雙勢阱中能級分裂的物理機理探析

段艷濤，徐永剛，林錢蘭，安 斕，林富錕，朱海飛，李永放，郭建中

（陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安710062）

納米結(jié)構(gòu)器件的超小尺寸和優(yōu)良的性能引起了很多研究者的注意［1］．人們通過能量量子化在這些器件之中實現(xiàn)了對有效帶隙的可調(diào)諧性，由此獲得許多新的電子和光電子特性［2－3］．許多這樣的量子效應(yīng)器件已經(jīng)有了商業(yè)化產(chǎn)品，例如，多重量子阱（Multiple Quantum Well，MQW）結(jié)構(gòu)制成的功能型器件，共振遂穿二極管（Resonant Tunneling Diodes，RTD），共振遂穿晶體管（Resonant Tunneling Transistors，RTT），量子級聯(lián)激光器（Quantum Cascade Lasers，QCL），量子阱紅外光探測 器 （Quantum Well Infrared Photodetectors，QWIP），量子限制斯塔克效應(yīng)調(diào)制器（Quantum Confined Stark Effect Modulators，QCSEM）等．其中量子級聯(lián)激光器（Quantum Cascade Lasers，QCL）是寬帶和可調(diào)諧激光的首選［4－6］，共振遂穿二極管（RTD）和共振遂穿晶體管（RTT）可用于多值數(shù)字邏輯和負(fù)阻抗器件［7－8］，量子阱紅外光探測器（QWIP）可用于夜視儀，非損傷醫(yī)學(xué)診斷、環(huán)境污染檢測［9－14］等．

在半導(dǎo)體共振遂穿器件中，雙勢阱是一個基本結(jié)構(gòu)單元．電子在系統(tǒng)中的傳輸問題可以通過薛定諤方程或轉(zhuǎn)移矩陣的方法來描述．然而，在雙勢阱中的能態(tài)分裂又是這一基本結(jié)構(gòu)單元中的最基本的問題．如何理解能態(tài)分裂的物理原因或機理，如何從簡單易懂的物理圖像認(rèn)識這一問題則是研究量子器件者們更為關(guān)注的問題．本文利用轉(zhuǎn)移矩陣的方法，研究雙勢阱中不同區(qū)域內(nèi)電子動量之間的耦合問題，以更為直觀的圖像，從新的角度解釋、分析能態(tài)分裂的特性和物理機理．這一結(jié)果對于理解雙勢阱、多勢阱組合構(gòu)成的復(fù)雜器件中波矢量的傳輸機理具有一定的參考價值．

1 模型與理論分析

最基本的一維雙勢阱結(jié)構(gòu)如圖1所示，電子的能量與系統(tǒng)中的勢壘和勢阱之間滿足關(guān)系：V1＜E＜V2＜V0．系統(tǒng)中電子在各個區(qū)間的波函數(shù)分別為［15］

圖1 一維方形雙勢阱Fig．1 Schematic of one－dimensional square double potential well

在勢壘中的轉(zhuǎn)移矩陣為［15］

1．1 勢阱兩邊的波矢量p0與勢阱中的波矢量k1之間的關(guān)系

依據(jù)轉(zhuǎn)移矩陣，波函數(shù)ψ（x）及其一階導(dǎo)數(shù)ψ′（x）應(yīng)滿足的矩陣方程為

由（1）式可以得到

利用向量（－p01）左乘（4）式兩邊并將（5）式代入，可以化簡為

其中：

令（－p01）M（b）＝（－p1d）和M（b）（1 －p0）T＝（d －p1）T．這樣可以得到：

前一個式子說明，電子從左邊進入到勢阱之中時產(chǎn)生一個新的波矢p1，它是入射的波矢量p0與勢阱中的k1矢量疊加的結(jié)果．第二個關(guān)系則表明p0與k1兩個波矢量之間應(yīng)該滿足的約束關(guān)系．利用矢量疊加圖可以清楚的表示新的波矢量p1與p0和k1的關(guān)系，如圖2a所示．這一結(jié)果說明入射電子的波矢量與勢阱中的波矢量之間是通過相位k1b因子將其分解為沿傳播方向和垂直于傳播方向的兩個部分的疊加，p1與p0和k1的分量在傳播方向上滿足動量守恒關(guān)系．用向量（d p1）T右乘（－p01）M（b）式，可得

