干散貨航運價格指數(shù)的多重分形特征分析*

李電生 李運紅 萬培祥

(中國海洋大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院，山東 青島 266100)

干散貨航運價格指數(shù)的多重分形特征分析*

李電生 李運紅 萬培祥

(中國海洋大學(xué) 經(jīng)濟學(xué)院，山東 青島 266100)

運用多重分形理論對干散貨航運價格指數(shù)的分布結(jié)構(gòu)進行研究，對運價指數(shù)的廣義Hurst指數(shù)、質(zhì)量指數(shù)τ(q)進行估算，結(jié)果表明干散貨航運價格指數(shù)時間序列具有多重分形特征。并且結(jié)合多重分形譜分析法對運價指數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進行了研究，發(fā)現(xiàn)多重分形譜圖左端明顯低于右端，呈密集型分布，表明國際干散貨運價指數(shù)總體呈增大趨勢。

運價指數(shù)；多重分形理論；多重分形譜分析法

一、引言

由波羅的海航交所發(fā)布的BDI指數(shù)是衡量國際海運情況的領(lǐng)先指數(shù)，能夠反映各國的經(jīng)濟情況及國際間的貿(mào)易情況。該指數(shù)受全球鐵礦、煤礦和谷物運輸需求量、全球船噸數(shù)供給力、國際船用燃油平均價等多種因素的綜合影響，波動頻繁，給市場運營者的決策帶來風險，如受歐債危機和運力過剩的影響，中國遠洋在2011年虧損104.5億元人民幣后，2012年上半年再次虧損48.7億。然而，BDI指數(shù)波動頻繁并不是無規(guī)律可循，研究BDI指數(shù)的分布特征可以為市場參與者在決策上提供幫助，降低決策風險。

最初，在對運價指數(shù)分布規(guī)律的研究上，隨機游走過程得到廣泛應(yīng)用，隨后提出了有效市場理論，然而這兩者都不能夠很好地揭示航運市場的真實情況，隨著理論研究的不斷深入和分形幾何理論在其他領(lǐng)域應(yīng)用的迅速發(fā)展，在航運市場價格波動特征的研究方面，分形理論逐步引起學(xué)者的關(guān)注，已有學(xué)者開始將分形理論應(yīng)用到對航運市場價格指數(shù)分布規(guī)律的研究上，證實了BDI指數(shù)具有分形特征。萬九文，呂靖等，[1]李電生，萬培祥等運用不同的方法證實國際干散貨航運市場具有分形特征。[2]但是，隨著分形幾何理論的發(fā)展，學(xué)者發(fā)現(xiàn)，單分形只能分析數(shù)據(jù)波動形態(tài)的宏觀走勢，反映信號總體粗糙和復(fù)雜程度，不能完全刻畫信號特征和真實市場，表明市場本身表現(xiàn)出的并不是單分形結(jié)構(gòu)，而是更精細的多重分形結(jié)構(gòu)，當單一維數(shù)不能完全描述數(shù)據(jù)的精細特征時，需要通過多重分形譜來體現(xiàn)信號局部的奇異性。

