Smarandache－Pascal派生逆序列的幾個(gè)恒等式

趙院娥，劉 卓

（1延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 延安716000；2西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系，陜西 西安710127）

對(duì)任意基序列｛bn｝，定義它的Smarandache－Pascal派生序列｛Tn｝為T1＝b1，T2＝b1＋b2，T3＝b1＋2b2＋b3，一般地

文獻(xiàn)［1］詳細(xì)介紹了Smarandache－Pascal派生序列的定義及其性質(zhì)，同時(shí)還提出了一系列有趣的命題和猜想，例如猜測(cè)當(dāng)｛bn｝＝ ｛F8n＋1｝＝ ｛F1，F(xiàn)9，F(xiàn)17，F(xiàn)25，…｝及n≥2時(shí)有恒等式

其中｛Fn｝表示著名的Fibonacci數(shù)列．

最近，有不少學(xué)者研究了Smarandache－Pascal派生序列的性質(zhì)以及文獻(xiàn)［1］中提出的猜想，他們不僅解決了這些問題，同時(shí)又將文獻(xiàn)［1］中的內(nèi)容進(jìn)行了推廣和延伸，給出了一般性的結(jié)論．本文的主要目的是引入Smarandache－Pascal派生逆序列，進(jìn)而研究它的各種性質(zhì)． 為此， 先引入Smarandache－Pascal派生序列的逆序列的定義：對(duì)任意序列｛Tn｝，定義b1＝T1，b2＝T2－T1，當(dāng)n≥2時(shí)：

這一序列之所以稱為Smarandache－Pascal派生序列的逆序列是因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)bn＋1＝這一性質(zhì)不難用數(shù)學(xué)歸納法證明．本文對(duì)這一序列的性質(zhì)進(jìn)行研究，并利用初等及組合方法得到幾個(gè)有意義的恒等式．

1 預(yù)備知識(shí)

為敘述方便，先給出二階線性遞推數(shù)列的一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論：

引理1 設(shè)整數(shù)m≥0及n≥2．如果數(shù)列｛Xn｝滿足遞推關(guān)系Xn＋2＝aXn＋1＋bXn（n≥0），那么有恒等式Xm＋n＝An－1Xm＋1＋bAn－2Xm．其中An定義為A0＝1．A1＝a及An＋1＝aAn＋bAn－1，n≥1．或者計(jì)算公式

證明 用歸納法．注意到遞推公式Xm＋2＝aXm＋1＋bXm，A1＝a，A0＝1，An＋1＝aAn＋bAn－1，n≥1．所以Xm＋2＝A1Xm＋1＋bA0Xm．即就是當(dāng)n＝2時(shí)引理1成立．因?yàn)閄m＋3＝aXm＋2＋bXm＋1＝a（aXm＋1＋bXm）＋bXm＋1＝ （a2＋b）Xm＋1＋baXm＝A2Xm＋1＋bA1Xm．即當(dāng)n＝3時(shí)引理1成立．假定引理1對(duì)所有整數(shù)2≤n≤k成立，即就是Xm＋n＝An－1Xm＋1＋bAn－2Xm．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由Xm的遞推關(guān)系及歸納假設(shè)有

就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)引理1成立．

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)｛Xn｝是一個(gè)二階線性遞推數(shù)列且X0＝u，X1＝v，對(duì)所有n≥1，Xn＋1＝aXn＋bXn－1，其中a2＋4b＞0．那么對(duì)任意正整數(shù)d≥1，當(dāng)

時(shí)有恒等式

其中｛An｝定義為A0＝1，A1＝a，An＋1＝aAn＋bAn－1，n≥1．事實(shí)上An的表示式為

證明 對(duì)任意正整數(shù)d，由bn的定義及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

應(yīng)用引理1，有Xdk＋d＋1＝AdXdk＋1＋bAd－1Xdk，再應(yīng)用 （2）式及bn的定義可以推出

另一方面，由引理1也有Xdk＋d＝Ad－1Xdk＋1＋bAd－2Xdk，于是應(yīng)用這個(gè)遞推關(guān)系及公式（1）有

由（3）式也可推出恒等式

再結(jié)合（3）、（4）及（5）式可以得到

由An的計(jì)算公式易得到恒等式

將其代入（6）式可以推出

于是完成了定理1的證明．

若取b＝1，由定理1可得到下面的：

推論1 設(shè)｛Xn｝是一個(gè)二階線性遞推序列且X0＝u，X1＝v，Xn＋1＝aXn＋Xn－1，n≥1．對(duì)任意正整數(shù)a及偶數(shù)d≥2， 定義它的Smarandache－Pascal派生逆序列為

那么有遞推公式

推論2 設(shè)｛Xn｝是一個(gè)二階線性遞推序列且X0＝u，X1＝v，Xn＋1＝aXn＋Xn－1，n≥1．則對(duì)任意正整數(shù)a及奇數(shù)d≥1，定義它的Smarandache－Pascal派生序列的逆序列為

那么有遞推公式其中An＝An（a）＝

顯然Fn＋1（a）＝An（a）是a的一個(gè)多項(xiàng)式，有時(shí)也稱這個(gè)多項(xiàng)式為Fibonacci多項(xiàng)式，因?yàn)镕n（1）＝Fn是著名的Fibonacci數(shù)．有關(guān)Smarandache問題及Fibonacci數(shù)的內(nèi)容可參閱文獻(xiàn)［2－6］，這里不再重復(fù)．

如果在推論1中取a＝2，X0＝P0＝0，X1＝P1＝1以及Pn＋1＝2Pn＋Pn－1，n≥1．那么Pn就成為Pell數(shù)．由推論1也可以推出下面的：

推論3 設(shè)Pn表示Pell數(shù)．那么對(duì)任意偶數(shù)d≥2及bn＋1＝，有遞推公式bn＋1＝（Pd＋1＋Pd－1－2）（bn＋bn－1），n≥2．

從定理1也不難推出如果｛Tn｝是一個(gè)二階線性遞推數(shù)列，那么它的Smarandache－Pascal派生逆序列｛bn｝也是一個(gè)二階線性遞推數(shù)列．

3 結(jié)語

本文在前人研究Smarandache－Pascal派生序列的基礎(chǔ)上，引入了Smarandache－Pascal派生逆序列的定義，用初等方法和組合技巧研究了它的性質(zhì)，并且給出了關(guān)于Smarandache－Pascal派生逆序列的幾個(gè)有意義的恒等式，這將有助于對(duì)Smarandache－Pascal派生逆序列的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和研究．

［1］Murthy A，Ashbacher C．Generalized partitions and new ideas on number theory and smarandache sequences［M］．Hexis：Phoenix，2005：79．

［2］Smarandache F．Only problems，not solutions［M］．Chicago：Xiquan Publishing House，1993．

［3］Wiemann M，Cooper C．Divisibility of an F－L type convolution，Applications of Fibonacci numbers［J］．Kluwer Academic Publishers Dordrecht，2004，9：267－287．

［4］Ma Rong，Zhang Wenpeng．Several identities involving the Fibonacci numbers and Lucas numbers［J］．The Fibonacci Quarterly，2007，45：164－170．

［5］Yi Yuan，Zhang Wenpeng．Some identities involving the Fibonacci polynomials［J］．The Fibonacci Quarterly，2002，40：314－318．

［6］Wang Tingting，Zhang Wenpeng．Some identities involving Fibonacci，Lucas polynomials and their applications［J］．Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de Roumanie，2012，55（1）：95－103．