一些新的雙邊不等式

高紅亞，牛文娟，吳迎雪

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002)

一些新的雙邊不等式

高紅亞，牛文娟，吳迎雪

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002)

不等式出現(xiàn)于數(shù)學(xué)的各個分支，并廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域.給出了雙邊不等式成立的一個充分條件，并得到了幾個與Seiffert平均、廣義海倫平均、算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均有關(guān)的新的雙邊不等式.

雙邊不等式；Seiffert平均；廣義海倫平均；算術(shù)平均；加權(quán)幾何平均

區(qū)間I上2個正數(shù)a,b的平均定義為函數(shù)M:I2→I，滿足

min{a,b}≤M(a,b)≤max{a,b},?a,b∈I.

(1)

由上式得

M(a,b)=a,?a∈I.

M(a,b)稱為對稱的，若

M(a,b)=M(b,a),?a,b∈I,?c>0.

(2)

近年來，解析不等式的研究吸引了諸多數(shù)學(xué)工作者的興趣，見文獻(xiàn)[1]及其參考文獻(xiàn).雙邊不等式的一些結(jié)果見文獻(xiàn)[2-3].

本文首先給出1個雙邊不等式成立的充分條件，然后給出幾個新的雙邊不等式.

Seiffert[4-5]引入了第1類和第2類Seiffert平均

下面的廣義海倫平均由Janous[6]引入

算術(shù)平均加權(quán)幾何平均分別定義為

S(a,b)=aa/(a+b)bb/(a+b).

與Seiffert平均和廣義海倫平均有關(guān)的結(jié)果見文獻(xiàn)[7-9].與算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均有關(guān)的結(jié)果見文獻(xiàn)[3].經(jīng)典平均的應(yīng)用見文獻(xiàn)[10].

首先證明下面的定理.

定理1 設(shè)A(a,b)和B(a,b)為2個對稱齊次平均，c為一常數(shù).若函數(shù)

嚴(yán)格單調(diào)，且滿足

則當(dāng)f(x)嚴(yán)格遞減時，對所有a,b>0,a≠b,雙邊不等式

cB(a,b)

(3)

成立.當(dāng)f(x)嚴(yán)格遞增時，對所有a,b>0,a≠b,雙邊不等式

B(a,b)

(4)

成立.式(3)和式(4)中的常數(shù)1和c是最優(yōu)的.

證明不失一般性，設(shè)a>b>0.取xp=a/b>1.因為A(a,b)和B(a,b)為2個對稱齊次平均，由式(1)可得

于是

若f(x)嚴(yán)格遞減，則對所有x>1,c1,1

下面給出幾個雙邊不等式.因為a,b>0任意，且每個平均都是對稱的，所以不妨設(shè)a>b>0.

推論1 對任意a,b>0,a≠b,有

(5)

證明令x2=a/b>1,對

取對數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

(6)

其中

計算得

得到.

推論2 對任意a,b>0,a≠b，有

(7)

其中常數(shù)1和4/π是最優(yōu)的.

證明令x2=a/b>1，對

取對數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

(8)

其中

計算得

得到.

推論3 對任意a,b>0,a≠b,有

H0(a,b)

其中常數(shù)1和2是最優(yōu)的.

證明令x2=a/b>1，對

取對數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

因此f3(x)對于任意x>1是嚴(yán)格遞增的，推論3的結(jié)果由定理1和

得到.

推論4 對任意a,b>0,a≠b,有

(9)

其中常數(shù)2/π和1是最優(yōu)的.

證明令x2=a/b>1，對

取對數(shù)再取導(dǎo)數(shù)，得

(10)

其中

計算得

得到.

[1]張小明，褚玉明.解析不等式新論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

ZHANGXiaoming,CHUYuming.Newdiscussiontoanalyticinequalities[M].Harbin:HarbinInstituteofTechnologyPress, 2009.

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GAOHongya,QIAOJinjing.Reguearityforsolutionstoobstacteprobtemsfordifferentialforms[J].JournalofHebeiUniversity:NaturalScienceEdition, 2011,31(5):1-5.

Somenewcompanioninequalities

GAOHongya,NIUWenjuan,WUYingxue

(College of Mathematics and Computer Science, Hebei University, Baoding 071002, China)

Inequalities appear in all branches of mathematics, and applied in the fields of mathematics, physics, mechanics and engineering.In this paper, a sufficient condition ensuring companion inequalities is given and some new companion inequalities related to Seiffert, generalized Heronian, arithmetic and weighted geometric means are obtained.

companion inequality; Seiffert mean;generalized Heronian mean; arithmetic mean; weighted geometric mean

10.3969/j.issn.1000-1565.2013.01.001

2012-04-07

國家自然科學(xué)基金資助項目(10971224)；河北省自然科學(xué)基金資助項目(A2011201011)

高紅亞(1969-)，男，河北順平人，河北大學(xué)教授，博士，主要從事幾何函數(shù)論與非線性分析方向研究.

E-mail:hongya-gao@sohu.com

O178

A

1000-1565(2013)01-0001-04

MSC2010: 26D20

(責(zé)任編輯王蘭英)