單分形是用一個參數(shù)來刻畫時間序列在不同時間尺度上的分形特征，而多重分形試圖用一些特征指數(shù)來刻畫時間序列的局部分形特征，更好地描述數(shù)據(jù)的精細結(jié)構(gòu)。目前，國內(nèi)外學(xué)者對時間序列多重分形結(jié)構(gòu)的研究已有很多。國外學(xué)者Ghashghaie等以美元/馬克國際匯率為研究對象，[3]發(fā)現(xiàn)對匯率變化的研究需要運用多重分形理論。Skjeltorp等對挪威的股票價格指數(shù)進行標度特性研究，得出同樣結(jié)論。[4]國內(nèi)研究有：張永東等，何建敏等發(fā)現(xiàn)單分形不能夠描述我國股票市場的復(fù)雜特性，中國股票市場具有多標度特征。[5-6]在時間序列多重分形結(jié)構(gòu)的確認上，主要方法有q階矩分割函數(shù)法、多仿射法、多重分形去趨勢波動分析法和配分函數(shù)法等。Schmittf等運用最原始、最簡單的q 階矩分割函數(shù)法對美元/法郎的匯率進行了研究，結(jié)果表明，匯率變化是一個多重分形過程。[7]q階矩分割函數(shù)法要求時間序列是正規(guī)的、平穩(wěn)的，自身具有很大的局限性，在以后的研究中多使用后面的幾種方法。Ausloos等運用多仿射法研究了德國股票市場的多重分形特征，[8]朱林、常松等對我國股票市場的多仿射現(xiàn)象進行分析，發(fā)現(xiàn)我國股票市場存在明顯的多重分形結(jié)構(gòu)。[9]于建玲、臧保將等借助配分函數(shù)、廣義分形維數(shù)和多重分形譜對股票市場進行研究，[10]李海洋，王磊運用多重分形去趨勢波動分析法(MF-DFA)，[11]均發(fā)現(xiàn)股票市場存在明顯的多重分形特征。航運市場價格與股票市場價格波動特性具有相似的統(tǒng)計特征，研究內(nèi)容可以借鑒，由于二者的影響因素和形成機制等的不同，需要對研究內(nèi)容的真實性進行檢驗。

由Kantelhardt于2002年提出的多重分形去趨勢波動分析法(簡稱MF-DFA)，可以發(fā)現(xiàn)非平穩(wěn)時間序列中的長程相關(guān)性，該方法自成立以來，被各個領(lǐng)域應(yīng)用于分析其多重分形特性上。Matia等使用該方法證實了多種商品和股票的日價格具有多重分形結(jié)構(gòu)，[12]Norouzzaden運用MF-DFA研究匯率波動特征，發(fā)現(xiàn)多重分形譜對非線性相關(guān)性研究有很大貢獻。[13]袁平平、于建玲等用MF-DFA法研究沃爾瑪指數(shù)日收盤價的多重分形特性，[14]陳洪濤、顧榮寶等用MF-DFA法研究原油價格的多重分形特征等，[15]實證表明，MF-DFA在研究時間序列多重分形結(jié)構(gòu)的問題上是可行的。

本文采用多重分形去趨勢波動分析法(MF-DFA)，通過對BDI指數(shù)的廣義Hurst指數(shù)、質(zhì)量指數(shù)的研究，證實BDI指數(shù)時間序列具有多重分形特征，并通過多重分形譜分析方法對運價指數(shù)的多重分形結(jié)構(gòu)進行了研究。

二、多重分形結(jié)構(gòu)特征參數(shù)及其計算過程

(一)廣義Hurst指數(shù)

多重分形去趨勢波動分析法(簡稱MF-DFA)，是Kantelhardt等人在傳統(tǒng)去趨勢波動分析法(簡稱DFA)基礎(chǔ)上于2002年提出的，該方法在研究非平穩(wěn)時間序列多重分形結(jié)構(gòu)問題上，能夠發(fā)現(xiàn)序列的長程相關(guān)性，避免對序列的相關(guān)性做出不正確判斷，研究結(jié)構(gòu)更加可靠。廣義Hurst指數(shù)是MF-DFA中最常用的特征參數(shù)，通過判斷該指數(shù)H(q)與階數(shù)q的關(guān)系來判斷時間序列是否具有多重分形結(jié)構(gòu)。廣義Hurst指數(shù)的計算過程如下：

對于給定的長度為N的時間序列{xi}(i=1,2,…,N)，利用MF-DFA法計算廣義Hurst指數(shù)，步驟如下：

求時間序列{xi}(i=1,2,…,N)對于均值的累計離差：

(1)

(2)

(3)

(3)對單個區(qū)間序列，采用最小二乘擬合法分別解出其擬合趨勢多項式pk(l)，其中pk(l)可以是1次，2次等多項式，其表示第k,k=1,2,…,2m個小區(qū)間上的局部趨勢函數(shù)。消除每一子區(qū)間的局部趨勢序列，得到殘差序列Ck(l)為：

