具有階段結(jié)構(gòu)的捕食－食餌模型的定性分析

姚若飛，李艷玲

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710062）

文獻(xiàn)［1－3］討論了捕食者具有階段性結(jié)構(gòu)的捕食與被捕食模型

其中x（t）、y1（t）、y2（t）分別表示在時(shí)刻t食餌的種群密度、不成熟的和成熟的天敵種群密度．他們討論了該常微分系統(tǒng)的一致持久性、正平衡態(tài)的存在性，及一定條件下的全局漸近穩(wěn)定性和周期解的存在性與穩(wěn)定性．

考慮到實(shí)際問(wèn)題中種群密度與地域具有一定關(guān)系，因此本文討論如下的反應(yīng)擴(kuò)散模型：

及初值條件

其中u0、v0、w0∈C2（Ω）∩C（ˉΩ）．這里Ω是Rn中的一個(gè)光滑區(qū)域，u（t，x）、v（t，x）、w（t，x）分別表示在時(shí)刻t、位置x處食餌的種群密度、不成熟的和成熟的天敵種群密度，v表示邊界?Ω上的單位外法向量，d11、d22、d33＞0是擴(kuò)散系數(shù)，r、a、b、m、k、D、d1、d2都為正常數(shù)．

為方便討論穩(wěn)態(tài)解問(wèn)題，記d11＝d22＝d33＝d，這實(shí)際上也是各個(gè)參數(shù)的一個(gè)轉(zhuǎn)化，于是得到

容易計(jì)算，系統(tǒng)（1）有一個(gè)平凡的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解U0（0，0，0）和一個(gè)半平凡的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解U1（r／a，0，0），另外當(dāng)滿足條件時(shí)，系統(tǒng)（1）還有一個(gè)正的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解U＊（u＊，v＊，w＊），這里

1 整體解的存在性和全局穩(wěn)定性

初邊值問(wèn)題（1）－（2）的解是局部存在唯一的［4］，這里只討論整體解的存在性．注意到兩類捕食者之間是互惠關(guān)系［5］，因此對(duì)v、w的方程，方程組比較原理是成立的，于是有如下兩個(gè)結(jié)論：

定理1 設(shè)（u，v，w）∈C2（［0，T）×ˉΩ，R3）是系統(tǒng)（1）－（2）的一個(gè)解，那么（u，v，w）是非負(fù)的，并且有一個(gè)至多是T的指數(shù)函數(shù)的上界．

定理2 設(shè)d2（D＋d1）（a＋mr）＞kbrD．如果（u，v，w）∈C2（［0，∞）×ˉΩ，R3）是系統(tǒng)（1）－（2）的一個(gè)正解，則對(duì)x一致地有

定理1和定理2的證明 易知［0，＋∞）3是系統(tǒng)（1）的一個(gè)不變區(qū)域，故（u，v，w）非負(fù)，并且當(dāng)且僅當(dāng)u0?0時(shí)，u＞0，?t＞0，x∈ˉΩ；當(dāng)且僅當(dāng)v0?0或w0?0時(shí)，v、w＞0，?t＞0，x∈ˉΩ．下面討論正解情形，設(shè)U（t）是常微分系統(tǒng)

的解，那么當(dāng)t→＋∞時(shí)，U（t）→r／a．對(duì)比u的方程，利用單個(gè)方程的比較原理知

從而u有界．注意到bu／（1＋mu）＜b／m，令（V（t）、W（t））是線性常微分系統(tǒng)

的解，于是（V（t），W（t））至多指數(shù)增長(zhǎng)．因?yàn)椋╲，w）的方程是互惠的，由方程組的比較原理得

所以，（u，v，w）有界并且有一個(gè)至多是T的指數(shù)函數(shù)的上界，從而系統(tǒng)（1）－（2）的解是整體存在的．

在定理2的條件下，存在R＞r，使d2（D＋d1）（a＋mR）＞kbRD．并且對(duì)x一致地有

取T1＞0使得當(dāng)t≥T1時(shí)，u（t，x）≤R／a．構(gòu)造（V（t），W（t））如（6），初值為T1時(shí)刻代替，則由R的取法知（V（t），W（t））指數(shù)收斂于（0，0）．從而由比較原理可知，v（t，x）≤V（t），w（t，x）≤W（t），t≥T1，x∈ˉΩ．于是

