 x∈S，從而不需要證明.下面考慮情形:d(f(x)，K)＞0.因為K非空，所以對任意的ε＞0都存在zε∈K，使得

因為ε可以任意逼近0，包含問題(1)具有全局Lipschitz誤差界.證畢.

下面回顧度量正則的一個充分條件.

引理 2［26］令∈S，給定一個滿射線性連續(xù)算子A:X→Z，假設(shè)存在的某個鄰域U，常數(shù)μ≥0和γ＞reg A滿足

注2 f的度量正則性質(zhì)一般不蘊(yùn)含公式(6).類似地，下面這個條件是f在X上的度量正則的充分條件:存在一個滿射線性連續(xù)算子A:X→Z，常數(shù)μ≥0和γ＞reg A滿足μγ＜1及

根據(jù)定理1，2和引理1及注2很容易得到下面的結(jié)論.

注3 (i)條件(6)的一個充分條件是嚴(yán)格可微性，容易從如下定義中看出.f在點(diǎn) 是嚴(yán)格可微的且嚴(yán)格導(dǎo)數(shù)記為?f()當(dāng)且僅當(dāng)，?x，x'∈X 且在的某個鄰域內(nèi).

但是條件(6)一般不蘊(yùn)含f的Gateaux可微性，Gateaux可微性是比嚴(yán)格可微性更弱的一個條件.所以條件(6)一般不蘊(yùn)含嚴(yán)格可微性，更不蘊(yùn)含度量正則性質(zhì).令X=Z=R，0和f(x)=|x|，容易驗證條件(6)對和μ=2成立.明顯地，f在點(diǎn)不是Gateaux可微的.因此，此處的條件和方法不同于文獻(xiàn)［13，15］中的條件和方法.

(ii)在f關(guān)于K的回收錐K∞是凸的條件下，Burke和Deng［5］已經(jīng)研究了包含問題(1)的Lipschitz誤差界(2)，其中凸性假設(shè)和回收錐K∞是:

K∞:={d:x+d∈K?x∈K}.容易驗證條件(4)一般不蘊(yùn)含f的凸性.所以此處的結(jié)論和方法不同于Burke和Deng［5］.

(iii)定理1，2和推論1可以應(yīng)用到下列向量優(yōu)化問題(簡記為:VOP):

其中f:X→Z是一個向量值映射且C?Z是一個帶有非空內(nèi)部int C的凸錐，用M表示可性值，即，M:={f(x):x∈X}.令K1和 K2分別是

即K1和K2分別是(VOP)的最優(yōu)值和弱最優(yōu)值集合.用S1和S2分別表示(VOP)的有效解和弱有效解，則

因此定理1，2和推論1可以應(yīng)用到(VOP)的有效解和弱有效解集.但是，由于集合K1和K2一般既不是凸集也不是錐，所以文獻(xiàn)［13－16，18，24］的結(jié)論一般不能應(yīng)用到(VOP)上.

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