當k=1,2,……，m時，

Ck(l)=y(k-1)n+l-pk(l),l=1,2,…,n；

(4)

當k=m+1,m+2,……，2m時，

Ck(l)=yN-(k-m)n+l-pk(l),l=1,2,…,n。

(5)

用F2(n,k)表示第k 段殘差序列的平方均值，有：

(6)

(4)求序列的q階波動函數(shù)。對于非零實數(shù)q,定義序列的q階波動函數(shù)為：

(7)

當q=0時，定義序列的波動函數(shù)為：

(8)

當q=2時，MF-DFA將退化為DFA。

(5)q階波動函數(shù)Fq(n)的主要性質(zhì)是其揭示了一個分形信號冪定律的尺度關(guān)系，對于每一個固定的q，有冪律關(guān)系式Fq(n)～nh(q)。對每一個子區(qū)間長度n,可以求出對應(yīng)的波動函數(shù)值Fq(n)，將上述冪律關(guān)系式取對數(shù)，推得：

logFq(n)=logC+h(q)logn,

(9)

其中，C為常數(shù)。作出logFq(n)～logn函數(shù)關(guān)系散點圖，用最小二乘法做線性回歸，其斜率就是q階廣義Hurst指數(shù)h(q)。

通過上述步驟得到與不同q相對應(yīng)的h(q)值，當h(q)為常數(shù)，即h(q)不依賴于q時，所研究序列為單分形的；當h(q)隨q增大而減小，即h(q)依賴于q且關(guān)于q為單調(diào)下降時，序列就是多重分形的。h(q)值的取值范圍為0到1，通過h(q)的取值，可以判斷序列的長程相關(guān)性，當h(q)位于0到0.5之間時，序列是反持續(xù)的，當h(q)等于0.5時，序列是隨機時間序列，當h(q)介于0.5到1時，序列具有持續(xù)性。

(二)質(zhì)量指數(shù)τ(q)確定

在上述過程中得到的廣義Hurst指數(shù)h(q)與質(zhì)量指數(shù)τ(q)相關(guān)，二者的關(guān)系如下：

τ(q)=qh(q)-1。

(10)

當所分析過程為多重分形時，它的尺度函數(shù)τ(q)必有如下性質(zhì)：τ(q)是一個凹函數(shù)；當q=0時，所有的尺度函數(shù)具有相同的質(zhì)量指數(shù)-1；τ(q)是q的非線性函數(shù)。通過尺度函數(shù)τ(q)的性質(zhì)可以進一步判斷時間序列是否具有多重分形結(jié)構(gòu)。

(三)多重分形譜分析

現(xiàn)有文獻對多重分形譜的解釋主要有三類，實際研究表明最合適的解釋要由具體研究內(nèi)容來決定。本文定義多重分形譜為具有相同H?lder指數(shù)α集合的分維數(shù)。具體計算過程如下：

將時間序列{xi}(i=1,2,…,N)按時間標度ε(ε<1)等分為互不相交的N個小區(qū)間，令：

Pj(ε)=Ij(ε)/∑Ij(ε),j=1,2,…,N,

(11)

當時間序列具有多重分形特征時，有冪律關(guān)系：Pj(ε)∝εα，α表示第j個小區(qū)間的奇異指數(shù)，用α表示分形子集的分維數(shù)就是多重分形譜函數(shù)f(α)。把具有奇異指數(shù)α的子集中概率相同的區(qū)間個數(shù)記為Nα(ε)，則滿足冪律關(guān)系式Nα(ε)∝ε-f(α)，對上式兩邊取對數(shù)，然后進行最小二乘法擬合可以得到f(α)值。計算多重分形譜同樣可以從另一角度算出：

(12)

f(α)=qα(q)-τ(q)。

(13)