對(duì)任意的ε∈（0，r／ab），取T2＞T1，使得當(dāng)t≥T2時(shí)v（t，x）＜aε．令u～（t）如下：

因?yàn)閎wu／（1＋mu）≥abεu（當(dāng)t≥T2時(shí)），利用u的方程及比較原理，得

注意到u～（t）→r／a－bε，及（7）－（9）和ε的任意性知定理2的結(jié)論成立．

2 正解的先驗(yàn)估計(jì)和非常數(shù)正解的不存在性

本節(jié)應(yīng)用一個(gè)與最大值原理有關(guān)的引理，討論正解的估計(jì)，利用這個(gè)估計(jì)和能量積分方法得到一個(gè)非常數(shù)正解的不存在性結(jié)果．

引理1［6］設(shè)F（x，w）∈C（ˉΩ×R1）．若w∈C2（Ω）∩C1（ˉΩ）滿足

如果w（x0，那么F（x0，w（x0））≥0．

定理3 設(shè)（u，v，w）是系統(tǒng)（3）的一個(gè)正解，則0＜u＜r／a，0＜v＜K，0＜w＜K，x∈ˉΩ．

其中K是一個(gè)與m、b、d無(wú)關(guān)的正常數(shù)．

令V＝ku＋v，則它滿足

于是得到

定理4 存在一個(gè)僅依賴r、a、b、k、D、d1、d2、Ω的正常數(shù)D，使得當(dāng)d＞D時(shí)，系統(tǒng)（3）的正解一定為正常數(shù)．

證明 若φ∈L1（Ω），記ˉφ＝∫Ωφ（x）dx／｜Ω｜和φ＝φ－ˉφ．令n（u）＝u（r－au），f（u，w）＝buw／（1＋mu）．如果（u，v，w）是系統(tǒng)（3）的一個(gè)正解．對(duì)（3）中3個(gè)方程分別乘以u(píng)、v、w后，再在Ω 上積分，利用Green公式，得

注意到n（u）－n（u）＝g1u，f（u，w）＋f（ˉu，ˉw）＝g2u＋g3w，這里g1、g2、g3都是函數(shù)且有不依賴于m和d的上界（已用到定理3），那么

結(jié)合Poincar˙e不等式

∫Ω｜φ－ˉφ｜2dx≤CΩ∫Ω｜▽?duì)眨?dx，?φ∈W1，2（Ω）和Young不等式，得

上式表明，當(dāng)d＞CΩK1（K1不依賴于m和d）時(shí)，u＝v＝w＝0，即u、v、w都是常函數(shù)．

3 常數(shù)穩(wěn)態(tài)解處的局部分歧

本節(jié)討論系統(tǒng)（3）在3個(gè)常數(shù)平衡態(tài)的局部分歧，其主要是驗(yàn)證局部分歧定理（文獻(xiàn)［8］中定理13．5）中的3個(gè)條件成立．

設(shè)0＝λ0＜λ1≤λ2≤…→＋∞是－Δψ＝λψ，x∈Ω，?vψ＝0，x∈?Ω （10）的所有特征值，相對(duì)應(yīng)的單位正交化的特征函數(shù)依次為ψ0，ψ1，ψ2，…．ψ0是主特征函數(shù)，為正函數(shù)，其他特征函數(shù)均變號(hào)．

Hilbert空間［L2（Ω）］3具有內(nèi)積〈U，V〉＝，U＝（u1，u2，u3）T，V＝（v1，v2，v3）T，以后討論中出現(xiàn)垂直（符號(hào)為⊥）的概念就是在這種意義下的．記

它們?cè)谕ǔ５姆稊?shù)意義下都是Banach空間．設(shè)U＝（u，v，w），

定義光滑算子F：R＋×X→Y為F（d，U）＝dΔU＋f（U）．那么系統(tǒng)（3）轉(zhuǎn)化成

則FU（d，U）＝dIΔ＋H（U）：X→Y，F(xiàn)dU（d，U）＝IΔ：X→Y，其中

先計(jì)算算子L＝IΔ＋H：X→Y的一些性質(zhì)（H是實(shí)矩陣，HT表示H的轉(zhuǎn)置）．設(shè)U∈Ker（L），并記于是有

上述的求和實(shí)際上是有限和，而R（L）＝｛f∈Y：f⊥Ker（L＊）｝，L＊＝IΔ＋HT，故

由此，Ker（L）∩R（L）＝ ｛0｝的充要條件是對(duì)每一個(gè)i，λi（關(guān)于矩陣H）的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)相等（可能都為0）．這里（12）式用來(lái)計(jì)算L的核空間，（13）式用來(lái)判斷L的像空間的余維數(shù)，而（14）式是在以后的情形中用來(lái)判斷分歧定理第三個(gè)條件的．

