向量優(yōu)化問題擬有效解的最優(yōu)性充分條件*

廖 偉，彭 婕

(重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331)

近年來，向量優(yōu)化理論與應用研究越來越受到廣大學者的關(guān)注和重視。有效解是向量優(yōu)化問題中的一個重要概念，關(guān)于有效解的研究也取得了一些成果，見文獻［1-3］。隨著研究的進一步發(fā)展，向量優(yōu)化問題的近似解的概念被提出來。其中，擬有效解是向量優(yōu)化近似解的一個重要的概念。Guptia等人在文獻［4］中利用近似凸函數(shù)，給出了非光滑向量優(yōu)化問題的擬有效解的最優(yōu)性條件。Bhatia等人在文獻［5］中提出了幾類新的廣義近似凸函數(shù)的概念并舉例驗證了這幾類廣義近似凸函數(shù)的存在性，同時建立了向量優(yōu)化問題的擬有效解的充分最優(yōu)性條件。在文獻［4-5］的基礎(chǔ)上，利用距離函數(shù)給出了四類新的廣義近似凸函數(shù)的概念并建立了向量優(yōu)化問題的局部擬有效解和局部有效解的充分最優(yōu)性條件。

1 預備知識

設(shè)Γ是實拓撲向量空間，Rp是P維歐幾里得空間是Rp的非負序錐。對任意x，y∈Rp，定義下面的序關(guān)系:

考慮下面的向量優(yōu)化問題:

其中 f:X→Rp，g:X→Rq。令 S={x∈X:gj≦0，j=1，2，…，q}是 VP 的可行集。

定義1 稱x0∈S是VP的有效解，如果對任意x∈S，f(x)－f(x0)?－{0}。

定義2 稱x0∈S是VP局部有效解，如果存在x0的鄰域U，使得對任意x∈S∩U，f(x)－f(x0)?－{0}。

定義3 稱x0∈S是VP的擬有效解，如果存在，對任意x∈S，f(x)－f(x0)+αd(x，x0)?－{0}。

定義4 稱x0∈S是VP的局部擬有效解，如果存在α∈int，存在x0的鄰域U，使得對任意x∈S∩U，f(x)－f(x0)+αd(x，x0)? －{0}。

定義5［6］稱函數(shù)ψ:X→R在x∈X是局部Lipschitz的，如果存在正常數(shù)L和x的鄰域U，使得對任意00x1，x2∈U，d(ψ(x1)，ψ(x2))≤Ld(x1，x2)。

定義6［6］令ψ:X→R在x∈X是局部Lipschitz的，則ψ在x沿方向v∈Γ的Clarke廣義方向?qū)?shù)為00

定義7［6］函數(shù) ψ 在 x∈X 的 Clarke次微分，記為?ψ(x)，定義為?ψ(x)={ξ∈Γ*:ψ0(x;v)≥［ξ，0000v］，?v∈Γ}。

下面給出VP的擬有效解的一個必要最優(yōu)性條件。

定理1 設(shè)x0∈S是VP的擬有效解，令g(x)在x0處滿足一定的約束規(guī)格或者正則性條件。進一步地，設(shè) fi，i=1，2，……，p 和 gj，j=1，2，……，q 在 x0是局部 Lipschitz的，則存在 α∈int()，λ∈和 u∈使得:

2 四類新的廣義近似凸性

首先，回顧一下Lipschitz函數(shù)的偽凸性和擬凸性的定義。一個Lipschitz函數(shù)ψ:X→R稱為在x0∈X是偽凸，如果對任意 x∈X，［ξ，x－x0］≧0，對某些 ξ∈?ψ(x0)?ψ(x)≧ψ(x0)。

類似的 ψ 稱為在 x0∈X 是擬凸，如果對任意 x∈X，ψ(x)≦ψ(x0)?［ξ，x－x0］≦0，?ξ∈?ψ(x0)。

定義8 稱函數(shù)ψ:X→R在x0∈X是Ⅰ型近似偽凸，若對所有c＞0，存在x0的鄰域U，使得對某些ξ∈?ψ(x0)，［ξ，x－x0］≧0，有 ψ(x)－ ψ(x0)≧ －cd(x，x0)，?x∈U∩X。

定義9 稱函數(shù)ψ:X→R在x0∈X是Ⅱ型近似偽凸(Ⅱ型嚴格近似偽凸)，若對所有c＞0，存在x0的鄰域 U，使得對某些 ξ∈?ψ(x0)，［ξ，x－x0］+cd(x，x0)≧0，有 ψ(x)≧(＞)ψ(x0)，?x∈U∩X。

