對2013年高考若干客觀壓軸題的解讀

●丁 勇 母建軍

(木瀆第二高級中學 江蘇蘇州 215101)

對2013年高考若干客觀壓軸題的解讀

●丁 勇 母建軍

(木瀆第二高級中學 江蘇蘇州 215101)

2013年全國各地數(shù)學高考的客觀題有不少亮點，它們著眼于對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查；著眼于對知識理解的準確性、深刻性、靈活性的把握；著眼于知識點新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不很難.要想得到正確答案，倘若沒有找準解決問題的突破口，并非易事.回眸2013年數(shù)學高考客觀壓軸題的這些亮點，的確令人賞心悅目，下面結(jié)合試題進行說明，供大家賞析.

(2013年江蘇省數(shù)學高考試題)

PA2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2，

評注利用“換元”將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，再通過分類討論的思想方法去分析和解決問題.

(2013年江蘇省數(shù)學高考試題)

解得

經(jīng)檢驗，當n=12時，條件成立；當n=13時，條件不成立，因此滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為12.

評注本題由等比數(shù)列的基本問題入手，求出基本量后，問題即轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€關于n的不等式求解問題.對于一些不能用常規(guī)方法求解的方程、不等式，可以通過放縮、估算、檢驗等方法嘗試解決.

(2013年北京市數(shù)學高考試題)

評注本題根據(jù)平面向量基本定理，采用特殊值的思想，迅速找出點P構成的平面區(qū)域，使問題得到解決，達到了事半功倍的效果.

圖1

例4在平面直角坐標系中，若點P(x,y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.如圖1，△ABC是格點三角形，對應的S=1，N=0，L=4.

(1)圖1中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是______.

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c，其中a，b，c為常數(shù).若某格點多邊形對應的N=71,L=18，則S=______(用數(shù)值作答).

(2013年湖北省數(shù)學高考試題)

分析(1)由圖1可知四邊形面積S=3，內(nèi)部的格點數(shù)N=1，邊界上的格點數(shù)L=6.

(2)由格點多邊形面積公式的特點及條件中三角形和第(1)小題的結(jié)論，可知只需再找出一個多邊形的結(jié)論即可求出格點多邊形的面積公式.

1=a·0+b·4+c；

3=a·1+b·6+c；

解得

于是

故當N=71，L=18時，S=79.

評注對于信息遷移問題，解題的關鍵在于閱讀和及時捕捉、利用信息，再結(jié)合所學知識作出判斷、推理、概括和運算.

例5若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點x1,x2，且f(x1)=x1，則關于x的方程3[f(x)]2+2f(x)+b=0不同的實根個數(shù)是______.

(2013年安徽省數(shù)學高考試題)

分析由題意可知x1，x2為f′(x)=3x2+2ax+b=0的2個不同的根,因此要求3[f(x)]2+2f(x)+b=0的實數(shù)根個數(shù)，即求f(x)=x1，f(x)=x2的實數(shù)根個數(shù).于是，問題轉(zhuǎn)化為觀察函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x1，y=x2的交點個數(shù).

圖2

不妨設x1

同理可得：當x1>x2時交點個數(shù)也為3個，從而方程3[f(x)]2+2f(x)+b=0不同實數(shù)根的個數(shù)是3.

評注本題將方程的根、函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為了2個函數(shù)圖像交點問題，充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

(2013年重慶市數(shù)學高考試題)

圖3

所以

(x-a)2+(y-b)2=2-(x2+y2).

所以

從而

故

評注對于向量問題的研究，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?、引進坐標是一種行之有效的方法.

(2013年四川省數(shù)學高考試題)

分析原函數(shù)在其定義域上為單調(diào)函數(shù)，由f[f(y0)]=y0可得

f(y0)=y0≥0，

即

g(0)≤a≤g(1)，

即

1≤a≤e.

評注本題通過函數(shù)的定義及單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較熟悉的存在性問題來研究和解決.

(2013年山東省數(shù)學高考試題)

分析因為z=x2-3xy+4y2(x,y,z均為正實數(shù)),所以

此時x=2,y=1,z=2.

評注對于三元函數(shù)求最值問題，最基本的思想就是降元.本題通過條件的等量關系將z轉(zhuǎn)化后，通過基本不等式得出最值.

例9已知點A(-1,0)，B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的2個部分，則b的取值范圍是______.

(2013年全國數(shù)學高考試題)

圖4 圖5 圖6

評注本題結(jié)合圖像將問題進行分類，抓住3個臨界位置，解決問題.通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題過程的目的.

(2013年天津市數(shù)學高考試題)

分析因為a+b=2，b>0,所以

評注本題包含著二元函數(shù)、絕對值函數(shù)、均值不等式.注意到條件與結(jié)論的結(jié)構特點，進行乘1的運算，構造出倒數(shù)的關系，利用基本不等式解決問題，當然本題還可以運用降元思想或者1的代換來解決.

(2013年天津市數(shù)學高考試題)

分析由題意可知，當x=0時，f(x+a)

a(1+a|a|)<0，

解得-1

圖7

為奇函數(shù)，因此該函數(shù)圖像關于原點對稱.而f(x+a)表示將f(x)的圖像向右平移-a個單位，由于-1

觀察圖7，由f(x+a)=f(x)，x+a<0,x<0可得

-a(x+a)2+(x+a)=-ax2+x，

解得

從而

故

評注本題首先可借助特殊值的思想判斷出參數(shù)a的大致范圍，這樣可以避免不必要的討論.然后借助函數(shù)圖像解決不等式恒成立的問題.本題充分體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式問題的相互轉(zhuǎn)化，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

總之，數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準地解題，必須要善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉(zhuǎn)化.我們所遇見的數(shù)學題許多是生疏的、復雜的.在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉、簡單的問題來解.善于根據(jù)題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案，恰當?shù)剡M行轉(zhuǎn)化，往往可以使問題得到很好的解決.