圖2 →p0與→k1的矢量疊加產(chǎn)生了新的波矢量→p1（a），角度φ0和φ1以及k1b關(guān)系圖（b）Fig．2 The new wave vector→p1is the vector superposition between→p0and→k1（a），The angular relation amongφ0，φ1and k1b（b）

對向量進行歸一化，可令d＝1，則（7）式可表示為tan（k1b）＝tan（φ0－φ1），其中，tanφ0＝p0／k1，tanφ1＝p1／k1．進一步可得

圖2b表示了（8）式中各個角度φ0＝φ1＋k1b和φ0＝arctan（p0／k1）以及φ1＝arctan（p1／k1）之間的關(guān)系．當(dāng)取n＝0時，有φ1＝φ0－k1b．可見p1僅是p0的一部分．后面將會看到p1會與勢壘中的波矢量k2之間產(chǎn)生相干疊加，從而導(dǎo)致在雙勢阱中的能態(tài)產(chǎn)生分裂．

1．2 波矢量p1與勢壘中的波矢量k1之間的關(guān)系利用（－p0 1）M（b）＝（－p1 d）和

將M（2a）代入上式后化簡為：

由于tanh（k2a）≠coth（k2a），說明這兩種表示都與電子在系統(tǒng)中存在的狀態(tài)相聯(lián)系．在系統(tǒng)存在兩種模式的波，或者說能態(tài)是分裂的．將（11）式變形后得

帶入到k1b＝之中，可得到雙勢阱中的本征方程為

其中Δφ＝φ2－φ2′，φ2＝＝arctanφ2′．兩個本征值方程進一步說明在雙勢阱系統(tǒng)中存在著兩種模式的波．n＝0時的（12）式中的角度分布關(guān)系，如圖3所示．圖中的兩個直角三角形共用一個

圖3 雙勢阱系統(tǒng)的波矢量之間的關(guān)系Fig．3 The relation between wave vectors in double potential well

直角邊，它的邊長為k1．若V1＝0，這時為入射電子的能量），k1越大，φ2或φ2′越?。瑫r比較p2和p2′，當(dāng)k2a越大，兩者的差越大，如圖4（b）所示．波矢量差Δp＝p2－p2′是非線性變化，勢壘寬度越大，Δp越小，它隨著入射電子能量的增加呈單調(diào)增長規(guī)律．

2 結(jié)果分析

根據(jù)前面對波矢量的定義：p0＝．假設(shè)m＝1，?＝1，V1＝0，V2＝1．當(dāng)入射電子的能量增加時，則Δ＝p2－p2′增加，這意味著在系統(tǒng)中的能量分裂會增加．根據(jù)ε＝（?k）2／2m，可以得到能級分裂Δε＝［（?p2）2－（?p2′）2］／2m，結(jié)果如圖4所示．

圖4 對應(yīng)不同勢壘寬度時的能級分裂（a）和波矢量差隨入射電子能量的變化（b）Fig．4 The energy level splittings corresponding to different barrier widths（a），The electron energies dependence of difference of wave vectors（b）

從圖中可以看到，勢壘越窄，能態(tài)分裂越大；對應(yīng)一定的勢壘寬度，隨著入射電子的能量增加能級分裂有一個最大值．勢壘寬度愈大，最大值所對應(yīng)的電子能量越大，所以當(dāng)入射電子能量大于最佳值之后，能級分裂隨入射電子能量增大而變?。?/p>

從量子物理的層面上理解：當(dāng)勢壘寬度較小時，電子容易遂穿過去到達(dá)另一邊的勢阱之中，與其中的電子波函數(shù)耦合．遂穿幾率越大，波函數(shù)之間的耦合越強，能態(tài)的分裂會越大，反之波函數(shù)之間的耦合越弱，能態(tài)分裂越難．因此在勢阱的底部能態(tài)分裂要小于勢阱的頂部．能態(tài)分裂的最大值對應(yīng)著圖4a中的曲線彎曲部分所對應(yīng)的能量．勢壘寬度越小，則最大處的能量越低．因此這一結(jié)論對于研究利用雙勢阱系統(tǒng)制備量子器件具有一定的意義．

3 結(jié)論

本文以電子在雙勢阱中傳播的波矢量耦合的方式和直觀的物理圖像解釋了能態(tài)在系統(tǒng)中產(chǎn)生分裂的物理機理．從量子物理的層面解釋了勢壘寬度對能態(tài)分裂的影響．所得結(jié)果對于理解半導(dǎo)體雙勢阱結(jié)構(gòu)中的能態(tài)分布和制備具有實際意義的量子器件具有一定的參考價值．

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