直線上動點到2個定點距離差的取值范圍問題

●張福儉

(揚州中學 江蘇揚州 225009)

直線上動點到2個定點距離差的取值范圍問題

●張福儉

(揚州中學 江蘇揚州 225009)

蘇教版《數(shù)學(必修2)》第2章復習題第21題：已知點M(1,3),N(5,-2)，在x軸上取一點P，使|PM-PN|最大，求點P的坐標.

解作點N關于直線l的對稱點N′(5,2),點P在x軸上，則

|PM-PN|=|PM-PN′|≤MN′,

x+4y-13=0.

將y=0代入，得x=13，即點P的坐標是P(13,0).

以上類型習題在教材和教學參考書中多次出現(xiàn)，每次都只考慮直線上動點到2個定點距離差的絕對值的最大值，為何不考慮最小值？又從解法可知直線MN′與x軸的交點即為所求的點P，如果直線MN′與x軸沒有交點，此時有沒有最大值？這引起了筆者的一系列思考：對任意給定的2個點有沒有最小值？有沒有最大值？去掉絕對值，有沒有最大值和最小值？

上面的3個問題，歸根結底是能否求出直線上動點到2個定點距離差的取值范圍.筆者經(jīng)過研究，得到了以下結論：

定理已知直線l和同側的2個點A,B(包括點A,B在直線l上的情況)，設點P是直線l上的動點，點A,B的距離為d，直線AB與直線l夾角為θ，則

(2)當θ=0時，若點A,B不在直線l上，則PA-PB的取值范圍是(-d,d)；若點A,B在直線l上，則PA-PB的取值范圍是[-d,d].

圖1

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,0),其中x1≥x2≥0，y1>y2≥0，則

當x≤0時，x1-x≥0,x2-x≥0，從而

因為點A,B,O共線,所以x1y2=x2y1≥0.又因為-xy1≥-xy2≥0,所以f′(x)≥0,因此f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù).

當0≤x≤x2時，x1-x≥0，x2-x≥0,從而

因為x1y2=x2y1且-xy1≤-xy2,所以0≤x2y1-xy1≤x1y2-xy2,即f′(x)≤0,因此f(x)在[0,x2]上是減函數(shù).

當x2≤x≤x1時，x-x1≤0,x-x2≥0，從而

從而f(x)在[x2,x1]上是減函數(shù).

當x≥x1≥0時，x-x1≥0，x-x2≥0,從而

因為x1y2=x2y1且xy2≤xy1,所以0≤xy2-x1y2≤xy1-x2y1,即f′(x)≤0,因此f(x)在[x2,+∞)上是減函數(shù).

綜上可知，f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù)，在[0,+∞)上是減函數(shù)，f(x)max=f(0)=d.

圖2 圖3

(2)當θ=0時，若點A,B不在直線l上，以直線l所在直線為x軸、線段AB的中垂線為y軸建立如圖3所示的直角坐標系.

設A(x1,y1)，B(-x1,y1)，P(x,0),其中x1>0，y1>0，則

當x≤-x1<0時，x-x1

因此f(x)在(-∞,-x1]上是減函數(shù).

當-x1≤x≤x1時，x-x1≤0，x+x1≥0,從而f′(x)≤0,因此f(x)在[-x1,x1]上是減函數(shù).

當x≥x1>0時，x+x1>x-x1≥0,從而

因此f(x)在[x1，+∞)上是減函數(shù).

綜上可知，f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).

圖4

當x→-∞時，同上可得f(x)→CD=d.

因此，當θ=0時，若點A,B不在直線l上，則PA-PB的取值范圍是(-d,d).顯然，當θ=0時，若點A,B在直線l上，則PA-PB的取值范圍是[-d,d].

如果點A,B位于直線l的異側，設點P是直線l上的動點，若點A,B關于直線l對稱，則PA-PB=0，即PA-PB的取值范圍是{0}；若點A,B不關于直線l對稱，作點B關于l的對稱點B′,則PA-PB=PA-PB′，而點A,B′位于直線l的同側，運用上面的定理，可得PA-PB的取值范圍.

至此，直線上動點到2個定點距離差的取值范圍問題已經(jīng)解決，直線上動點到2個定點距離差的絕對值是否有最小值(或最大值)、有最小值(或最大值)時如何求也已經(jīng)解決.

[1] 單墫．普通高中課程標準實驗教科書(數(shù)學·必修2)[M].南京：江蘇教育出版社,2011：115.