在高維空間中，特征問(wèn)題（10）的正特征值的重?cái)?shù)可能大于1．然而在一維區(qū)間時(shí)，所有特征值都是單重的，這里討論空間為一維的情形：

對(duì)平衡態(tài)U0（0，0，0）和U1（r／a，0，0），F(xiàn)（d，U0）＝F（d，U1）＝0，?d＞0．

顯然，H0的正特征值只有一個(gè)，即為r，并且代數(shù)重?cái)?shù)是1，以及0不是特征值；當(dāng)d2（D＋d1）（a＋mr）＜kbrD時(shí)，H1的正特征值只有一個(gè)，記為σ，并且代數(shù)重?cái)?shù)是1，以及0不是特征值．對(duì)于這兩種平衡態(tài)，其分歧情形是相似的．

定理5 給定j≥1和d＝r／λj，則存在δ＞0和光滑曲線（d，φ）：（－δ，δ）→R×Z滿足：（?。│眨?）＝0，d（0）＝d，（ⅱ）F（d（s），U（s））＝0，s∈ （－δ，δ）；（ⅲ）在（d，U0）的某個(gè)小鄰域內(nèi)（11）的每個(gè)解要么在這條曲線上，要么是平凡的．這里Φ＝ξψj，Z＝｛φ∈X：φ⊥Φ｝，ξ＝ （1，0，0）T是H0的正特征值所對(duì)應(yīng)的“唯一”特征向量及

U（s）＝U0＋s（Φ＋φ（s））．

證明 設(shè)L0＝FU（d，U0）＝＋H0，L1＝IΔ，則由（12）得，Ker（L0）＝span｛Φ｝，Φ ＝ξψj，L1Φ＝－λjΦ．再由（13）和（14）式得，codimR（L0）＝1，L1Φ ＝－λjΦ ?R（L0）．分歧定理的條件成立．

定理6 設(shè)條件（4）成立，且記σ是H1上的唯一正特征值．給定j≥1和d＝σ／λj，則存在δ＞0和光滑曲線（d，φ）：（－δ，δ）→R×Z滿足：（?。│眨?）＝0，d（0）＝d；（ⅱ）F（d（s），U（s））＝0，s∈（－δ，δ）；（ⅲ）在（＾d，U1）的某個(gè)小鄰域內(nèi)系統(tǒng)（11）的每個(gè)解要么在這條曲線上，要么是平凡的．這里Φ＝ξψj，Φ＝ξψj，Z＝｛φ∈X：φ⊥Φ｝，ξ、ξ是H1和HT1的正特征值所對(duì)應(yīng)的“唯一”特征向量及

下面討論正常數(shù)平衡態(tài)U＊處的分歧，記

那么矩陣H＊的特征多項(xiàng)式是

注意到r－au＊＞0，那么H＊至少有一個(gè)負(fù)特征值，0不是特征值，并且它的正特征值（若有的話）必然是兩個(gè)．假設(shè)

為避免σ1／λj＝σ2／λi的情形，進(jìn)一步設(shè)

同樣地，有下述分歧結(jié)論：

定理7 設(shè)條件（4）、（17）、（18）成立．給定i∈｛1，2｝，j≥1．記d＝σi／λj，則存在δ＞0和光滑曲線（d，φ）：（－δ，δ）→R×Z滿足：（?。│眨?）＝0，d（0）＝d；（ⅱ）F（d（s），U（s））＝0，s∈（－δ，δ）；（ⅲ）在（＾d，U＊）的某個(gè)小鄰域內(nèi)（11）的每個(gè)解要么在這條曲線上，要么是平凡的．這里Φ＝ξψj，Φ＝ξψj，Z＝ ｛φ∈X：φ⊥Φ｝，ξ、ξ是H＊和HT＊的正特征值σi所對(duì)應(yīng)的“唯一”特征向量及

U（s）＝U＊＋s（Φ＋φ（s））．

證明 同前面定理證明一樣，這里只需要驗(yàn)證單特征值分歧定理的第三個(gè)條件，事實(shí)上，σi（i＝1，2）是H＊的代數(shù)單重特征值就表明ξ·ξ≠0．從而結(jié)論得證．

注1 取參數(shù)值b＝1、m＝1、D＝1、d1＝0．1、d2＝0．2、k＝1、a＝2、r＝12時(shí)，U＊＝（0．282 1，2．932 3，14．661 4），H＊的特征值為－1．634 7，1．469 7，0．816 8．這表明條件（17）在某些參數(shù)的時(shí)候是可以成立的，而條件（18）只要合適地?cái)_動(dòng)參數(shù)值也可以成立．

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