αmin和αmax分別表示概率最大和最小子集，Δα=αmax-αmin表示概率變化不均勻性，Δα越小，表示概率的分布范圍越窄，多重分形特征越不明顯；f(αmin)和f(αmax)分別表示最大和最小概率子集的單元數(shù)目，Δf=f(αmin)-f(αmax)表征最大最小概率子集出現(xiàn)頻率的變化。

三、BDI指數(shù)多重分形結(jié)構(gòu)研究

(一)干散貨運價指數(shù)多重分形特征分析

1、數(shù)據(jù)選取

文章選用2001年1月2日到2012年11月30日由波羅的海航交所發(fā)布的共2972天的BDI指數(shù)為研究對象，其實際波動如圖1。對運價指數(shù)進行分析時，考慮的是收益率序列，首先運用公式R(t)=logP(t+1)-logP(t)，將原序列轉(zhuǎn)換為對數(shù)收益序列，其中P(t)為航運市場第t個工作日的運價指數(shù)，R(t)為航運市場日收益率，結(jié)果如圖2。

圖1 BDI波動圖

2、廣義Hurst指數(shù)分析

文章運用MF-DFA法來研究表征運價指數(shù)收益序列多重分形性質(zhì)的特征參數(shù)廣義Hurst指數(shù)，用Matlab7.0對式(1)到式(9)進行編碼。

圖3為BDI指數(shù)對數(shù)收益序列對于均值的累積離差走勢圖，從圖3可以看出，序列{yj}(j=1,2,…,N)在不同時間間隔內(nèi)，變化趨勢差異很大，上升和下降趨勢的持續(xù)時間與幅度均變化不定，說明BDI指數(shù)的波動規(guī)律具有復(fù)雜性。

在進行多重分形去趨勢波動分析時，q的取值范圍為(0:0.5:10)。圖4(上)為q取不同值時，波動函數(shù)Fq(n)和n的雙對數(shù)關(guān)系圖，在圖4(上)中，各曲線從下到上，q值依次增大，對應(yīng)的斜率h(q)逐漸變小，說明h(q)關(guān)于q是單調(diào)下降的。用最小二乘法進行擬合，得到廣義Hurst指數(shù)h(q)隨q變化的相應(yīng)取值，如表1，其趨勢圖如圖4(下)。

表1 BDI指數(shù)收益率序列廣義Hurst指數(shù)

當q=0時，h=0.7828，q從0變化到10時，BDI收益序列的h(q)值從0.7828遞減到0.5579，運價指數(shù)收益序列的h(q)值顯然不能用常數(shù)來表示，說明BDI收益序列具有明顯的多重分形特征，用單一分形不能對其進行充分描述。從表1中看到，運價指數(shù)收益序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)都介于0.5到1之間，說明運價指數(shù)時間序列具有持續(xù)性，即若運價指數(shù)在前一階段具有上升(下降)趨勢，在下一階段走勢中，運價指數(shù)在很大程度上會繼續(xù)保持上升(下降)趨勢。從圖4(下)可以看出，h(q)關(guān)于q單調(diào)下降，說明BDI收益序列具有多重分形結(jié)構(gòu)。

3、質(zhì)量指數(shù)τ(q)

圖5為以階數(shù)q為橫坐標，以運價指數(shù)收益序列的質(zhì)量指數(shù)τ(q)為縱坐標的q-τ(q)關(guān)系圖，從圖上可以看出τ(q)是一個凹向橫軸的函數(shù)，當q=0時，τ(q)=0，τ(q)是關(guān)于q 的非線性函數(shù)，由以上性質(zhì)，進一步證明運價指數(shù)時間序列具有多重分形結(jié)構(gòu)。

圖5 BDI指數(shù)序列尺度函數(shù)

(二)干散貨運價指數(shù)多重分形結(jié)構(gòu)研究

本文運用多重分形譜分析法，通過對運價指數(shù)收益序列多重分形譜的研究，來分析BDI指數(shù)多重分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部特征，如圖6所示：

