2013年江西省數(shù)學高考第20題探究及反思

●陳崇榮

(柘榮縣第一中學 福建柘榮 355300)

2013年江西省數(shù)學高考第20題探究及反思

●陳崇榮

(柘榮縣第一中學 福建柘榮 355300)

2013年江西省數(shù)學高考理科第20題是眾多圓錐曲線題中的一道好題.平凡，但也不落俗套，難度恰當，梯度明顯，問題的設計層層遞進，使得不同層次考生的水平都得到合理的評價，突出“淡化層次內(nèi)的區(qū)分，強化層次間的區(qū)分”的評價理念.并且突出對中學數(shù)學思想方法的考查，注重最基礎、最本質(zhì)的數(shù)學知識的應用，旨在考查考生探究問題的能力，檢測其進一步學習的潛能.同時該題內(nèi)涵豐富，可以從不同角度進行拓展，得出許多新的結(jié)論，充分展示圓錐曲線的統(tǒng)一美、奇異美、對稱美等.下面就一起來欣賞該題.

1 試題再現(xiàn)

圖1

(1)求橢圓C的方程.

(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

(2013年江西省數(shù)學高考理科試題第20題)

2 解法賞析

(2)解法1設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x-1)，代入橢圓方程3x2+4y2=12并整理得

(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

在直線AB的方程中令x=4,得點M的坐標為(4,3k)，從而

又

y1x2+y2x1=2kx1x2-k(x1+x2),y1+y2=k(x1+x2)-2k,

從而k1+k2=2k3，故存在常數(shù)λ=2符合題意.

解法2同解法1,注意到點A,F,B共線，則有k=kAF=kBF，即

(3+sin2α)t2+6tcosα-9=0.

由韋達定理可得

把x=4代入直線AB的方程可得y=3tanα,即M(4,3tanα).設A(1+t1cosα,t1sinα),B(1+t2cosα,t2sinα),則

則直線PA的斜率為

直線PB的斜率為

從而

故存在常數(shù)λ=2符合題意.

3 結(jié)論探究

3.1 縱向探究

(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

從而

又因為y1x2+y2x1=2kx1x2-kc(x1+x2)，y1+y2=k(x1+x2)-2kc，所以

3.2 橫向探究

對于雙曲線和拋物線也有類似結(jié)論：

根據(jù)圓錐曲線的對稱性，改變焦點F及相應準線的位置，上述結(jié)論也照樣成立.

于是得到圓錐曲線的一個統(tǒng)一定理：

定理點P是圓錐曲線E上一點，準線為l，對應的焦點為F，PF⊥x軸，AB是經(jīng)過焦點F的任一弦(不過點P).設直線AB與準線l相交于點M，記PA,PB,PM的斜率分別為kPA,kPB，kPM,則kPA+kPB=2kPM.

3.3 拓展探究

(b2cos2α+a2sin2α)t2+2b2mcosα·t+b2m2-a2b2=0,

由韋達定理得

從而

類比可得，雙曲線和拋物線也有下面結(jié)論：

4 試題的評價與導向

試題編制符合“小、巧、寬”的原則，彰顯了人性，推動了新課改.本題文字不多，且簡潔明了，已知、未知、所求結(jié)論非常清楚，減輕了考生在理解題意和精神方面的負擔，符合“小”的原則.該題分了2個小題，設計合理.第(1)小題立足于基礎，第(2)小題解法多樣，不回避“聯(lián)立方程”、“韋達定理”及“設而不求”的思想方法，提倡通性通法，但要滿分拿下也不容易.考生必須掌握解析幾何知識以及數(shù)學思想等方面的基本運算能力、綜合運用知識的能力，因此該題具有科學合理的新穎度和區(qū)分度，符合“巧”的原則.“寬”一是指知識覆蓋面寬；二是指入口寬，解法思路廣.此題覆蓋了橢圓的主要基本知識、基本的思想方法.解法也多樣，有一般方法如解法1，也有比較“活”一點的方法如解法2和解法3，使得不同層次考生的水平都得到合理的評價.

圓錐曲線定值、定點問題一直是各地高考的熱點、難點.教學中對這些定值、定點問題不能僅僅滿足于完成試題得到結(jié)果，而應該舍得花時間組織學生對條件和結(jié)論多反思、拓展、引申，讓學生親身經(jīng)歷探究過程，發(fā)現(xiàn)隱藏在試題背后通性、共性的知識，理解基本的數(shù)學概念、數(shù)學結(jié)論的本質(zhì)，體會其中蘊藏的數(shù)學思想方法，從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng).第六屆國際數(shù)學教育會議提出：數(shù)學教育還必須將數(shù)學中所固有的美展示給學生，使學生不僅獲得知識，而且還受到美的熏陶.對條件和結(jié)論的拓展、引申，也充分展示了圓錐曲線中的統(tǒng)一美、奇異美、對稱美等.對學生而言，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)會使他們覺得數(shù)學妙不可言，解析幾何美妙極了，這種驚喜對學生學好數(shù)學是強大的正能量.

[1] 中華人民共和國教育部制訂.普通高中課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2] 許曉根.數(shù)學美育教育與數(shù)學發(fā)現(xiàn)[M].北京:北京大學出版社，2012.

[3] 魏本義,黃安成．數(shù)學高考命題必須堅持“小巧活寬易”的原則[J].中學數(shù)學教學參考:上旬，2010(11):39-42.