定理2 若ψ:X→R在x0∈X是Ⅱ型近似偽凸，則ψ在x0是Ⅰ型近似偽凸。

證明 假設(shè)對某些 ξ∈?ψ(x0)，［ξ，x－x0］≧0，則對任意 c＞0 有［ξ，x－x0］+cd(x，x0)≧0。

由ψ是Ⅱ型近似偽凸，則存在x0的鄰域U，使得對任意x∈U∩X，ψ(x)≧ψ(x0)。故有ψ(x)≧ψ(x0)－cd(x，x0)。

因此ψ在x0∈X是Ⅰ型近似偽凸。

定義10 稱函數(shù)ψ:X→R在x0∈X是Ⅰ型近似擬凸，若對所有c＞0，存在x0的鄰域U，使得對任意x∈U∩X，ψ(x)≦ψ(x0)，有［ξ，x－ x0］－cd(x，x0)≦0，?ξ∈?ψ(x0)。

定義11 稱函數(shù)ψ:X→R在x0∈X是Ⅱ型近似擬凸(Ⅱ型嚴格近似擬凸)，若對所有c＞0，存在x0的鄰域 U，使得對任意 x∈U∩X，ψ(x)≦(＜)ψ(x0)+cd(x，x0)，都有［ξ，x－x0］≦0，?ξ∈?ψ(x0)。

定理3 (i)若ψ:X→R在x0∈X是擬凸，則ψ在x0是Ⅰ型近似擬凸;(ii)若ψ:X→R在x0∈X是Ⅱ型嚴格近似擬凸，則ψ在x0是Ⅰ型近似擬凸。

證明:由擬凸的定義和定義10－11，定理的證明是顯然的。

3 最優(yōu)性充分條件

接下來的兩個定理分別給出了VP的局部擬有效解和局部有效解的最優(yōu)性充分條件。

定理4 假設(shè)(1)－(3)在x0∈S成立，對λ，u，滿足下面的條件:(i)λTf在x0是Ⅰ型近似擬凸;(ii)uTg在x0是Ⅱ型嚴格近似偽凸，則x0是VP的局部擬有效解。

證明:假設(shè)x0不是VP的局部擬有效解，則對任意β＞0和x0的任意鄰域U，存在x∈U∩S，使得f(x)－f(x0)+βd(x，x0)∈ －{0}，即 f(x)≤f(x0)－ βd(x，x0)≤f(x0)。

故有λTf(x)≦λTf(x0)，其中λTe=1。由λTf在x0是Ⅰ型近似擬凸，則對任意c＞0，存在x0的鄰域U0，使得對任意 x∈U0∩S，［ξ1，x － x0］－ cd(x，x0)≦0，?ξ1∈?λTf(x0)。由條件(1)，取 U=U0，ξ2∈?uTg(x0)和ξ3∈?(βd(x，x0))|x=x0，結(jié)合上式有［ξ2+ ξ3，x － x0］+cd(x，x0)≧0。而由 ξ3∈?(βd(x，x0))|x=x0可得，［ξ3，x－x0］≦βd(x，x0)。因此［ξ2，x －x0］+βd(x，x0)+cd(x，x0)≧0。

即［ξ2，x－x0］+αd(x，x0)≧0，其中 α =β+c。再由 uTg在 x0是Ⅱ型嚴格近似偽凸可得 uTg(x)＞uTg(x0)。

由條件(2)可得，uTg(x)＞0，矛盾。故x0是(VP)的局部擬有效解。

定理5 設(shè)條件(1)－(3)在x0∈S，對λ∈，u∈，滿足下面的條件:

(i)λTf在x0是Ⅱ型嚴格近似擬凸;(ii)uTg在x0是Ⅱ型嚴格近似偽凸，則x0是VP的局部有效解。

證明:假設(shè)x0不是(VP)的局部有效解，則對x0的任意鄰域U，存在x∈U∩S使得f(x)≤f(x0)，故有λTf(x)≤ λTf(x0)＜ λTf(x0)+cd(x，x0)，?c ＞ 0。由條件(i)可得［ξ1，x － x0］≦0，?ξ1∈ ?λTf(x0)。再由(1)，取 ξ2∈ ?()(x0)，ξ3∈ ?(αd(x，x0))|x=x0，有［ξ2+ ξ3，x － x0］≧0。類似于定理4 的證明，可以導出矛盾，從而x0是(VP)的局部有效解。

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