圖6 BDI指數(shù)序列多重分形譜圖

多重分形譜是直接由BDI指數(shù)隨時間的變化計算出來的，反映了航運市場走勢的信息，結(jié)合圖6和多重分形譜的幾何意義，得出BDI 指數(shù)的多重分形譜曲線分布范圍較大，表明BDI指數(shù)波動幅度大，其分布是非均勻的，同時相應(yīng)的分形譜跨度也較大。多重分形譜圖左端明顯低于右端，呈密集型分布，揭示出航運市場中BDI指數(shù)歸一化價格較高的事件起主要作用，BDI指數(shù)總體上呈增大趨勢。

航運市場受世界經(jīng)濟走勢、市場參與人信息掌握程度、自然現(xiàn)象等多種因素的共同影響，導(dǎo)致航運市場的復(fù)雜性及運價指數(shù)的非線性，這些因素的最終作用結(jié)果都通過BDI指數(shù)來綜合體現(xiàn)，而多重分形結(jié)構(gòu)是目前為止分析時間序列特征最為全面的模型，因此，以上研究得出的航運價格指數(shù)的分布特征對航運市場的研究具有重要意義。

四、結(jié)論

通過對BDI指數(shù)的多重分形結(jié)構(gòu)研究，得出如下結(jié)論：

1、多重分形去趨勢波動分析法研究結(jié)果表明，干散貨航運價格指數(shù)序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)關(guān)于q是單調(diào)下降的，q從0變化到10時，h(q)值從0.7828遞減到0.5579，顯然不是常數(shù)，且h(q)值都介于0.5到1之間，說明運價指數(shù)序列具有多重分形特征和持續(xù)性趨勢特性。

2、運用尺度函數(shù)特征判斷運價指數(shù)序列的多重分形特征，結(jié)果表明BDI指數(shù)序列的尺度函數(shù)是凹向橫軸的非線性函數(shù)，h(0)=-1,進一步證明運價指數(shù)系列不是單分形結(jié)構(gòu)，而是更加精細的多重分形結(jié)構(gòu)。

3、BDI指數(shù)多重分形譜圖呈密集型分布，左端明顯低于右端，說明航運市場中BDI指數(shù)歸一化價格高的事件起主導(dǎo)作用，BDI指數(shù)總體呈增大趨勢。

本文通過對運價指數(shù)收益序列的廣義Hurst指數(shù)h(q)、質(zhì)量指數(shù)τ(q)和多重分形譜等特征的研究，證明BDI指數(shù)序列不是單分形結(jié)構(gòu)而是更精細的多重分形結(jié)構(gòu)，為更深入研究航運市場價格的分形屬性的拐點特征奠定了基礎(chǔ)。同時為分析航運價格波動的內(nèi)在規(guī)律和局部特性提供依據(jù)，有助于更準確地把握航運市場發(fā)展趨勢，并以此為航運市場營運人做出正確決策提供幫助，進而大大降低決策風險。

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AnalysisofMulti-FractalCharacteristicsofShippingPriceIndexofDryBulk

Li Diansheng,Li Yunhong,Wan Peixiang

(College of Economics,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

Based on the multi-fractal theory,this paper explores the distribution structure of the shipping price index of dry bulk,and estimates the generalized Hurst exponent and mass index. The results show that the time series of the shipping price index of dry bulk have multi-fractal characteristics. Meanwhile,combined with the multi-fractal spectrum analysis,the paper studies the internal structure of the freight index,and finds that the left end of the multi-fractal spectrum is obviously lower than the right end,and that the distribution is intensive,indicating that the shipping price index of dry bulk shows an overall growth trend.

shipping price index; multi-fractal theory; multi-fractal spectrum analysis

F250

A

1672-335X(2013)03-0007-05

責任編輯：王明舜

2012-12-26

國家社科基金項目“FFA在中國相關(guān)航線上的市場效率研究”(09BJY074)

李電生(1966- )，男，河北石家莊人，中國海洋大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院副教授，主要從事現(xiàn)代物流與供應(yīng)鏈管理，港口規(guī)劃與管理研究。